数学选修2-1立体几何中的向量方法练习题含答案

数学选修2-1立体几何中的向■方法练习题含答案

学校：班级：姓名：考号：

1.已知平面向量让1满足"工=15,1=(3,4),贝初在力方向上的投影为()

A.lB.2C.3D.4

2.若平面a,/?垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()

A.n.t=(1,2,1),n2=(-3,1,1)

B元=(1,1,2),n2=(-2,1,1)

C.4-(1,1,1),n2-(-1,2,1)

D.nj=(1,2,1),n2=(0,—2,—2)

3.已知直线，的方向向量为/=(2,b,1),平面a的法向量为%=(1,2),且〃/a,则

实数b=()

A.8B.-8C.lD.-1

4.一直线2与其外三点4,B,C可确定的平面个数是()

A.1个B.3个

C.1个或3个D.1个或3个或4个

5.已知向量Z=(1,1,1),向量b满足力/b,且日+b)1G-力)，则()

T—TT

A.a=bB.a=­b.

C.a=b或a=—b.D.以上都不对

6.若直线/〃平面a,直线/的方向向量为白平面a的法向量为亡则下列结论正确的是

()

A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1)

B.s-(—1,0,1),n=(1,2,-1)

C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1)

D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2)

7.平面a经过三点4(—1,0,1),B(l,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面a的法向

量不垂直的是()

A.(|,-1,-1)B.(6,-2,-2)C.(4,2,2)D.(-l,1,4)

8.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）

A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分

9.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCC是矩形，PA1平面力BCD,点E在线段4B

上，PA=AD=^AB=1,若直线PE与平面P8C所成角的正弦为?时，第=（）

。当

10.如图所示，四棱锥P-4BCC中，底面4BCD是菱形，P4_L平面4BCD,AABC=

60°,F为PC的中点，过点F且与平面P4B平行的平面a分别交BC,PD于点E,H,

PA=AB=4,则点F到平面4EH的距离为（）

C.V3D.2

试卷第2页，总48页

11.如图，在三棱锥P-力BC中，PA.PB、PC两两垂直，且24=3,PB=2,PC=

2.设M是底面ABC内一点，定义/(M)=(m,n,p),其中zn、n、p分别是三棱锥M-

PAB,三棱锥M-PBC、三棱链M-PC4的体积.若f(M)=gx,y),则：的最小

12.已知矩形ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线AC将△ABC折起，使得8。=

V481,则二面角B-4C-。的大小是.

13.已知”/a,且I的方向向量为(2,-8,1),平面a的法向量为(l,y,2),则

y=-

14.两不重合直线匕和。的方向向量分别为3=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则"与12

的位置关系是.

15.已知04+OP2+0.3=0,IOPJ=\OP2\=\OP3\=1，则&OP2>。.3的两夹

角是•

16.设直线a,b的方向向量是A，之2,平面a的法向量是就则下列推理中

①万/可=b〃a

eJ/nJ

②号/?]=a//b

e2//nJ

3〃州

③bCa}=b〃a

④心〃号]=>bla

Si//n)

其中正确的命题序号是.

17.已知4(1,1,1),8(2,2,2),C(4,0,2),则△ABC中BC边上中线长为.

18.给出下列命题:

①直线1的方向向量为或=(L一1,2),直线m的方向向量；=(2,1,—》，则/与机垂直;

②直线/的方向向量3=(0,1,—1),平面a的法向量1=(1,-1,一1),则，la；

③平面a,£的法向量分别为%=(0,1,3),n2=(1,0,2),则a〃0；

④平面a经过三点4(1,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0),向量£=(1,a,t)是平面a的

法向量，则u+t=1.

其中真命题的是.(把你认为正确命题的序号都填上)

19.已知日=(2,3),b=(4,-7),则最在力方向上的投影为.

20.已知在长方体4BCD-&B1C1D1中，AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱

的中点，则直线4E与平面4EC所成角的正弦值为.

21.在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3,AC=2,。是AC中

(1)求点Bi到平面的距离；

(2)求二面角4-OB-B1的余弦值.

22.已知向量之=(1,1,0),b=(-1,0,2).

(/)若向量kN+b与向量-b互相平行，求实数k的值;

(//)求由向量之和向量b所确定的平面的单位法向量.

23.如图，已知四棱锥P-ABC。，PA1平面4BCD,底面ABCD为矩形，AB=3,

AP=4,E为PO的中点，AE1PC.

试卷第4页，总48页

(1)求线段4。的长.

(2)若M为线段BC上一点，且BM=1,求二面角M-PD-4的余弦值.

24.在正方体4BC0-AiBiGDi中：

(1)分别给出直线BC的一个方向向量;

(2)分别给出平面4DD1&,平面BB15D,平面4。道的一个法向量.

25.如图，在棱长为1的正方体4BCD-41B1GD1中，E,F,G,M分别为&Bi，B&,

BBi的中点.试用向量法证明：

(1)求证：AG〃平面BEF.

(2)DM1平面BEF.

26.已知向量a=(2,m),b~(1,2),若向量a与b共线，则m=；若a_Lb,

则m=.

27.如图，四棱锥P-4BCD的底面为矩形，P4是四棱锥的高，PB与DC所成角为45。,

尸是PB的中点，E是BC上的动点.

(1)证明：PE1AF；

(2)若BC=2BE=2收AB,求直线4P与平面PCE所成角的大小.

2x+y+z—1=0〜汨k-

28.在空间直角坐标系下，试判定直线x+2y—z—2=0与平面7r：3x-y+2z+

1=0的位置关系，并求出直线(与平面兀的夹角的正弦值.

29.如图，在多面体4BCDEF中，平面ADEJ_平面4BCD,四边形4BCD是边长为2的正

方形，ZkaDE是等腰直角三角形，且EFL^ADE,EF=1.

(1)求异面直线AE和CF所成角的余弦值;

(2)求二面角8-DF-。的余弦值.

30.已知点4(3,0,0),8(0,4,0),C(0,0,5),求平面4BC的一个单位法向量.

31.在四棱锥P-ABC。中，四边形力BCD是边长为3的正方形，平面PAD_L平面ABCD,

/3。14。于点0,AO=1,点E在棱PB上，PE=2EB,

试卷第6页，总48页

p

(1)当P0=2时，求直线4E与平面PCO所成角的正弦值;

(2)若二面角8-PC-D的余弦值为言，求P0的长.

32.如图，在直三棱柱—中,点E,尸在侧棱eg上,且&E=2EB,

C#=2FC,点。，G在侧棱AB,4c上,且BD=2DA,CG=2GA.

(1)证明：点G在平面EFD内;

(2)若NB4C=90。，AB=AC=1,AAr=2,求二面角&-SB1一好的余弦值.

33.如图，在长方体4BCD-4再传1。1中，AD=AAr=2,AB=6,E、F分别为为劣、

DiG的中点.分别以£M、DC、ODi所在直线为%轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

D—xyz.

①求点E、F的坐标；

②求证：EF“ACD[.

34.求直线的对称比例式：

(1)L过点(4,5,6),且方向向量为(3,-2,7)；

(2)L过点(2,0,-4),且与平面E:4x+3y-5z=6垂直.

35.在直三棱柱中，LBAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长AG至点

p,使GP=41cl，连接4P交棱CG于点。,以&为坐标原点建立空间直角坐标系&-xyz,

如图所示.

(1)用向量法证明力四1&P；

(2)求异面直线BP与BiC所成角的余弦值.

36.已知4(1,一2,11),8(4,2,3),C(6,-1,4),求证其为直角三角形.

37.如图，已知正方形力BCD和梯形4CEF所在平面互相垂直，AB=2,AF=V2,

试卷第8页，总48页

CE=2V2,CE//AF,AC1CE,

(1)求证：CM〃平面BDF；

(2)求异面直线CM与FD所成角的余弦值的大小;

求二面角4-DF-B的大小.

38.在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已

知曲线C的极坐标方程为p=4sin0.

（1）求曲线C的直角坐标方程;

（2）若两条互相垂直的直线都经过原点（两条直线与坐标轴都不重合）且与曲线C分

别交于点力，B（异于原点），且|。川・|OB|=8,求这两条直线的直角坐标方程.

39.如图，已知平行四边形力BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1,AD=2,

(2)求二面角尸-BD-4的余弦值;

求点4到平面FBD的距离.

40.如图，PD垂直正方形力BCD所在平面，AB=2,E是PB的中点，cos<DP,AE>=

V3

T

(1)建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标;

(2)在平面PAD内求一点F,使EFJ•平面PCB.

试卷第10页，总48页

参考答案与试题解析

数学选修2-1立体几何中的向■方法练习题含答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

C

【考点】

向量的投影

【解析】

本题考查向量投影的求法.利用已知条件求出再利用向量投影的定义即可得到；在

1方向上的投影为胃=葛=3.

【解答】

解：因为％=(3,4),

所以|b|=V324-42=5,

因为联工=15,

所以友在了方向上的投影为弛=£=3.

闻5

故选C.

2.

【答案】

A

【考点】

向量语言表述面面的垂直、平行关系

平面的法向量

【解析】

根据平面a,口垂直，它们的法向量也垂直，对四个选项进行判断即可.

【解答】

解：••・平面a,/?垂直，二这两个平面的法向量也互相垂直，

不妨设为n1、n2,贝Mi•胆=0；

对于4,有n1■电=-3+2+1=0,满足题意；

对于8,叫•孙=—2+1+2=1#0,不满足题意;

对于C,n/ri2=—1+2+1=2羊0,不满足题意;

对于D,信.R=0-4-2=-6K0,不满足题意.

故选A.

3.

【答案】

B

【考点】

向量语言表述线面的垂直、平行关系

平面的法向量

直线的方向向量

【解析】

由已知可得：n=-a,因此£//3,再利用线面垂直的判定即可得出.

【解答】

解：丫直线/的方向向量为蔡=(2",1),平面a的法向量为£=(11,2),

又〃/a,

—>—♦

mln,

即2+gb+2=0,解得b=-8.

故选B.

4.

【答案】

D

【考点】

空间点、线、面的位置

【解析】

当A,B,C三点共线时，能够只确定一个平面；当4B,C三个不共线时，能确定平

面有3个；当4,B,C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面,

平面外的三个点也确定一个平面.这样可确定的平面最多就可以达到4个.

【解答】

解：当4B,C三点共线时，能够只确定一个平面；

当4B,C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，这样的

平面有3个；

当4B,C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，

平面外的三个点也确定一个平面.这样可确定的平面最多就可以达到4个.

故选D.

5.

【答案】

C

【考点】

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

先根据G+b)_L(2-匕)，得到鬲=网；再结合即可求出结论.

【解答】

试卷第12页，总48页

解：(a+b)_L(a—b).

(a+6)•(a-&-(a-b)=0=>|a|2=\b\2=|a|=\b\.

又；a//b.

a=b或a=—b.

故选C.

6.

【答案】

C

【考点】

向量方法证明线、面的位置关系定理

【解析】

直线1〃平面a,直线，的方向向量为平面a的法向量为三则m7=0,对选项进行

验证可得结论.

【解答】

解：・••直线/〃平面a,直线1的方向向量为3平面a的法向量为宗

TT

s-n=0,

对于A,s-n=-1—2=—3,对于B,s-n=-1-1=-2；对于C,s-n=-1+

2-1=0,对于D,s-n=2+2+2=6,

故选：C.

7.

【答案】

D

【考点】

平面的法向量

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

求出平面a的法向量，利用空间向量垂直的性质进行判断.

【解答】

解：，平面a经过三点4(-1,0,1),B(l,1,2),C(2,-1,0),

AB=(2,1,1),AC=(3,-1,-1),

设平面的法向量7=(x,y,z),

<n-AC=3x-y—z=0,取y=l,得？i=(0,1,-1),

•••(11,-1,-1)-(0,1,-1)=0,

(6,-2,-2)-(0,1,-1)=0,

(4,2,2)-(0,1,-1)=0,

(-1,1,4)-(0,1,-1)=-3,

与平面a的法向量不垂直的向量是D.

故选：D.

8.

【答案】

C

【考点】

空间点、线、面的位置

【解析】

画出图形，用三线表示三个平面，结合图形进行分析.

【解答】

可用三线a,b,c表示三个平面，

其截面如图，将空间分成7个部分，

9.

【答案】

B

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】

本题考查通过线面夹角球线段比值问题，主要是通过题目所给条件结合空间坐标系求

出线段长度，从而得出比值关系

【解答】

解：建立如同所示空间直角坐标系：

设4E=x(0<x<2),

则4(0,0,0),P(0,0,l)，8(2,0,0),C(2,l,0),E(x,0,0),

PE=(x,0,-l),PB=(2,0,-1).PC=(2,1,-1).

设平面PBC的法向量为蔡=(a,b,c),

=0,I2a-c=0,

令a=1,

试卷第14页，总48页

a=1,

则有b=0,

、c=2,

・•・n=(1,0,2).

又PE与平面PBC所成角的正弦值为?，

即PE与法向量:所成角的余弦值的绝对值为，,

Icos(n,PE)\==叵,

I\/IV5-VX2715

解得：%=p

4

AE_3

--=~.

AB8

故选B.

10.

【答案】

B

【考点】

点、线、面间的距离计算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：延长力E,DC交于Q,连接HQ交PC于M,

则M为三角形PQD的重心，故FM=：CM.

设F,C,。到平面4QH的距离分别为而,七,hD,

则加=i/l=\h,

zcqD

因为EA1AD,EA1PA,

所以EA1平面PAD,

所以EA1PO,X4H1PD,

所以PD_L平面AQH,

所以如=DH=2V2,故须=y.

故选B.

二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

11.

【答案】

【考点】

空间直线的向量参数方程

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用新定义通过体积，推出建立x与y的关系，

解之即可.

【解答】

解：PA.PB、PC两两垂直，且PA=3.PB=2,PC=2.

xx

VP-ABC=||3x2x2=2=i+x+y,

即x+y=J,所以2+。=：（5+空+空）23+更纥

3xy5vyxz5

当且仅当旦=型时=成立；

yx

故答案为：3+半；

12.

【答案】

27r

T

【考点】

用空间向量求平面间的夹角

【解析】

作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角为a,表示出B,。两点坐标，根据

距离公式列方程解出a.

【解答】

解：在矩形4BCD中，作。后，4（?于点。，交4B于点E,作BF1AC于点尸，

AB=20,BC=15,

AC=V202+152=25,

DO=BF==12,AO=CF=V152-122=9,

25

/.OF=25-9x2=7,

在翻折后，以。为原点，以OE,OC所在直线为％轴，y轴建立空间直角坐标系。-xyz,

试卷第16页，总48页

A

则NDOE为二面角B-AC-D的平面角，设立DOE=a(0<a<rt),

则。(12cosa,0,12sina),B(12,7,0),

\BD\=V(12cosa-12)2+49+144sin2a=,337-288cosa=V481,

/.cosa=--

29

.27r

..Ct=—.

3

故答案为：y.

13.

【答案】

1

2

【考点】

向量语言表述线面的垂直、平行关系

【解析】

利用”/a,可得：1的方向向量(2,-8,1)与平面a的法向量(l,y,2)垂直，因此

(2,—8,1)•(1,%2)=0,即可得出.

【解答】

解：l//a,

1的方向向量(2,-8,1)与平面a的法向量(1,y,2)垂直，

2x1-8xy+2=0,

解得y=

故答案为七

14.

【答案】

平行

【考点】

直线的方向向量

【解析】

根据空间向量坐标之间的关系，即可得到直线之间的位置关系.

【解答】

解：直线匕和。的方向向量分别为：

Vi=(Lo,-1)，V2=(一2,0,2),

—»—>

•*.v2=-2%,

—―»

EPV2//V1(

Ak与L的位置关系平行.

故答案为：平行.

15.

【答案】

120°

【考点】

用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】

根据题目条件可知。既为三角形P1P2P3的重心又是外心，从而得到三角形P1P2P3为正三

角形，从而可求出它们的夹角.

【解答】

—>T—>一

解：OP1+OP2+OP3=0

。为三角形P1P2P3的重心

而|晶|=\OP2\=\OP3\=1

。为三角形P1P2P3的外心

三角形PiP2P3的外心与重心重合

三角形P】P2P3为正三角形

即三向量中任意两向量的夹角为120。

16.

【答案】

②③④

【考点】

向量方法证明线、面的位置关系定理

【解析】

根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直

线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间

直线与直，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到

答案.

【解答】

—>—>

解：若之〃口=a〃b,则b±a,故①错误；

e1//n=>al.a

TT

若3〃加“〃尾=。〃从故②正确；

。2〃九

^i//n

若bUa,则力〃如故③正确；

试卷第18页，总48页

若e、//?则苞〃曾，又由bea,故bJ.a,故④正确；

ej/n

故答案为：②③④

17.

【答案】

V5

【考点】

空间直线的向量参数方程

【解析】

利用中点坐标公式，算出BC边的中点为D(3,1,2),再由空间两点间的距离公式加以计

算，即可得出△力BC中BC边上中线长.

【解答】

解：B(2,2,2),C(4,0,2),

BC边的中点为C(3,1,2).

可得△4BC中BC边上中线|4D|=7(3-1)2+(1-1)2+(2-1)2=V5.

故答案为：V5

18.

【答案】

①④

【考点】

平面的法向量

【解析】

①根据直线入m的方向向量；与b垂直，得出11m；

②根据直线，的方向向量热与平面a的法向量彳垂直，不能判断21a；

③根据平面a、口的法向量4与《不共线，不能得出a〃伙

④求出向量旗与蔡的坐标表示，再利用平面a的法向量列出方程组求出u+t的值.

【解答】

解：对于①，：a=(1,-1,2),b=(2,1,

TT1

*'•u'b=1x2—lxl+2x(——)=0,

TT

a1bf

二・直线1与m垂直，①正确；

对于②,。=(0,1,-1)，n=(1,-1,-1),

an=0xl+lx(-1)+(-1)x(-1)=0,

a1n,I[[a或Iua,②错误；

对于③，几i=(°，1，3),n2=(L0,2),

.，•易与A不共线，

a〃夕不成立，③错误；

对于④，1点4(1,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0),

・•.AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),

向量蔡=(1,u,C)是平面a的法向量，

n-AB=0,

-3-

BC

kn-=0,

印if-1+〃+£=0,

s|l-1+〃=0,

则iz+t=1,④正确.

综上，以上真命题的序号是①④.

故答案为：①④.

19.

【答案】

V65

一_5"

【考点】

向量的投影

【解析】

直接应用向量投影的概念并正确应用计算即可.

【解答】

解：根据向量投影的概念，：在％方向上的投影等于的投影=亩=蒜等=_警

故答案为：-警

20.

【答案】

4

9

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：在长方体ABC。一4$传1。1中，AB=1,BC=2,AAr=4,

E是侧棱CCi的中点，

以。为原点，ZM为%轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

试卷第20页，总48页

则4(2,0,0),E(0,l,2),4i(2,0,4),D(0,0,0),

则£1=(2,-1,一2),DAt=(2,0,4),DE=(0,1,2),

设平面4EO的法向量为曾=(x,y,z),

(TT

则n-DA】=2x4-4z=0,

n•DE=y+2z=0,

取z=1,得n=(—2,—2,1),

设直线AE与平面AiED所成角为凡

-->

贝。=|EAn|_4_4

ijsin|E4||n|炳的9,

所以直线AE与平面&ED所成角的正弦值为g.

故答案为：

三、解答题(本题共计20小题，每题10分，共计200分)

21.

【答案】

解：(1)以。为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴，

以过。点垂直于4C的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

A41=4B=BC=3,AC=2,。是4c的中点，

4(-1,0,3),B(0,2&,0),D(0,0,0),8式0,2但3),

DAr=(-1,0,3),DB=(0,0),0%i=(0,2企,3),

设平面&B。的法向蓝=(%,y,z),

—X+3z=0

则:

2y/2y=0

解得：1=(3,0,1),

(2)首先利用DC1平面B$D,则设平面B/D的法向量为：DC=(1,0,0),

.cos<DC,n>=||Z)C|.|n||=—

二面角为一DB-Bi的余弦值誓

【考点】

用空间向量求平面间的夹角

点、线、面间的距离计算

【解析】

（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求出平面的法向量，然后利用点

面之间的距离公式求出结果.

（2）直接求出平面&BD的法向量，利用（1）中的法向量，利用向量的夹角求出结果.

【解答】

解：（1）以。为坐标原点，以CC为x轴，以DB为y轴，

以过。点垂直于4c的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

•••AAr=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点，

义（一1,0,3）,B（0,2>/2,0）,0（0,0,0）,B］（0,2企,3）,

DAr=(-1,0,3),DB=(0,0),DBi-(0,2VI,3),

设平面的法向n=（x,y,z）,

解得：n=(3,0,1),

(2)首先利用DC1平面&BD,则设平面/BO的法向量为：DC=(1,0,0),

.cos<DC,n>=||DC|-|n||=

试卷第22页，总48页

二面角4一DB-&的余弦值誓

22.

【答案】

解：(1)向量k：+b=/c(l,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2).

向量鬼-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).

(fca+b)//(2cz—b),

.k-lk2

■-亍=5=H

解得k=-2.

(2)设平面的法向量藐=(x,y,z),则a-m-b-m=0,

令z=1,解得x=2,y=—2

即所求平面的一个法向量为(2,-2,1),

【考点】

平面的法向量

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

(1)利用向量的线性运算、向量共线定理即可得出；

(2)利用相互垂直与向量的数量积之间的关系即可得出.

【解答】

解：(1)向量ka+b=fc(l,1,0)+(-1,0,2)=(fc—1,k,2).

向量2之-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).

(fca+b)II(2a—b},

k-l_k_2_

———,

32-2

解得k=-2.

(2)设平面的法向量嘲=(x,y,z),则热-m=b-m=0,

{-x+2)7=0'令z=L解得x=2,y=-2,

即所求平面的一个法向量为(2,-2,1),

故单位法向量为》或(—““

23

【答案】

解：(1)分别以48,AP,4。所在直线为％,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

A-xyz9

设AD=t,则4(0,0,0),E(0,2;,C(3,0,t),P(0,4,0),

所以后=(0,2,0,PC=(3,-4,t)

因为AEJLPC,所以元■•而=0,

即16-户=。，解得七=生

所以40的长为4.

(2)因为BM=1,所以M(3,0,l),

又P(0,4,0),。(0,0,4),

故法=(0,4,-4),DM=(3,0,-3),

设蔡=(x,y,z)为平面DMP的法向量,

JnlDP，Bp{4y-4z=0

(n1DM,出-3z=0

取z=1,解得y=1,%=1,

所以］=(1,1,1)为平面DMP的一个法向量,

显然，AB=(3,0,0)为平面PDA的一个法向量,

Tr—

MB_3_V3

则cos<n-AB>=

\n\\AB\3V1+1+13

试卷第24页，总48页

由图可知，二面角M-PD-A的余弦值为三.

【考点】

用空间向量求平面间的夹角

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

未提供解析.

未提供解析.

【解答】

解：(1)分别以4B,AP,力。所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

A—xyz,

设4D=t,则4(0,0,0),E(0,2,1),C(3,0,t),P(0,4,0),

所以族=(0,2,1),PC=(3,-4,t)

因为4EJLPC,所以旋•而=0,

即16T2=0,解得t=4.

所以40的长为4.

(2)因为BM=1,所以M(3,0,l),

又P(0,4,0),。(0,0,4),

故。P=(0,4,-4),DM=(3,0,-3),

设蔡=(x,y,z)为平面DMP的法向量,

nlDP,即偿-4z=0

则,

n1DM,-3z=0

取z=1,解得y=1,%=1,

所以蔡=(1,1,1)为平面的一个法向量,

显然，AB=(3,0,0)为平面PZM的一个法向量,

T——

则cos<n-AB>=n-AB_3_V3

|n||AB|3V1+1+13

由图可知，二面角M—PD—A的余弦值为日.

24.

【答案】

解：(1)直线A4的方向向量可以是AK，BBr,CCX,

DDi，C：C,0；D中的任意一个，

(2)平面4。。送1的法向量可以是AB,DC,aBi，DiG，BA,CD,B^,GQ中的

任意一个，

平面88也。的法向量可以是晶，CA,AiClrC，i中的任一个，

平面AC1C的法向量可以是B；D,中的任一个.

【考点】

平面的法向量

直线的方向向量

【解析】

由已知条件利用正方体的结构特征能求出结果.

【解答】

解：(1)直线的方向向量可以是BBt,CCX,

心1，晟B,C；C,0：。中的任意一个，

直线8。的方向向量可以是薪，B1?i，DB,中的任意一

试卷第26页，总48页

(2)平面ADDMi的法向量可以是AB,DC,4祖,DQ,BA,CD,务a，GA中的

任意一个，

平面88也。的法向量可以是晶，CA,4上1，G"中的任一个，

平面4D1C的法向量可以是B〉，法1中的任一个.

25.

【答案】

解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DO1所在直线

分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

则4(1,0,0),8(1,1,0),

飞,1,1),G(0,1,l).

所以后'=(一：W,())，

TI

所以公=EF+BF,

故房;与薪，薪共面，

又因为4GC平面BEF,

所以4G〃平面BEF.

(2)易知DTM=(1,1,1),

由CM_L平面BEF,

可得盛・就1=0,

所以一|+机=0,

得m=I，

所以M为棱BBi的中点时，DM_L平面BEF.

【考点】

向量语言表述线面的垂直、平行关系

用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)以。为坐标原点，DA,DC,05所在直线

分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

则4(1,0,0),6(1,1,0),F(l,i,l).

F(”1l),G(0g1,l),

所以薪=(一另,0),

8T尸=(一1;，0,1),

^=(-1,^1).

所以/=EF+BF,

故4G与EF,BF共面，

又因为4GC平面BEF,

试卷第28页，总48页

所以4G〃平面BEF.

(2)易知晶=(1,14)，

由DM_L平面BEF,

可得反■BF=0,

所以—g+=0,

得m=1,

所以M为棱BBi的中点时，DM1平面BEF.

26.

【答案】

4,-1

【考点】

向量的数量积判断向量的共线与垂直

【解析】

(1)根据向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算进行解题即可.

【解答】

解：已知向量Q=(2,m),b=(1,2),

若向量输与了共线，

则2x2=771X1,

解得m=4.

若Q1b,

则a•b=0,

即2xl+mx2=0,

解得m=-1.

故答案为：4；—1.

27.

【答案】

解：(1)建立如图所示空间直角坐标系.设4P=4B=2,BE=a

则4(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),E(a,2,0),

PE=(a,2,-2),AF=(0,1,1),

则藁/=0,

所以AF1PE.

(2)若BC=2BE=2V5AB,则。(4百，0,0),PD=(473,0,-2),

PE=(2V3,2,-2),

设平面POE的法向量为1=(x,y,z),

由"=。,

n,PE=0,

得\言:;2z；°，令x=1,则z=2V3,y=V3,

于是n=(1,百,2b)，而4P=(0,0,2).

设直线4P与平面PDE所成角为。，

则sin。=y,

直线AP与平面PDE所成角为60团.

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

用空间向量求直线间的夹角、距离

向量语言表述线线的垂直、平行关系

【解析】

(1)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE,A尸的坐标，得到其数量积

为0即可证明结论.

(2)先根据条件求出。的坐标以及访，扇的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标,

再代入向量的夹角计算公式即可得到答案.

【解答】

解：(1)建立如图所示空间直角坐标系.设4P=AB=2,BE=a,

则4(0,0,0),5(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),E(a,2,0)

试卷第30页，总48页

PE=(a,2,-2),AF=(0,1,1),

g若BC=2BE=2^AB,则D(48，0,0),PD=(473,0,-2),

PE=(2V3,2f-2),

设平面PDF的法向量为蔡=(x,y,z),

由F.=°，，得［4V3Z-2Z=0,令X=L则

n-PE=0,12V3X+2y-2z=0,

z=2vy=V3,

于是£=(1,旧,26)，而1=(0,0,2).

设直线4P与平面PCE所成角为。，

则sinO=y.

直线4P与平面PDE所成角为60团.

28.

【答案】

解：丫平面兀:3久-y+2z+1=0的法向量£=(3,—1,2),

平面2x+y+z-l=0的法向量为元=(2,1,1),

平面x+2y+z-1=0的法向量为信=(1,2,-1),

TTT

TTTI/kttT

则直线1的方向向量为m=%•几2=211=—3i+3/+3/c=(—3,3,3),

12-1

m-n=—9—3+6=-6,

二.直线2:j:二:与平面m3x-y+2z+1=0相交；

设直线1与平面”的夹角为仇

则sin。=\m\•|n|=|-6|=詈.

直线/与平面兀的夹角的正弦值为膏.

【考点】

空间点、线、面的位置

【解析】

先分别求出平面兀：3x-y+2z+1=0、平面2x+y+z-1=0、平面x+2y+z-

1=0的法向量，再求出直线/的方向向量，由此能判断直线I与平面兀的位置关系，并

能求出直线/与平面7的夹角的正弦值.

【解答】

解：；平面兀:3x-y+2z+1=0的法向量£=(3,-1,2),

平面2x+y+z-l=0的法向量为元=(2,1,1),

平面x+2y+z-l=0的法向量为R=(1,2,-1),

——>

TTTtjkTTT

则直线1的方向向量为in=%•九2=211=-3i+3/+3k=(-3,3,3),

mtn=—9—3+6=—6,

直线2:1j；：；[j_；二;与平面兀:3%-y+2z+1=0相交;

设直线Z与平面7T的夹角为仇

则sin。=\m\*|n|=|-6|=詈.

直线I与平面兀的夹角的正弦值为答.

【答案】

解：⑴；平面ADEJ_平面ABCD,^ADE=

DE1AD.

-：DEu平面40E,平面40En平面力BCD=4D,

DE1平面4BCZ).

由四边形力BCD为边长为2的正方形，

DA,DC,DE两两互相垂直.

以0为坐标原点，｛加，DC,法｝为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.

aB

x

试卷第32页，总48页

由"_L平面ADE,EF=1,

D(0,0,0),4(2,0,0),E(0,0,2),C(0,2,0),5(2,2,0),F(0,l,2),

兄1=(-2,0,2),命=(-2,-1,2),

—»—♦

则cos漏雨=4EBF_82A/2

\AE\-\BF\275x33

异面直线AE和。尸所成角的余弦值为苧;

—»—>

(2)DB=(2,2,0),DF=(0,1,2),

设平面的一个法向量为:=（x,y,z）,

(TT

n-DB=2%+2y=0^->…

由-1,取z=l,得/Rn=(2,—2,1),

.n-DF=y+2z=0

又平面DFC的一个法向量为蓝=（1,0,0）,

t、mn22

C0S（m,n）=r一=r=----=

|m||n|3x13

由图可知，二面角B—DF-C为锐角，

二面角B—DF-C的余弦值为|.

【考点】

用空间向量求平面间的夹角

用空间向量求直线间的夹角、距离

【解析】

由已知可得ZM,DC,DE两两互相垂直，以。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标

系.

（1）求出族，扇的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE和DF所成角的大小；

（2）分别求出平面BDF与平面DFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二

面角B-DF-C的平面角的大小.

【解答】

解：⑴；平面40E平面48c0,Z.ADE=\

DE1AD.

■：DEu平面ADE,平面4DEn平面ABC。=AD,

：.DE平面4BCD.

由四边形ABCD为边长为2的正方形，

DA,DC,DE两两互相垂直.

以。为坐标原点，｛而1,DC,而｝为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.

由EF1平面ZDE,EF=1,

D(OAO),4(2,0,0),E(0,0,2),C(0,2,0)，B(2,2,0),F(0,l,2),

・,.AE=(-2,0,2),BF=(-2,-1,2),

4EBF_8_2>[2

^icos{AEBF)=

f\AE\-\BF\2aX33

异面直线4E和DF所成角的余弦值为卓；

(2)而=(2,2,0),而=(0,1,2),

设平面BDF的一个法向量为蔡=(x,y,z),

n-DB=2x4-2y=0取z=1,得£=(2,-2,1),

TT

n-DF=y+2z=0

又平面DFC的一个法向量为罚=(1,0,0),

.tm-n22

••cos(m,n)=-、=--=

''|m||n|3x13

由图可知，二面角B—DF-C为锐角，

•1•二面角B-DF-C的余弦值为|.

30.

【答案】

解：4(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),

AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,5),

设平面4BC的一个法向量为蔡=(x,y,z),

Tttaa

1n-AC=-3x+5z=0,取工=1,得7i=(L[,g)，

平面ABC的一个单位法向量端"=喏(14|)=(喏,噂,喑).

71/O74-□ZO7Zoy/O'?

【考点】

平面的法向量

【解析】

试卷第34页，总48页

先求出AC,设平面ABC的一个法向量为£=(x,y,z),由［/晶=0,能求出结

果.

【解答】

解：：4(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),

AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,5),

设平面ABC的一个法向量为曾=(%,y,z),

则|n•AC=-3x+5z=0,取x=l,得n=(l,三，三)，

I45

平面48c的一个单位法向量为晶=4=噂。|)=(曙，噂,曙).

31.

【答案】

解：(1)已知平面PAD1平面/BCD,P。14。于。点，平面PADn平面ABCD=4。，

所以PO_L平面ABCD,以。P为z轴，建立空间直角坐标系0-xyz如下所示：

则4(1,0,0),P(0,0,2),E(|,2,3c(—2,3,0),D(—2,0,0),

所以=(0,-3,0),PD=(-2,0,-2),AE=

设平面PCD的法向量蔡=(x,y,z),

Cm-CD=0,即(_3y=0,

(m-PD=0,l-2x-2z=0,

令％=1,则y=0,z=-1,m=(1,0,-1),

设直线4E与平面PCD所成角为0,则sin。=|学力|星

则直线4E与平面PCD所成角的正弦值为噂.

82

(2)设P。=t(t>0),则P(0,0,t),B(130),C(-2,3,0),D(-2,0,0),

PD=(-2,0,-t),CD=(0,-3,0),

设平面PCD的法向量%=(%,y,z),

则PD•=—2x—tz=0,CD-n1=-3y=0,

取九i=(t,0,-2),

同理求得平面8PC的法向量R=(0,t,3),

所以1c°S＜电电＞I=I/急I=I庐K%石I=25

因为t＞o,

解得t=1,

故当二面角B-PC-。的余弦值为华时，PO=1.

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】

(1)根据题目吗所给信息建立空间直角坐标系，按部就班进行求解即可.

(2)利用(1)中的空间直角坐标系，设出PO,进而求解即可.

【解答】

解：(1)已知平面P4D平面4BCD,PO1AD于。点，平面PAD。平面ABC。=AD,

所以P。_L平面力BCD,以OP为z轴，建立空间直角坐标系。一xyz如下所示：

所以2)=