四川省广元市2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

广元市2021年初中学业水平考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答

在本试卷上无效.

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将

自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后,

再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其

他位置答题一律无效.

一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分）

1.计算卜3卜（—2）的最后结果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

2.下列图形均表示医疗或救援的标识,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

&,通

医疗废物

中国红十字会

O奉

国际急救

医疗卫生服务机构

3.下列运算正确的是（）

A.

B.（a+3）（a—3）=/—9

12J4

C.—2（3〃+1）=-6a—1D.（a+〃）（a-2b）=，一方

4.一组数据：1,2,2,3,若添加一个数据3,则不发生变化的统计量是（)

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

5.下列命题中，真命题是（）

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形

D已知抛物线^=/一4尤一5,当一l<x<5时，y<0

6.观察下列作图痕迹，所作线段CO为8c的角平分线的是（）

7.如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90。的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那

么这个圆锥的底面圆的半径是（）

8.将二次函数y=-/+2彳+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直

线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（)

9.如图，在边长为2的正方形ABC。中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为

()

BA

CED

3+万_5-71

A-------B.兀-2C.1D.-------

22

10.如图，在AABC中，NAC3=90。，AC=BC=4,点。是8c边的中点，点P是AC边上一个动

点，连接PD，以PO为边在PO的下方作等边三角形P。。，连接CQ.则CQ的最小值是（）

3

c.V2D.-

2

二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分）

11.M的算术平方根是.

12.中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91

岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻

亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产

20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为

13.如图，实数-石，厉，m在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点8关于原点。的对称点为。.若

机为整数，则m的值为.

•・・••・

DCAOB

14.如图，在4x4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、。均在格点上，其中A、B、。又在上，

点E是线段8与的交点.则NBAE的正切值为.

D

A

k

15.如图，点A（—2,2）在反比例函数y=-的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上,

X

且OM=ON=5.点P（x,y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点。和E,连

接OA、OP.当S'OADVSAOPE时，x的取值范围是

16.如图，在正方形ABCO中，点。是对角线5。的中点，点尸在线段。。上，连接钎并延长交CO于

点E,过点P作尸户_LAP交6c于点F,连接A/、EF，AE交BO于G,现有以下结论：①42=尸产；

②DE+BF=EF；③PB-PD=QBF；④S“EF为定值；⑤鼠边形PEFG=S“PG.以上结论正确的有

三、解答题(96分)要求写出必要的解答步骤或证明过程

17.解方程：2£+==4.

23

18.先化简，再求值：(」一+二一］+一一.其中x=3，y=L

(x—yx+y)x+xy

19.如图，在平行四边形ABC。中，E为。。边的中点，连接AE,若AE的延长线和3c的延长线相交于

点、F.

(1)求证：BC=CF；

(2)连接AC和BE相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形ABCO的面积.

20.为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出

售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.

(1)若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球

数量的g.学校有哪几种购买方案？

(2)若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%

收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费.若学校按(1)中的方案购买，学

校到哪家商场购买花费少？

21.“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出

了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16：20,全球接种“新冠”疫苗

的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天

各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

甲医院乙医院

年龄段频数频率频数频率

18—29周岁9000.154000.1

025

30—39周岁a0.251000

40—49周岁2100bC0.225

50-59周岁12000.212000.3

60周岁以上3000.055000.125

(1)根据上面图表信息，回答下列问题:

①填空：a=,b=,

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40—49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为

(2)若A、8、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率.

甲、乙两医院各年龄段接种总人数的扇形统计图

22.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度。点处时，无人机测得操控

者A的俯角为75°,测得小区楼房6。顶端点C处的俯角为45°.已知操控者4和小区楼房8C之间的距

离为45米，小区楼房8C的高度为15G米.

C

-

□

□

□

□

□

□

□

AB

(1)求此时无人机的高度；

(2)在(1)条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问:

经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？(假定点4B,C,。都在同一平面内.参考数据：

tan75°=2+百，tan15°=2-8.计算结果保留根号)

23.如图，直线y=丘+2与双曲线,=丝相交于点A、B,已知点A的横坐标为1,

X

(1)求直线》二辰+2的解析式及点8的坐标;

(2)以线段A8为斜边在直线A3的上方作等腰直角三角形A3C.求经过点C的双曲线的解析式.

24.如图，在RJA8C中，NACB=90°,是44c的平分线，以AO为直径的交AB边于点E,

连接CE,过点。作OF//CE,交AB于点立

(1)求证：。尸是0。的切线；

3

(2)若BD=5,sinZB=~,求线段OR的长.

25.如图1,在△MC中，NACB=90°,AC=BC,点。是AB边上一点(含端点A、8),过点8作仍

垂直于射线C£>,垂足为E,点F在射线CD上，且EF=BE,连接AE、BF.

图1图2

(1)求证：AABFSACBE；

(2)如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE.族的中点，连接PM、MN、PN.求NPMN

MN

的度数及——的值;

PM

(3)在(2)的条件下，若BC=C，直接写出APMN面积的最大值.

26.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=o?+/zr+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交

于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：

X…-10123・・・

.

y・・03430・・・

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC的最小值；

(3)如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点，过点。作轴，垂足为F,△AB。的外接圆与。E

相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

'.V

图1图2

参考答案

一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.每小题3分，共30分）

1.计算卜3|一（一2）的最后结果是（）

B.-1D.-5

【答案】C

【解析】

【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果.

【详解】解：原式=3+2=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算

法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用.

2.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

医疗废物

中国红十字会

国际急救

医疗卫生服务机构

o【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义逐一判断即可得答案.

【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，

B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，

C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后能完全重合；中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180°后，两部分能够

完全重合；熟练掌握定义是解题关键.

3.下列运算正确的是()

A.g)=q2B.(a+3)(a-3)=a2-9

C.-2(3a+1)=-6a—1D.(a+£>)(a-2^)=a2-2b1

【答案】B

【解析】

【分析】分别根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则进行计算

即可判断求解.

【详解】解：A.(a—g)="—a+；,原选项计算错误，不合题意;

B.(a+3)(a—3)=〃一9,原选项计算正确，符合题意;

C.-2(3。+1)=-6。-2,原选项计算错误，不合题意：

D.(a+b^a-Tb^a2-2ab+ab-2b2^a2-ab-2b2,原选项计算错误，不合题意.

故选：B

【点睛】本题考查了整式的乘法运算，乘法公式等知识，熟知乘法公式和整式的乘法法则是解题关键.

4.一组数据：1,2,2,3,若添加一个数据3,则不发生变化的统计量是()

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.

【详解】解：A、原来数据的平均数是1+2+2+3=2,添加数字3后平均数为1+2+2+3+3=1_1,所

455

以平均数发生了变化，故A不符合题意；

B、原来数据的中位数是2,添加数字3后中位数仍为2,故B与要求相符；

C、原来数据的众数是2,添加数字3后众数为2和3,故C与要求不符；

。、原来数据的方差=,[(1一2『+(2-2)2+(2-2)2+(3-2y]=2，

42

111,11,11,11,11,14

添加数字3后的方差=1[(1-y)2+(2-y)2+(2-y)2+(3-y)2+(3-y)2]=y,故方差发生了变化,

故选项。不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键.

5.下列命题中，真命题是()

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形

D.已知抛物线y=f-4龙一5,当一l<x<5时，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据零次哥、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项.

【详解】解：A、2x'=-,错误，故不符合题意；

x

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

D、由抛物线y=4x—5可得与x轴的交点坐标为(一1,0),(5,0),开口向上，然后可得当一1<x<5时,

y<0,正确，故符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查零次累、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幕、

菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键.

6.观察下列作图痕迹，所作线段CO为△49C的角平分线的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可.

【详解】A：所作线段为48边上的高，选项错误；

8：做图痕迹为AB边上的中垂线，CZ）为A8边上的中线，选项错误;

C：C。为NACB的角平分线，满足题意。

D：所作线段为AB边上的高，选项错误

故选：C.

【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解

题切入点.

7.如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90。的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥.那

么这个圆锥的底面圆的半径是（）

A

【答案】B

【解析】

【分析】先计算5c的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于5c的长度，根据公式计算即可.

【详解】解：如下图：

连接8C,AO,

■:N8AC=90。，

.♦.BC是直径,且BC=2,

又：AB=AC,

•••ZABC=ZACB=45。，AO±BC,

nAi

又・・・31145。=J,OA=-BC=l,

AB2

.OA2nr

ABn=----------=1x—==v2,

sin45°V2

**•BC的长度为：2~x;rx，

1802

...围成的底面圆周长为近万，

2

设圆锥的底面圆的半径为r,

则：2兀厂=立二兀，

2

.721近

••r=»x——=.

22万4

故选：B

【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出

扇形的半径是解题的关键.

8.将二次函数丁=-/+2n+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直

线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函数解析式y=——+2x+3,可求与x轴的两个交点A、B,直线y=x表示的图像可

看做是直线y=x的图像平移〃个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线丁=》经过8点时，

恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线y=x经过C点时，恰与所给图像有

三个交点，即直线y=x+b与函数丁=一/+2》+3关于x轴对称的函数y=V-2x—3图像只有一个交

点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0,即可求解.

【详解】解：由y=—》2+2x+3知，当y=0时，即

-x2+2x+3=0

解得：%-1,马=3

.♦・A(-1,0),8(3,0)

作函数y=x的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：

0=3+8

h=-3

平移图像至过点。时，恰与所给图像有三个交点，即当一14x43时，只有一个交点

当一1«xW3的函数图像由y=-―+2x+3的图像关于X轴对称得到

,当一1VxW3时对应的解析式为y=x2-2x-3

即｛；：：?2尸3,整理得：x2-3x-3-b=Q

.•.△=(-3)2-4x1x(-3-6)=21+46=0

,21

/.b-----

综上所述匕=-3或——

4

【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方

程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度.解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的

条件.

9.如图，在边长为2的正方形ABC。中，AE是以8c为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为

()

BA

3+万5—万

A.--------B.7i—2C.1D.--------

22

【答案】D

【解析】

【分析】取BC的中点O,设AE与。。的相切的切点为F,连接。/、OE、OA,由题意可得08=0C=04=l,

/OFA=NOFE=90°,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即

可.

【详解】解：取8C的中点O,设AE与。。的相切的切点为尸，连接0尺OE、OA,如图所示:

•.•四边形A3CO是正方形，且边长为2,

；.BC=AB=2,ZABC^ZBCD=^°,

,/AE是以8。为直径的半圆的切线，

OB=OC=OF=\,NOFA=NOFE=90°,

：.AB=AF=2,CE=CF,

：OA=OA,

:.RtAABOqRtAAFO(HL),

同理可证△OCE也尸E,

ZAOB=ZAOF,NCOE=AFOE,

ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ZBAO,

ZCOE^ZBAO,

^ABO^^OCE，

.PC_CE

••法一丽’

CE=L

2

,,S阴影=S四边形ABCE_S半圆=2SAABO+2sqeE_S半圆=2+5_5=2；

故选D.

【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练学

握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

10.如图，在AABC中，NACB=90°,AC=BC=4,点。是8C边的中点，点P是AC边上一个动

点，连接PO，以PO为边在PZ）的下方作等边三角形PDQ，连接。2.则CQ的最小值是（）

Q

A.—B.1C.V2D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】以8为边作等边三角形CDE,连接EQ,由题意易得NPOC=/QOE,PD=QD,进而可得

△PC履△QED,则有NPCD=NQED=90°,然后可得点。是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值

为CQLQE时，最后问题可求解.

【详解】解：以8为边作等边三角形CCE,连接EQ,如图所示：

•e,AP。。是等边三角形，

ZCED=ZPDQ=ZCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

•••/CO。是公共角，

，ZPDC=ZQDE,

：./\PCD^^QED(SAS),

VZACB=9Q°,AC=8C=4,点。是3c边的中点，

：.ZPCD=ZQED=90°,CD=DE=CE==BC=2,

2

点。是在QE所在直线上运动，

...当CQLQE时，CQ取的最小值，

ZQEC=90°-ZCED=30°,

CQ=(CE=1；

故选B.

【点睛】本题主要考查等边三角形性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角

形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.

二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上.每小题4分，共24分）

H.J语的算术平方根是一

【答案】2

【解析】

【详解】V716=4，4的算术平方根是2,

V16的算术平方根是2.

【点睛】这里需注意：M的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、

立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.

12.中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年91

岁，袁隆平去世是中国乃至全世界的重大损失.袁隆平一生致力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻

亩产量做出了巨大贡献.截至2012年，“种三产四”丰产工程项目累计示范推广面积达2000多万亩，增产

20多亿公斤.将20亿这个数据用科学记数法表示为.

【答案】2xl09

【解析】

【分析】科学记数法要求，小数点在第一个不为零的整数后面，其他数为小数，小数点移动位数等于基的

指数，向左移动，指数为正，向右移动，指数为负.

【详解】20x1()8=2x109

故答案为：2X1()9.

【点睛】本题考查科学记数法，根据相关原则进行计算是解题关键点.

13.如图，实数-石，V15.m在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点8关于原点。的对称点为。.若

机为整数，则机的值为.

•・・••・

DCAOB

【答案】-3

【解析】

【分析】先求出。点表示的数，再得到根的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

【详解】解：；点8关于原点。的对称点为。点8表示的数为历，

...点。表示的数为-历，

•••A点表示—6，C点位于A、。两点之间，

-V15<m<->/5，

•••根为整数，

m=-3；

故答案为：—3.

【点睛】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解

等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法.

14.如图，在4x4的正方形网格图中，已知点A、B、C、。、。均在格点上，其中A、B、。又在0。上，

点E是线段CO与。。的交点.则N&4E的正切值为.

D

【答案】二

2

【解析】

【分析】由题意易得80=4,8c=2,ZDBC=90°,NBAE=NBDC,然后根据三角函数可进行求解.

【详解】解：由题意得：BD=4,BC=2,ZDBC=90°,

；NBAE=NBDC,

tanZBAE=tanZBDC=—=-

BD2

故答案为某

【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键.

15.如图，点4(—2,2)在反比例函数y=A的图象上，点加在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上,

X

且0M=0N=5.点P(x,y)是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点。和E,连

接OA、0P.当时，x的取值范围是.

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN的解析式，最后联立两个解析式求出3和C两个点

的坐标，再根据左的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围.

【详解】解：•••点A(-2,2)

.4=2x(-2)=4

4

所以反比例函数的解析式为：＞=--,

x

因为OM=ON=5,

2W(5,0),N(0,-5),

设线段MN解析式为：y=〃x+q(OWxW5),

15p+q=0

《，

q=-5

.P=1

••5，

q=-5

・・.线段MN解析式为：y=x-5(0<x<5),

y=x-5

联立以上两个解析式得：\4，

y二一一

IX

x=l[x=4

解得：｛/或〈一经检验，符合题意;

,=-4[y=-l

由图可知，两个函数的图像交点分别为点5和点G

.•.8(1),C(4,-l),

・・.P点应位于8和C两点之间，

♦♦l<x<4,

故答案为：l<x<4.

【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、上的几何意义、待定系数法等内容，解

决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解上的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐

标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

16.如图，在正方形A8CO中，点。是对角线BD的中点，点P在线段。。上，连接叱并延长交CD于

点E,过点P作尸R_LAP交3c于点F,连接A/、EF,AF交BD于G,现有以下结论：①AP=PR；

②DE+BF=EF；③PB-PD=eBF；④为定值；⑤S四边形户口。=S.”。.以上结论正确的有

（填入正确的序号即可）.

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】由题意易得/”尸=乙48。=乙4。七=/。=90°,AD=AB,ZABD=45°,对于①：易知点A、B、F、

P四点共圆，然后可得NAFP=NABD=45°,则问题可判定；对于②：把△?!££>绕点A顺时针旋转90°得

到△ABH,则有DE=BH,ZDAE=ZBAH,然后易得△AEF也△AHF,则有HF=EF,则可判定；对于③：

连接AC,在8尸上截取8M=DP,连接4M,易得OB=OD,OP=OM,然后易证△AOPs/vlBF,进而问题

可求解；对于④：过点A作ANJ_E/于点N,则由题意可得AN=A8,若△AEF的面积为定值，则EF为定

值，进而问题可求解；对于⑤由③可得竺一也，进而可得△APGSZSAFE,然后可得相似比为”=42,

AF2AF2

最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.

【详解】解：•••四边形A8CD是正方形，PFLAP,

；.NAPF=NABC=NADE=/C=90°,AD=AB,ZABD=45°,

①,/ZABC+ZAPF=180°,

由四边形内角和可得ZBAP+NBFP=180°,

...点A、B、尸、P四点共圆，

ZAFP=ZABD=45<,,

...△APF是等腰直角三角形，

AP=PF，故①正确；

②把△AE0绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,如图所示:

：.DE=BH,NDAE=NBAH,ZHAE=90Q,AH=AE,

Z/MF=N£AF=45°,

"：AF=AF,

.♦.△AEF咨AAHF(SAS),

：.HF=EF,

HF=BH+BF，

，DE+BF=EF，故②正确;

③连接AC,在BP上截取BM=OP,连接AM,如图所示:

♦.•点。是对角线3。的中点,

：.OB=OD,BDLAC,

：.OP=OM,ZVIOB是等腰直角三角形,

，AB=丘AO,

由①可得点A、B、F、P四点共圆，

ZAPO^ZAFB,

'：ZABF=ZAOP=9Q°,

：.XAOPsXABF,

.OPOAAPV2

••-=-----=,

BFABAF2

5

，OP^—BF,

2

BP-DP=BP-BM=PM=2OP,

PB-PD=x[2BF，故③正确；

④过点A作ANJ_E/于点N,如图所示：

由②可得

•:NABF=/ANF=9Q°,AF=AF,

:.△ABFWXNNF(A4S),

：.AN=AB,

若AAE尸的面积为定值，则E尸为定值,

•.•点P在线段0。上，

...瓦■的长不可能为定值，故④错误；

⑤由③可得”=也，

AF2

VZAFB=ZAFN=ZAPG,ZFAE^ZPAG,

：./XAPG^^AFE,

.GPAPV2

''~EF~^F~~r,

,,SaAGP~5S”"，

••S四边形PEFG=S'APG,故⑤正确；

综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；

故答案为①②③⑤.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握

正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

三、解答题（96分）要求写出必要的解答步骤或证明过程

17.解方程：三0+二二=4.

23

【答案】x=7

【解析】

【分析】根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,就可以得到结果.

【详解】解：去分母得:3（x-3）+2（x-l）=24,

去括号得：3x—9+2x—2=24,

移项并合并同类项得：5x=35,

系数化为1得：x=7,

故答案为：x=7.

【点睛】本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键.

18.先化简，再求值：（」一+」一］+」一.其中》=亚，y=l.

（x-yx+y）x+xy

2x2

【答案】:一，40+4

x-y

【解析】

【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可.

x+y+x—y/、2x2

【详解】解：原式=7~_*xx・（x+y）=——，

（x+y）（x-y）x-y

把x=0，丁=1代入得：原式=2x（旬=4014.

V2-1

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是

解题的关键.

19.如图，在平行四边形A8C。中，E为。。边的中点，连接AE,若AE的延长线和的延长线相交于

点、F.

（1）求证：BC=CF；

（2）连接AC和仍相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形A88的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【解析】

【分析】（1）根据E是边。C的中点，可以得到。E=CE,再根据四边形ABC。是平行四边形，可以得到

ZADE=ZECF,再根据NA£D=NCEF,即可得至UAA£>E且AECF,则答案可证；

AQAR1

（2）先证明ACEG~^ABG,根据相似三角形的性质得出S.ABG=8,——=——=-,进而得出S.BGC=4，

GCCE2

由S.A5C=S“BG+S/CG得八此=12,则答案可解.

【详解】（1）证明：•.•四边形A8C。是平行四边形，

AD//BC,AD=BC,

：.ZADE=ZECF,

•.•点E为。C的中点，

DE=CE,

在AADE和△ECF中

ZADE=ZECF

<DE=CE

ZAED=ZCEF

：.AADE^ECF(ASA),

AD=CF,

：.BC=CF；

(2)♦..四边形A8CZ)是平行四边形，点E为。C的中点，

AB//DC,AB=2EC,

AZGEC=ZABG,NGCE=NGAB,

：•ACEG~AABG,

VAGEC的面积为2,

2=[当[=]<]=J，即S，8G=4S/EG=4X2=8,

S.CEGICEJUJ4

ACEG~AABG

.AGAB_I

,~GC~~CE~2

••S-BGC=2S"8G=5X8=4，

SJBC=S-ABG+S-PCG=8+4=12,

*'•SQABCD=^^ABC=2x12=24.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

20.为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.甲、乙两家商场以相同的价格出

售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.

(1)若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球

数量的学校有哪几种购买方案？

(2)若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%

收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费.若学校按(1)中的方案购买，学

校到哪家商场购买花费少？

【答案】(1)有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个

足球；(2)学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9

个足球到乙商场购买花费少.

【解析】

【分析】(1)设学校购买篮球x个，购买足球(20-x)个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”

2

和“购买篮球的数量多于购买足球数量的一”列出不等式组，求解即可；

3

(2)设学校购买篮球x个，购买足球(20«)个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可.

【详解】解：(1)设学校购买篮球x个，购买足球(20-x)个，根据题意得，

'200x+150(20-x)<3550

<x>j(20-x)

解得，8<x<11

••”是整数，

：.x=9,10或11

.♦.20*12,10或9

故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；

(2)设学校购买篮球x个，购买足球(20-x)个，

在甲商场花费：[200x+150(20-x)-500]x90%+500=(45x+2750)元；

在乙商场花费：[200x+150(20-x)-2000]x80%+2000=(4()x+2800)元；

.•.要使学校到甲商场花费最少，则有：

45x+275(X40x+2800

解得，x<10

V8<x<ll,且x是整数，

.\x=9,

即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球

到乙商场购买花费少.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根

据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解.

21.“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出

了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种.截止2021年5月18日16：20,全球接种“新冠”疫苗

的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%.以下是某地甲、乙两家医院5月份某天

各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图:

甲医院乙医院

年龄段频数频率频数频率

18—29周岁9000.154000.1

30—39周岁a0.2510000.25

40—49周岁2100bC0.225

50—59周岁12000.212000.3

60周岁以上3000.055000.125

（1）根据上面图表信息，回答下列问题:

①填空：a=,b=,

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40—49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为

（2）若4、8、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率.

甲、乙两医院各年龄段接种总人数的扇形统计图

【答案】（1）①1500,0.35,6=900；②108°；

【解析】

【分析】（1）①分别用甲、乙两医院18-29周岁的年龄段的频数除以频率即可求出接种总人数，然后根据频

数与频率的关系求出相应的值；②甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40—49周岁年龄段人数与接

种总人数的百分比乘以360。即可得到在扇形统计图中所占圆心角;

（2）画出树状图，得出所有等可能的结果数与三人在同一家医院接种的结果数，运用概率公式求解即可.

【详解】解：⑴①900+0.15=6000（人）,400^0.1=4000（人）

a=6000-900-2100-1200-300=1500

b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35

C=4000-400-1000-1200-500=900

故答案为：1500,0.35,6=900；

2100+900

②360°x=108°

6000+4000

故答案为：108°；

(2)画树状图为：

开始

.•.所有等可能的结果共有8种情况，而同在一所医院接种的有2种结果数，

71

...三人在同一家医院接种的概率p=2=:.

84

【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及概率的计算，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要

的信息是解决问题的关键.当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

22.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度。点处时，无人机测得操控

者A的俯角为75°,测得小区楼房6c顶端点C处的俯角为45。.已知操控者A和小区楼房8。之间的距

离为45米，小区楼房8c的高度为156米.

£

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