四边形（共42题）-2021年中考数学真题模拟题分训练（教师版含解析）【上海专版】

备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）

专题15四边形（共42题）

中考真题再现

一.选择题（共2小题）

1.（2018•上海）已知平行四边形下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB1BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.

【解析ZA=ZB,NA+NB=180°,所以NA=NB=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，

正确；

B、NA=NC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABC。是矩形，故正确；

。、ABLBC,所以/B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选:B.

2.（2017•上海）已知平行四边形ABC。，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四

边形为矩形的是（）

A.NBAC=NDCAB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.ZBAC=ZADB

【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案.

【解析】A、ZBAC=ZDCA,不能判断四边形A8CO是矩形；

B、ZBAC=ZDAC,能判定四边形A8CD是菱形；不能判断四边形A8c。是矩形；

C、NBAC=NABD,能得出对角线相等，能判断四边形ABCO是矩形；

D、NBAC=NADB,不能判断四边形A3C0是矩形；

故选：C.

二.填空题（共2小题）

3.（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图

形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1）.那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤

方向的边长称为该图形的高.如图2,菱形ABC。的边长为1,边48水平放置.如果该菱形的高是矩

218

形的宽的f那么矩形的宽的值是

3-13-

【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=,x,根据勾股定理列方程可得结论.

【解析】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC,

设AF=x，则CF=1.r,

在RtZXCBF中，CB=\,BF=x-1,

由勾股定理得：BC2^BF2+CF2,

I2=(%—I)2+(1x)2,

解得：x=普或0(舍)，

即它的宽的值是不，

13

-1O

故答案为：—

图2

4.(2018•上海)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某

个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度.

【分析】根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边

形的内角和.

【解析】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形.

所以该多边形的内角和是3X180°=540°.

故答案为540.

三.解答题(共3小题)

5.(2020•上海)如图，在直角梯形A8C。中，AB//DC,NDAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3岳.

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)联结80,求的正切值.

D

【分析】(1)过C作CELAB于E,推出四边形AOCE是矩形，得到AQ=CE,AE=CD=5,根据勾股

定理得到CE=>/BC2-BE2=6,于是得到梯形ABCD的面积=1x(5+8)X6=39；

(2)过C作CH±BD于H,根据相似三角形的性质得到而=—,根据勾股定理得到BD==

V82+62=10,BH=VFC2-CH2=J(3>/5)2-32=6,于是得到结论.

【解析】(1)过C作CELA8于E,

'：AB//DC,NDAB=90°,

，/。=90°,

：.ZA=ZD=ZA£C=90°,

.••四边形4OCE是矩形，

：.AD=CE,AE=CD=5,

:.BE=AB-AE=3,

VBC=3V5,

CE=yjBC2-BE2=6,

二梯形ABCD的面积=ix(5+8)X6=39；

(2)过C作CH工BD于H,

'：CD//AB,

：.ZCDB^ZABD,

•.•/CHD=/A=90°,

：./\CDH^^DBA,

•_CHCD

••,

ADBD

VBD='A/+w=/+62=io,

.CH5

••=，

610

:・CH=3,

：.BH=VBC2-CH2=J(3A/5)2-32=6,

:.NDBC的正切值==|=i

D

6.（2017•上海）已知：如图，四边形A8CC中，AD//BC,AD=CD,E是对角线BO上一点，且E4=EC.

（1）求证：四边形A8C。是菱形；

（2）如果BE=BC,且NCBE：/BCE=2：3,求证：四边形A8CZ）是正方形.

【分析】（1）首先证得△AOE也△COE,由全等三角形的性质可得/AOE=NCZ）E,由A£>〃8c可得N

ADE=NCBD,易得NCDB=NCBD,可得8C=C£>,易得AO=8C,利用平行线的判定定理可得四边

形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；

⑵由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得NBCE=NBEC,利用三角形的内角和定理可得NCBE

=180x；=45°,易得NABE=45°,可得/4BC=90°,由正方形的判定定理可得四边形ABC。是正

方形.

【解答】证明：（1）在△4OE与△COE中，

AD=CD

DE=DE,

EA=EC

△ADE丝△CDE,

，NADE=NCDE,

•：AD//BC,

：.NADE=NCBD,

：./CDE=/CBD,

：.BC=CD,

,:AD=CD,

：.BC=AD,

：.四边形ABCD为平行四边形,

'：AD=CD,

二四边形ABC。是菱形；

(2)'：BE=BC

:.NBCE=NBEC,

VZCBE：NBCE=2：3,

2

AZCBE^180x2+^=45°,

•.•四边形ABC。是菱形，

AZAB£=45",

.../A2C=90°,

四边形ABC。是正方形.

7.(2016•上海)如图所示，梯形ABC。中，AB//DC,NB=90°,AD=\5,AB=\6,BC=12,点E是边

AB上的动点，点F是射线CZ)上一点，射线ED和射线4尸交于点G,且/AGE=/D4B.

(1)求线段CD的长；

(2)如果aAEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；

(3)如果点F在边C。上(不与点C、。重合)，设AE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式，并写出x

【分析】(1)作。了”，如图1,易得四边形8CD”为矩形，则。”=BC=12,CD=8H,再利用

勾股定理计算出AH,从而得到BH和CD的长；

(2)分类讨论：当EA=EG时，则/AGE=NGAE,则判断G点与£)点重合，即ED=EA,作

于M,如图1,则AM=%£>=苧，通过证明RtZ\4MEsRtA4H£),利用相似比可计算出此时的AE长；

当GA=GE时，则/AGE=/AEG,可证明AE=4£)=15,

(3)作于"，如图2,则A”=9,HE=\x-9|,先利用勾股定理表示出DE=g2+(x-9产,

再证明△EAGS/\ED4,则利用相似比可表示出EG=(，=,则可表示出OG,然后证明△OGf1

J122+(X-9)2

s/SEGA,于是利用相似比可表示出x和y的关系.

【解析】(1)作于〃，如图1,

易得四边形5CQ〃为矩形，

：.DH=BC=\2,CD=BH,

在为△AOH中，AH=yjAD2-DH2=V152-122=9,

：.BH=AB-A”=16-9=7,

：.CD=7；

⑵①EA=EG时，则ZAGE=ZGAE,

,：ZAGE=ZDABf

:,NGAE=NDAB,

・・.G点与。点重合，即EQ=£A,

作EM_LAD于M,如图1,则AM=*AD=学

*.*/MAE=/HAD,

：.Rt/\AME^Rt/\AHD,

1q9q

：.AE：AD=AM：AH,B|JAE：15=号：9,解得AE=^；

②GA=GE时，则NGAE=NAEG,

ZAGE=ZDAB,

而/AGE=NA£>G+ND4G,ZDAB=ZGAE+ZDAG,

：.ZGAE=ZADG,

：./AEG=ZADG,

：.AE=AD=15.

综上所述，△4EC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为乌或15；

(3)作O4_L4B于”，如图2,则A”=9,HE=\x-9\,

在Rt/\HDE中，DE=>/DH2+HE2=7122+(x-9)2,

VZAGE^ZDAB,ZAEG^ZDEA,

：./\EAG^>/\EDA,

：.EG-AE=AE：ED,即EG：x=x：J122+(x-9)2,

%2

AEG=-^=

J122+(X-9)2

DG=DE-EG=y/122+(%-9)2-1/:,

'J122+(X-9)2

"."DF//AE,

：./\DGF^/\EGA,

2

________________r2%

：.DF：AE=DGzEG,即y：x=(J122+(x—9尸一〒人)：..=,

“J122+(Z-9)2J122o+(X-9)2

2020模拟汇编

1.（2020•杨浦区二模）已知在四边形A3CQ中，AB//CD,对角线AC与。。相交于点。，那么下列条件中

能判定这个四边形是矩形的是（）

A.AD=BCfAC=BDB.AC=BD9NBAD=NBCD

C.AO=CO,AB=BCD.AO=OB,AC=BD

【分析】根据矩形的判定方法，一•判断即可解决问题.

【解析】人AB//DC,AD=BC,无法得出四边形A8CO是平行四边形，故无法判断四边形48CO是矩

形.故错误；

B、'：AB//CD,

・・・N84O+NAOC=NA8C+N3CD=180°,

•：NBAD=/BCD,

：.ZABC=NADC,

工得出四边形ABC。是平行四边形，

•:AC=BD,

・・・四边形A8CO是矩形.故正确；

C、YAO=CO,AB=BC,

：.BD±AC,NABD=NCBD,

,:AB〃CD,

/.NABD=/CDB,

:.NCBD=NCDB,

：.BC=CD,

：.AB=CD,

四边形ABC。是菱形，无法判断四边形ABC。是矩形.故错误;

D、AO=OB,AC=8。可无法判断四边形ABC。是矩形，故错误;

2.（2020•普陀区二模）如图，矩形ABC。中，对角线AC、8。交于点O,如果08=4,/AOB=60°,那

么矩形ABCO的面积等于（）

A.8B.16C.8V3D.16痘

【分析】由矩形的性质得出OA=BO,证△AOB是等边三角形，得出48=08=4,由勾股定理求出AD,

即可求出矩形的面积.

【解析】•••四边形ABC。是矩形

AZBAD=90°,AO=CO=14C,80=00=聂。，AC=BD^2OB=S,

：.OA=BO,

•.•/AO8=60°,

ZVIOB是等边三角形，

：.AB=0B=4,

：.AD=<BD2-AB2=V82-42=4后

二矩形ABC。的面积=ABXAO=4X4V5=16V3；

故选：D.

3.（2020•奉贤区二模）四边形ABC。的两条对角线AC、8。互相平分.添加下列条件，一定能判定四边形

ABCD为菱形的是（）

A.NABD=NBDCB.ZABD^ABACC.NABD=NCBDD.ZABD^ZBCA

【分析】先由对角线AC、BO互相平分得出四边形48CD是平行四边形，再按照平行四边形基础上菱

形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，逐个

选项分析即可.

【解析】如图所示，设四边形A8CO的两条对角线AC、8。交于点0,

"：AC,8。互相平分，

...四边形A8CO是平行四边形.

选项A,由平行四边形的性质可知A5〃QC,则从而A不符合题意；

选项8,NABD=NBAC,则A0=B0,再结合对角线AC、8D互相平分，可知4C=8O,从而平行四

边形A8CD是矩形，故8不符合题意；

选项C,由平行四边形的性质可知A£>〃BC,从而NADB=NCBD,

当时，ZADB^ZABD,故AB=A£>,

由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；

选项D,NABD=NBCA,得不出可以判定四边形ABC。为菱形的条件，故。不符合题意.

综上，只有选项C一定能判定四边形A8CD为菱形.

故选：C.

4.（2020•静安区二模）如图，团ABC。的对角线AC、BO相交于点O,那么下列条件中，能判断m48CD是

菱形的为（）

A.AO=COB.AO=BOC.ZAOB=ZBOCD.NBAD=NABC

【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②时角线

互相垂直的平行四边形是菱形.据此逐个选项分析即可.

【解析】选项A,由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；

选项8,由团A8CO中A0=8。可推得AC=B£>,可以证明团ABC。为矩形，但不能判定因A8CQ为菱形，

故8不符合题意；

选项C,当/AOB=/BOC时，由于NAOB+/80c=180°,故/4OB=N3OC=90°,而对角线互相

垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；

选项。，由平行四边形的性质可知，NBAO+/ABC=180°,故当/BAO=NABC时，ZBAD=ZABC

=90°,从而可判定回A2CO为矩形，故。不符合题意.

综上，只有选项C可以判定12ABe。是菱形.

故选：C.

5.（2020•闵行区二模）顺次联结四边形A8C。各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形48。。是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形

的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形

的对角线必互相垂直，由此得解.

【解析】已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是42、BC、CD、4。的中点，求

证：四边形A8C。是对角线垂直的四边形.

证明：由于E、尸、G、H分别是A8、BC、CD、AO的中点，

根据三角形中位线定理得：EH//FG//BD,EF//AC//HG；

'：四边形EFGH是矩形，即EFVFG,

：.AC1.BD,

观察选项，只有菱形的对角线互相垂直.

故选：C.

6.（2020•浦东新区二模）在梯形A8CZ）中，AD//BC,那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）

A.AB^DCB.ZDAB=ZABCC.NABC=NDCBD.AC^DB

【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，

③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可.

【解析】A、AB=DC,

.••梯形ABCQ是等腰梯形，故本选项错误；

8、根据ND48=NA8C,不能推出四边形A8CD是等腰梯形，故本选项正确；

C、'：ZABC=ZDCB,

：.BD=BC,

，四边形ABC。是等腰梯形，故本选项错误;

D、"：AC^BD,

'：AD//BC,

，四边形A8CD是等腰梯形，故本选项错误.

7.（2020•闵行区一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）

A.测量对角线是否相互平分

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量对角线是否互相垂直

D.测量其中三个角是否是直角

【分析】由矩形的判定即可得出结论.

【解析】•.•三个角是直角的四边形是矩形，

...在下面四个拟定方案中，正确的方案是Q,

故选：D.

8.（2020•松江区一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角a,它们重

叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5.那么sina的值为（）

3

D.-

2

【分析】如图，过点A作AFLCD,由菱形的判定可证四边形A8CZ）是菱形，可得AO=CD

由面积公式可求40=8=会即可求解.

【解析】如图，过点A作AELBC,AFLCD,

■:AD//B3AB//CD,

，四边形A3CO是平行四边形,

•・•四边形ABCD的面积是1.5,

BCXAE=CDXAFf且AE=Ab=1,

:.BC=CD,

・・・四边形A5CD是菱形,

:・AD=CD,

V1.5=CDXAF,

3

：.CD=^

3

：.AD=CD=^

.•.sina=^

故选：C.

9.（2020•虹口区二模）如图，在矩形48CC中，对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是（）

C.OA=OBD.OA=AB

【分析】利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、。正确即可.

【解析】,・•四边形A8CO是矩形,

AZABC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：・OA=OB,

故A、B、。正确,

故错误的是D,

故选：D.

10.（2020•松江区二模）如果一个多边形的每一个内角都是135°,那么这个多边形的边数是（）

A.5B.6C.8D.10

【分析】已知每一个内角都等于135。，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度

就可以求出多边形的边数.

【解析】多边形的边数是：〃=铺潜♦=8,即该多边形是八边形.

1OU-1OD

故选：C.

二.填空题（共10小题）

11.（2020•浦东新区三模）如图，在矩形ABC。中，A8=3,8c=4,将矩形A8CZ）绕点C旋转，点A、B、

。的对应点分别为A'、8'、。'，当A'落在边CD的延长线上时，边A'D'与边40的延长线交

3-75

于点尸，联结CF,那么线段CF的长度为工.

【分析】由旋转的性质得CD=C£>'=3,A'D'=AD=4,NAOC=N4£>'C=90°,由勾股定理得出4c

=5,则AO=A'C-C£>=5-3=2,证RtZXCOF丝Rt^C£>'F（"L）,得出。F=O'F,设£>F=O'F=x,则

A'F=4-x,在RdA。尸中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=j,由勾股定理即可得出b的长度.

【解析】•••四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=4,NAOC=90°,

AZA'DF=ZCDF=90°,

由旋转的性质得：CD=CD'=3,A'D'=AD=4,ZADC=ZA'D'C=90°,

：.A'C=V32+42=5,

：.A'D=A'C-CD=5-3=2,

在RtACDF和RtACD'F中，t,,

yCD=CD

：.RtACDF^RtACD'F(HL),

：.DF=DF,

设OF=C'F=尤，则AF=4-x,

在RtaAD尸中，由勾股定理得：22+/=（4-X）2,

解得：x=|,

故答案为：—.

12.（2020•浦东新区三模）如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么

这个梯形的面积是32平方厘米.

【分析】如图，作OEL8C,根据勾股定理得到CE="D2-DE2=6,根据梯形的面积公式即可得到

结论.

【解析】如图，作力从L8C,已知A8=8,CD=\Q,BC=7,

CE=>JCD2-DE2=6,

：.AD^=BC-EC^\,

11

梯形的面积是：-(AC+3C)•DE=掾x(7+1)X8=32(c〃?2),

答：这个梯形的面积是32平方厘米.

故答案为：32.

13.(2020•杨浦区二模)如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=\0,BC=15,tan/A=小点P是边4。

上一点，联结PB,将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ,如果点。恰好落在平行四边形

【分析】如图1中，当点Q落在C。上时，作BE_LAO于E,QF_LAD交AD的延长线于F.设PE=x.如

图2,当点。落在AD上时，如图3中，当点。落在直线8c上时，作8ELAO于E,PF工BC于F.则

四边形BEPF是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论.

【解析】如图1中，当点。落在CO上时，作于£,Q凡LA。交AO的延长线于F.设PE=x.

RF4

在RtZ\4E8中，・.・6必=养=&A8=10,

：.BE=S,AE=6,

•・•将线段P8绕着点尸逆时针旋转90°得到线段PQ,

ZBPQ=90°,

EBP+/BPE=NBPE+/FPQ=90°,

：.ZEBP=ZFPQf

•；PB=PQ,NPEB=NPFQ=90°,

：./\PBE^/\QPF{AAS^

:・PE=QF=x,EB=PF=8,

・DF=AE+PE+PF-AD=x-1,

YCD〃AB,

：.ZFDQ=ZA,

4FO

/.tanZFDQ=tanA=可=淼,

.x4

••=一,

x-13

Ax=4,

，PE=4,

・・・AP=6+4=10；

如图2,当点。落在A。上时，

・・,将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ,

BPQ=90°,

AZAPB=ZBPQ=90°,

AD4

在RtZ\AP8中，；tanA=^=w，AB=10,

：.AP=6；

如图3中，当点。落在直线BC上时，作BE±AD于E,PFVBC于F.则四边形BEPF是矩形.

DCA

在中，：3必=器=1,AB=10,

.,.£?£=8,AE=6,

；.PF=BE=8,

；△BP。是等腰直角三角形，PF1.BQ,

：.PF=BF=FQ=8,

:.PB=PQ=3&BQ=V^PB=16>15（不合题意舍去），

综上所述，4P的值是6或10,

故答案为：6或10.

14.(2020•徐汇区二模)如图，在平行四边形ABC。中，AO=3,AB=5,sinA=将平行四边形48。绕

着点8顺时针旋转9(0°＜。＜90°)后，点A的对应是点4,联结4C,如果4CLBC,那么cos。的值

【分析】连接8。，连接A'C,过点8作BH_LAO于H,过点4作AEJ_4B于E,先证点〃与点。重合，

再证四边形4C8Q是矩形，可得NA,Q8=90°,可得点A,点。，点4共线，由面积法可求4七=餐,

由勾股定理可求解.

【解析】如图，连接B/),连接A7),过点8作于，，过点A作4EJ_A8于E,

；.BH=4,

：.AH=7AB2_BH2=V25-16=3,

：.AD=AH=3,

二点。与点”重合，

AZADB=90°,

•.•四边形ABC。是平行四边形,

:・AD=BC=3,AD//BC,

：.ZADB=ZDBC=90°,

又TA'CLBC,

：.BD〃KC,

•・•将平行四边形ABC。绕着点3顺时针旋转8（00<0<90°）,

：.A'B=AB=5,

VA'CIBC,

：.AfC=>JAfB2-BC2=-25-9=4,

：.A!C=BD,

・・・四边形A:CBD是平行四边形，

VZDBC=90°,8C=A7）=3,

・・・四边形HCBO是矩形，

AZA,DB=90Q,

/.ZA,DB+ZADB=1SO°,

・••点4,点。，点W共线，

1,i

VSAA'BA=*xABXAE=今xAA'XBD,

74

：.AfE=会

BE=>JA'B2-A'E2=15-黎=看,

\255

7

・aBE57

..COS0=^=5=25，

7

故答案为：—.

25

15.（2020•嘉定区二模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）

组成.用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABC。就是由七巧板拼成的，那么正方形EFG”

1

的面积与正方形A8CZ）的面积的比值为二.

-8-

【分析】四边形£尸G”是正方形，ZVIEH是等腰直角三角形，即可得出44=”E="G,设A”="G=

1,则AG=2,即可得到正方形EFG”的面积为1,正方形ABCO的面积为8,进而得出结论.

【解析】•••四边形EFG”是正方形，△AE”是等腰直角三角形,

:.AH=HE=HG,

设AH=HG=1,则4G=2,正方形EFG”的面积为1,

•••△AOG是等腰直角三角形，

：.AD=V2AG=2V2,

/.正方形ABCD的面积为8,

...正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为

故答案为：，

16.（2020•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线

称为这个四边形的“等分周长线”.在直角梯形ABCQ中，AB//CD,NA=90°,DC=AD,是锐

角，cotB=/,AB=17.如果点E在梯形的边上，CE是梯形A8CD的“等分周长线”，那么△8CE的

周长为42.

【分析】作SLAB于，，设8H=5”，证明四边形AOC”为矩形，得到AO=C"=12m根据题意求

出。，根据勾股定理求出8C,根据“等分周长线”计算，得到答案.

【解析】作于H,

设BH=5a,

cotB=g,

eBH5

一CH-12'

:,CH=12a,

U：AB//CD,

/.ZD=ZA=90°,又

，四边形AOC〃为矩形，

：.AD=CH=12a,CD=AH,

,:DC=AD,

：.AH=CD=l2a,

由题意得，12a+5a=17,

解得，a=\,

:,AD=CD=AH=\2,BH=5,

在RlZ\CH8中，BC=y/CH2+BH2=13,

・・・四边形ABCD的周长=12+12+17+13=54,

•：CE是梯形ABCD的“等分周长线”，

.•.点E■在A8上，

.-17+13-27=3,

.♦.£«=12-3=9,

由勾股定理得，EC=>JCH2+EH2=15,

.•.△8CE的周长=14+13+15=42,

故答案为：42.

17.（2020•黄浦区二模）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2,那么这个梯形的中位线把梯形分成两

部分的面积之比是5：7.

【分析】设梯形的上底为“，用。表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根

据梯形的面积公式计算，得到答案.

【解析】设梯形的上底为〃，则下底为2〃，

梯形的中位线=警=|。，

•••梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，

13

这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比==5

^x（^a+2a）xh7

故答案为：5：7.

18.（2020•虹口区二模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=BD=BC,如果NC=50°,那么/ABO

的度数是20°.

【分析】根据题意可得三角形BDC和三角形是等腰三角形，再根据4O〃BC,可得NO8C,

再根据三角形内角和即可求出N484的度数.

【解析】•••BQnBC,

AZBDC=ZC=50°,

A180°-2ZC=80°,

,:AD〃BC,

：.ZBDA=ZDBC=SOC,

■:AB=BD,

：.ZA=ZBDA=^0°,

・・・NA5Q=1800-2ZA=20°.

故答案为：20°.

19.（2020•金山区二模）四边形ABC。中，对角线AC、8。相互垂直，AC=4,80=6,顺次联结这个四边

形中点所得的四边形的面积等于

【分析】由E、F、G、H分别为各边的中点，根据三角形的中位线定理可得EF//AC,GH//AC,EH

//BD,FG//BD,EF=*AC=2,EH=抑）=3,从而可得四边形EFG”是平行四边形，再由对角线AC、

8。相互垂直，可证得四边形EMON是矩形，然后证明四边形E尸G”是矩形，利用矩形的面积计算公式

可得答案.

【解析】如图，

VE,F、G、，分别为各边的中点，

11

：.EF//AC,GH//AC,EH//BD,FG//BD,EF=^AC=2,EH=^BD=3,

•••四边形EFGH是平行四边形，

•・•对角线AC、8。相互垂直，

；.NEMO=NENO=90°,

，四边形EMON是矩形，

；.NMEN=90°,

...四边形EFGH是矩形，

四边形EFG”的面积为：2X3=6.

故答案为：6.

20.（2020•虹口区一模）如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=1,8c=2,点。为边AB上一动点，正

1

方形OEFG的顶点£、F都在边5c上，联结3G,tanZDGB=-.

npACi

【分析】设OE与3G交于点O,根据题意可得可得==二=-，由正方形的性质

BEBC2

GF1DOEOGF1

可得GF=DE=EF,进而得出一=再证明可得一=—=—=

BF3DGEBBF3

【解析】如图，DE与BG交于点O,

•:正方形DEFG,

:・NDEB=NEDG=NGFB=90°,GF=DE=EF,

：・4BDES/\ABC,

tDEAC1

••BE-BC-2’

.GF1

-3，

■:/DOG=/EOB,

：.ADOGsAEOBsAFGB,

,DOEOGF1

DG~EB~BF~3

tanZDGB=1.

故答案为：!

三.解答题（共15小题）

21.（2020•杨浦区二模）如图，已知在正方形ABC。中，对角线4c与BO交于点。，点M在线段。力上，

联结AM并延长交边。C于点E,点N在线段OC上，且ON=OM,联结。N与线段AE交于点H,联

结EMMN.

⑴如果EN〃BD,求证：四边形OMNE是菱形；

（2）如果EN_LQC,求证：AN?=NOAC.

【分析】（1）由四边形48c。是正方形，推出宏=万万，所以MN〃CO,再根据EN〃8。，推出四边形

QA/NE是平行四边形，再证明△AOM怂△OOM推出NOMA=NONQ,由NO4M+NOMA=90°,Z

OAM+NOND=90°得出/AHN=90°,EPDNLME,所以四边形DWNE是菱形；

ANAM

（2）由MN〃CD,推出一=—,由四边形A8CO是正方形，推出A8〃OC,AB=DC,ZADC=90°,

NCME

4cDCAMABANAC

即4OJ_OC,根据EMLDC,得出EV〃A£>,所以一=—，根据A6〃OC,推出一=—，所以一=—,

ANDEMEDENCAN

最后得出结论.

【解答】证明：（1）如图1,

•・•四边形ABCO是正方形,

：.OA=OB=OC=OD,ACA.BD,

ON=OM,

.ONOM

•.=,

OCOD

:.MN〃CD,

又,：EN〃BD,

四边形DMNE是平行四边形，

在△AOM和△DON中，

VZAOM=ZDON=90°,OA=OD,OM=ON,

：.△AOMgZkOOMSAS),

：.NOMA=NOND,

VZOAM+ZOMA^90°,

ZOAM+ZOND=90a

；.NAHN=90°.

C.DNLME,

.••平行四边形。WNE是菱形；

(2)如图2,

'：MN//CD,

eANAM

"/VC一ME9

・・•四边形ABCD是正方形，

：.AB//DC,AB=DC,乙4DC=90°,

：.AD±DC,

又•：E心DC,

：.EN//AD,

tACDC

,*AN~DE

,:AB〃DC,

,AMAB

“ME~DE"

eANAC

"/VC一ANf

:.AN2=NCMC.

22.(2020•浦东新区三模)已知：如图，点E为团ABC。对角线AC上的一点，点尸在线段BE的延长线上,

且EF=BE,线段EF与边CQ相交于点G.

⑴求证：DF//AC；

(2)如果A8=BE,DG=CG,联结。E、CF,求证：四边形OECF是矩形.

（2）根据平行四边形的性质得到AB//CD,由平行线的性质得到NA4E=NGCE,求得NGEC=NGCE,

得至|JGE=CG,推出四边形OEC厂是平行四边形，得到。G=CG=FG=G£：,于是得到结论.

【解答】（1）证明：・・♦四边形A8CD是平行四边形，

：.BO=DO,

,:EF=BE,

・•・。£是△8。尸的中位线，

JOE//DF,

即DF//AC；

⑵解:':AB=BE,

:・NBAE=NBEA,

・・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB//CD,

：.ZBAE=ZGCE,

•:/BEA=/GEC,

:・NGEC=NGCE,

:・GE=CG,

U：DF//AC,

.DGFG

••=,

CGGE

・；DG=CG,

:・FG=GE,

・・・四边形OECF是平行四边形，

・；DG=CG,FG=GE,GE=CG,

；.DG=CG=FG=GE,

：.DC=EF,

・・・四边形OECF是矩形.

23.（2020•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABC。中，点石、F、G、H分别在边A3、BC、CD、

DA±,BE=DG,BF=DH.

⑴求证：四边形E/G”是平行四边形;

（2）当AB=8C,且BE=8/时，求证：四边形EFGH是矩形.

H

B

备用图

【分析】（1）利用全等三角形的性质可得E/="G,EH=FG,可得结论;

180。一4力

⑵由等腰三角形的性质可得N3£F=N3PE=,ZAEH=NAHE=里可求/尸£；//=90°,

23：

可得结论.

【解答】证明：（1）・・,四边形A8CO是平行四边形,

:・AB=CD,AD=BC,NB=ND,N4=NC,

■:BE=DG,BF=DHf且N8=ND,

・•・/\BEF冬/XDGH(SAS),

：.EF=HG,

同理可得E”=FG,

・・・四边形EFGH是平行四边形;

(2)VAB=BC,BE=BF

：・AB=BC=CD=AD,BE=BF=DH=DG,

：.AE=AH,

U：AD//BC,

.,.ZB+ZA=180°,

•：BE=BF,AE=AH,

180。一乙4180°-z5

/.NBEF=NBFE=,NAEH=NAHE=

22

/.ZAEH+ZBEF=90°,

：.ZFEH=90°,

工平行四边形EFG”是矩形.

24.（2020•奉贤区二模）如图1,由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状

（推移过程中边的长度保持不变）.已知矩形ABC。，AB=4cm,AD=3cmf固定边A8,推边A。，使得

点。落在点E处，点C落在点尸处.

(1)如图2,如果/D4E=30°,求点E到边AB的距离；

(2)如图3,如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积.

【分析】(1)过点E作轴，垂足为H,根据矩形的性质得到/D48=90°,AD//EH,根据平行

线的性质得到N£>AE=N4E"，求得NAE”=30°,解直角三角形即可得到结论；

(2)过点E作垂足为从根据矩形的性质得到A£)=8C.得到BC=3a〃.根据勾股定理得到

AC=W1B2+8C2=5cm,根据平行线分线段成比例定理得到EH=根据四边形的性质得到AD

—AE=BF,AB=DC=EF.求得四边形48C£)是平行四边形，于是得到结论.

【解析】(1)如图2,过点E作轴，垂足为“，

•.•四边形ABC。是矩形，

AZDAB=90°,

：.AD//EH,

:.NDAE=NAEH,

'：ZDAE=30a,AZAEW=30°.

在直角△AEH中，ZAHE=90°,

；.EH=AE・cosNAEH,

AD=AE=3cm,

.r.Qy耳373

..EHu=3X万-=,

373

即点E到边4B的距离是:切；

(2汝U图3,过点E作垂足为从

•.•四边形ABCC是矩形，

：.AD=BC,

AD=3cm,

BC—,icm,

在直角△A8C中，ZABC=90°,AB=4cm,

：.AC=y/AB2+BC2=5cm,

：EH//BC,

.AEEH

*AC-BC

AE=AD=3cm,

.3EH

54

9

EH—百

.•推移过程中边的长度保持不变,

\AD=AE=BF,AB=DC=EF,

四边形ABCD是平行四边形，