2024届广东省七校联合体数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届广东省七校联合体数学高二第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．2．下列命题正确的是（）A．若，则B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“”、“”、“”中至少有一个为假命题D．“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”3．若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．命题，，则为（）A．， B．，C．， D．，5．的展开式中的系数是（）A．16 B．70 C．560 D．11206．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A． B． C． D．9．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．011．已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于，两点，若且的周长为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，.已知矩阵，其中，，那么B=________.14．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）15．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则="______________________."16．已知复数z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18．（12分）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．19．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α120．（12分）已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;（Ⅱ）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点，，求.21．（12分）已知函数.（1）若函数与相切于点，求的值；（2）若是函数图象的切线，求的最小值.22．（10分）（．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先求导，得到函数的单调区间，函数在区间上有最大值无最小值，即导数的零点在上，计算得到答案.【题目详解】设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足：即故答案选C【题目点拨】本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.2、C【解题分析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.详解：A.若，则,当a为0时此时结论不成立，故错误；B.“”是“”的必要不充分条件，当x=4时成立，故正确结论应是充分不必要；D.“若，则，全为0”的逆否命题是“若，全不为0，则”应该是若，不全为0，故错误，所以综合可得选C点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题.3、C【解题分析】

先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系．【题目详解】，所以共轭复数，因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限所以，解得所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”充要条件，故选C【题目点拨】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题．4、C【解题分析】

含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【题目详解】量词改为：，结论改为：，则，.故选：C.【题目点拨】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.5、D【解题分析】

设含的为第，所以，故系数为：，选D．6、A【解题分析】

由题意知X～B（4，），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【题目详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，），则X的方差D（X）＝4（1）＝1，故选A．【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，）是解决本题的关键．7、A【解题分析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【题目详解】解：∵，∴，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），所在的象限为第一象限．故选：A．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8、C【解题分析】

根据只有第5项系数最大计算出，再计算展开式中含项的系数【题目详解】只有第5项系数最大,展开式中含项的系数,系数为故答案选C【题目点拨】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.9、C【解题分析】

先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【题目详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【题目点拨】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．10、C【解题分析】分析：利用导数法，可得当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，结合方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．详解：∵函数f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，则x=±1，当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；故当x=﹣1时，函数取极大值m+2，当x=1时，函数取极小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有两个相异实根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故选：C．点睛：本题考查的知识点是利用导数法研究函数的极值，方程根的个数判断，难度中档．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含参的函数，注意让含参的函数式子尽量简单一些。11、D【解题分析】

设双曲线的另一个焦点为，则根据双曲线的对称性得为矩形，，由条件可得，由双曲线的定义，再由勾股定理可解得离心率.【题目详解】设双曲线的另一个焦点为，由.根据双曲线的对称性得为矩形，如图，.又的周长为，则…………①.由双曲线的定义………………②由①，②得.在直角三角形中,.则，即，所以.故选：D【题目点拨】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.12、B【解题分析】

由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.【题目详解】偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，，，，，，故选：B.【题目点拨】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据条件列方程组，解得结果.【题目详解】由定义得，所以故答案为：【题目点拨】本题考查矩阵运算，考查基本分析求解能力，属基础题.14、60【解题分析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。15、【解题分析】

解：过点（3，0）且与极轴垂直的直线方程为x=3，曲线ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=216、-1.【解题分析】分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值.详解：由复数是纯虚数，得，解得.故答案为-1.点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）90°【解题分析】

（1）利用垂直于所在的平面，从而证得；（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量，，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.【题目详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如图建立空间直角坐标系，则、、、、，从而，，.设为平面的法向量，则令，所以，设为平面的法向量，则，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小为.【题目点拨】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；（2）时，，在内，，单调递增；（3）时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，，，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.19、A=【解题分析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【题目详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵【题目点拨】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单20、（Ⅰ），（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线的普通方程；（Ⅱ）求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．【题目详解】（Ⅰ）由直线极坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线直角坐标方程：，由曲线的参数方程为（为参数），则，整理得，即椭圆的普通方程为．（Ⅱ）直线的参数方程为，即（为参数）把直线的参数方程代入得：，故可设，是上述方程的两个实根，则有又直线过点，故由上式及的几何意义得：.【题目点拨】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用函数与相切于点，切线即可求的值.（2）若是函数图象的切线，设切点，表达函数的切线方程，表达，构造新函数，求其最小值即可.【题目详解】（1）由函数，则，，.所以，.（2）设切点，则切线方程为，即，亦即，由题意得.∴令.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；∴∴的最小值为.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，解题的关键是熟记基本初等函数的导数，属于中档题.22、（1）；（2）分布列见解析.【解题分析】

⑴运用古典概率方法，从有奖