2024届海南省海口市第四中学数学高二下期末达标测试试题含解析

2024届海南省海口市第四中学数学高二下期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．函数零点所在的大致区间为（）A． B． C．和 D．3．某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74254．函数的定义域为（）A． B．C． D．5．在中，，则角为（）A． B． C． D．6．已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（）A． B． C．-1 D．-27．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于BD上，则山高AB等于()A．100米 B．米 C．米 D．米8．已知全集U＝Z，，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于（）A．{－1,2} B．{－1,0} C．{0,1} D．{1,2}9．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是()A． B． C． D．10．的展开式中的系数是（）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．（）A． B． C．2 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．随机变量X服从于正态分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，则P（2＜X＜4）＝_____14．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求:甲：我不选太极拳和足球；乙：我不选太极拳和游泳；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.15．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.16．设集合，，若，则的所有可能的取值构成的集合是_______；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正方形的边长为2，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值.18．（12分）设复数（其中），．（Ⅰ）若是实数，求的值；（Ⅱ）若是纯虚数，求．19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前，，，四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知，选择甲的概率均为，，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均末选择甲的概率为．（1）求，的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．20．（12分）如图，三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知抛物线C：=2px（p>0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点（I）求抛物线C的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标．22．（10分）已知向量m=(3sin（1）若m⋅n=1（2）记f(x)=m⋅n在ΔABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(2a-c)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

计算出A集合，则可以比较简单的判断四个选项的正误.【题目详解】可以排除且故选择D.【题目点拨】考查集合的包含关系，属于简单题.2、B【解题分析】

判断函数单调递增，计算，得到答案.【题目详解】函数在上单调递增，，，故函数在有唯一零点.故选：.【题目点拨】本题考查了零点存在定理，确定函数的单调性是解题的关键.3、A【解题分析】

根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有种，而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有种；由分步计数原理可得，共种不同的方案；故选：A.【题目点拨】本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4、B【解题分析】

利用二次根式的性质和分式的分母不为零求出函数的定义域即可.【题目详解】由题意知，，解得且，所以原函数的定义域为.故选：B【题目点拨】本题考查函数定义域的求解；考查二次根式的性质和分式的分母不为零；考查运算求解能力；属于基础题.5、D【解题分析】

利用余弦定理解出即可．【题目详解】【题目点拨】本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题．6、B【解题分析】

设，由，利用抛物线定义求得，进而得进而即可求解【题目详解】设，因为，所以，解得，代入抛物线方程得，所以，，，从而直线的斜率为.故选：B【题目点拨】本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.7、C【解题分析】

设，，中，分别表示，最后表示求解长度.【题目详解】设，中，，，中，，解得：米.故选C.【题目点拨】本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.8、A【解题分析】

试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为,故选A．考点：集合的运算9、A【解题分析】

由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可.【题目详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该小于零，题中图像符合题意；对于选项C，过坐标原点，则，直线在轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；过坐标原点，直线的倾斜角为锐角，题中BD选项中图像不合题意；本题选择A选项.【题目点拨】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、D【解题分析】试题分析：的系数为．故选D．考点：二项式定理的应用．11、C【解题分析】

对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。【题目详解】由题可得，分别把和代入与中得到，解得：；，，即当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；（1）当时，显然不等式不成立，舍去；（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；综述所述，实数的取值范围是故答案选C【题目点拨】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。12、A【解题分析】

根据定积分表示直线与曲线围成的图像面积，即可求出结果.【题目详解】因为定积分表示直线与曲线围成的图像面积，又表示圆的一半，其中；因此定积分表示圆的，其中，故.故选A【题目点拨】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用正态分布的对称性，求得的值.【题目详解】由条件知,故.【题目点拨】本小题主要考查正态分布在指定区间的概率，属于基础题.14、丙【解题分析】

列出表格，用√表示已选的，用×表示未选的课程，逐个将每门课程所选的人确定下来，即可得知选击剑的人是谁。【题目详解】在如下图中，用√表示该门课程被选择，用×表示该门课程未选，且每行每列只有一个勾，太极拳足球击剑游泳甲××√乙×√②×丙×√×丁√①从上述四个人的要求中知，太极拳甲、乙、丙都不选择，则丁选择太极拳，丁所说的命题正确，其逆否命题为“我选太极拳，那么乙选足球”为真，则选足球的是乙，由于乙、丙、丁都为选择游泳，那么甲选择游泳，最后只有丙选择击剑。故答案为：丙。【题目点拨】本题考查合情推理，充分利用假设法去进行论证，考查推理论证能力，属于中等题。15、.【解题分析】

利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，解得，由题意得，解得，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解题分析】

根据集合的包含关系可确定可能的取值，从而得到结果.【题目详解】由得：或或所有可能的取值构成的集合为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）由已知易证平面，可得，又由可得证；（Ⅱ）法一：在内过点作于点，可证为所求线面角；法二：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量方法求解.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，，∴平面，又平面，∴.由已知可得，∴平面.（Ⅱ）法一：在内过点作于点.由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，则即为与平面所成角.设与交于点，连接，则，.又平面，平面，，在，，.∴，即与平面所成角的余弦值.法二：以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则，，，，设，则，解得，于是.又平面的一个法向量为，故.因此，与平面所成角的余弦值.【题目点拨】本题考查了线面垂直的证明和线面角的求法，考查了直观想象能力和数学计算能力，属于中档题.18、（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用复数z1＋z2是实数，求得a＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果；（Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得，利用复数是纯虚数的条件求得的值，之后应用复数模的公式求得结果【题目详解】（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵是纯虚数，∴，故．【题目点拨】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.19、(1)(2)的分布列见解析；数学期望为2【解题分析】

（1）根据题意，利用相互独立事件概率计算公式列出关于的方程组，即可求解出答案．（2）根据题意先列出随机变量的所有可能取值，然后根据独立重复事件的概率计算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根据数学期望的计算公式求解出结果．【题目详解】解：（1）由已知可得解得（2）可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，．的分布列如下表：01234．【题目点拨】本题主要考查逆用相互独立事件概率计算公式求解概率问题以及离散型随机变量的分布列和期望的求解．20、(1)见证明；(2)【解题分析】

（1）取AB的中点D，连结PD，CD．推导出AB⊥PD，AB⊥CD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，连结OE．推导出PO⊥AB，从而PO⊥平面ABC，由三垂线定理得OE⊥BC，从而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【题目详解】（1）取的中点，连结，.因为，，所以，，所以平面，因为平面，所以.（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，连结，根据三垂线定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，则，所以．【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21、（Ⅰ）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）【解题分析】

（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程．（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值．（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标．【题目详解】（I）∵准线方程x=-,得=1，∴抛物线C的方程为（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=要使+的最小，则P，A，B三点共线此时+=+=4·（III）直线MN的方程为y=x-·设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得-3x+=0∵△=9-4×1×＝8＞0∴+=3，=线段MN中点的横坐标为，纵坐标为线段MN中点的坐标为（）【题目点拨】本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．22、（1）-（2）(1,【解题分析】试题分析：(1)∵m·n＝1，即3sinx4cosx4＋cos2即32sinx2＋12cosx∴sin(x2＋π6)＝∴cos(2π3－x)＝cos(x－π3)＝－cos(x＋π3)＝－[1－2sin2(＝2·(12)