2024届吉林省四平市公主岭市第五高级中学数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届吉林省四平市公主岭市第五高级中学数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<32．设复数满足，则（）A． B．C． D．23．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种5．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（）．A． B． C． D．6．设双曲线C：的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（）A． B． C． D．7．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的类比得到向量运算中的；②由实数运算中的类比得到向量运算中的；③由向量的性质类比得到复数的性质；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④8．函数，则在点处的切线方程为（）A． B． C． D．9．已知向量，，其中，．若，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．10．设集合，则（）A． B． C． D．11．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．复数的虚部为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数，若关于的方程在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是__________．14．各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为________.15．将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______．16．已知等比数列的首项为，且，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线，，，其中与的交点为P.（1）求点P到直线的距离；（2）求过点P且与直线的夹角为的直线方程.18．（12分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.天数12345678910空气质量指数天数11121314151617181920空气质量指数(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.19．（12分）已知，设命题：函数在上是增函数；命题：关于的方程无实根.若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.20．（12分）已知，．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对一切的时，恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知等比数列，的公比分别为，．（1）若，，求数列的前项和；（2）若数列，满足，求证：数列不是等比数列．22．（10分）设函数（1）当时，求函数在上的值域；（2）若不论取何值，对任意恒成立，求的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】∵f(x)=x3−ax−1，∴f′(x)=3x2−a，要使f(x)在(−1,1)上单调递减，则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，则3x2−a⩽0，即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，在x∈(−1,1)上，3x2<3，即a⩾3，本题选择A选项.2、A【解题分析】由，得，故选A．3、D【解题分析】

试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.4、A【解题分析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有=141种．故选：A．点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．5、B【解题分析】

结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，得解．【题目详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，故选B．【题目点拨】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．6、D【解题分析】

利用双曲线的一个顶点坐标为，求得的值，即可求得双曲线的方程，得到答案.【题目详解】由题意，因为双曲线的一个顶点坐标为，所以，所以双曲线的标准方程为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7、D【解题分析】

根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断．【题目详解】①设与的夹角为，则，，则成立；②由于向量的数量积是一个实数，设，，所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，不一定成立；③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D．【题目点拨】本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．8、A【解题分析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为，所以所以切线方程为选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.9、D【解题分析】

已知向量，，根据，得到，即，再利用基本不等式求解.【题目详解】已知向量，，因为，所以，即，又因为，，所以，当且仅当，，即时，取等号，所以的最大值为.故选：D【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10、C【解题分析】

先求，再求【题目详解】,故选C.【题目点拨】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.11、B【解题分析】

先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【题目详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．12、C【解题分析】

利用复数除法运算求得，根据虚部定义得到结果.【题目详解】的虚部为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数虚部的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

作以及图像，根据图像确定实数满足的条件，解不等式得结果.【题目详解】作以及图像，根据图像得【题目点拨】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14、【解题分析】

取AB中点D，连结SD、CD，则SD⊥AB，CD⊥AB，从而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出结果．【题目详解】解：取AB中点D，连结SD、CD，∵三棱锥S﹣ABC是各棱长均相等的正三棱锥，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，设棱长SC＝2，则SD＝CD，∴cos∠SDC，∴∠SDC＝arccos．故各棱长均相等的正三棱锥任意两个相邻的面所成的二面角的大小为arccos．故答案为：arccos．【题目点拨】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15、【解题分析】

将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.【题目详解】将参数方程变形为，两等式平方得，上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，故答案为：.【题目点拨】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.16、【解题分析】

先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.【题目详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.故答案为：128.【题目点拨】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解题分析】

（1）先解方程组得点P坐标，再根据点到直线距离得结果；（2）根据夹角公式求所求直线斜率，再根据点斜式得结果.【题目详解】(1)由得点P到直线的距离为（2）设所求直线斜率为，所以或，因此所求直线方程为或即或【题目点拨】本题考查点到直线距离、直线交点以及直线夹角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18、（1）；（2）见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；

（2）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．试题解析：(1)解：由表中数据可知，空气质量指数不低于的天数是12天，即空气质量为优良的天数是12天.记“至少有2天空气质量为优良”为事件，方法1：；方法2：.(2)20天中优良天数的概率为.于是估计我市总体空气质量优良天数的概率为，因此服从参数为，的二项分布.即.所有可能取值为0，1，2，3.所以，，，.故的分布列为：0123所以的数学期望为：.19、【解题分析】

先求命题和命题为真时的范围，若“且”为假，“或”为真，则命题与命题一真一假，分类讨论真假与真假时的范围，再取并集即可.【题目详解】解：命题：在R上单调递增，，命题：关于的方程无实根，且，，解得命题且为假，或为真，命题与一真一假，①真假,则②真假，则所以的取值范围是【题目点拨】本题考查指数函数的单调性、一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.20、（Ⅰ）f（x）的极小值是（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）对求导，并判断其单调性即可得出极值。（Ⅱ）化简成，转化成判断的最值。【题目详解】解：（Ⅰ），，，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递增，∴的极小值是；（Ⅱ）∵，由题意原不等式等价于在上恒成立，即，可得，设，则，令，得，（舍），当时，，当时，，∴当时，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了函数极值的判断以及函数最值的问题，在解决此类问题时通常需要求二次导数或者构造新的函数再次求导。本题属于难题。21、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）分别求出，再得，仍然是等比数列，由等比数列前项和公式可得；（2）由已知，假设是等比数列，则，代入求得，与已知矛盾，假设错误．【题目详解】（1），，，则；证明：（2）假设数列是等比数列，可得，设数列的公比为，可得，因此有，即，因此有，与已知条件中不相等矛盾，因此假设不成立，故数列不是等比数列．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查否定性命题的证