2024届山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区数学高二第二学期期末预测试题含解析

2024届山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区数学高二第二学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下2．已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A． B． C． D．3．若命题是真命题，则实数a的取值范围是A． B．C． D．4．若复数是纯虚数，则（）A． B． C． D．5．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种6．已知，则等于()A．-4 B．-2 C．1 D．27．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．8．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是A． B． C． D．9．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（）A． B． C． D．10．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．11．如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（）A． B． C． D．12．已知的边上有一点满足，则可表示为()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示是世界20个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图，样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系．利用散点图中的数据建立的回归方程为，若受教育的人口百分比相差10%，则其人均收入相差_________．14．在处的导数值是___________.15．《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．16．若（其中i是虚数单位），则实数_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已如变换对应的变换矩阵是，变换对应的变换矩阵是.（Ⅰ）若直线先经过变换，再经过变换后所得曲线为，求曲线的方程；（Ⅱ）求矩阵的特征值与特征向量.18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线的普通方程；（2）若圆与曲线的公共弦长为，求的值.19．（12分）已知椭圆的焦距为2，左右焦点分别为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点的直线与椭圆C交于两点,若直线与的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；20．（12分）已知函数.(Ⅰ)若函数在处取得极值，求的值；(Ⅱ)设，若函数在定义域上为单调增函数，求的最大整数值.21．（12分）已知．（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；（2）当时，求的最大值与最小值．22．（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由线性回归方程的意义得解.【题目详解】将代入线性回归方程求得由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．【题目点拨】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.2、D【解题分析】

计算出样本中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【题目详解】由题意可得，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，故选D.【题目点拨】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.3、B【解题分析】因为命题是真命题，即不等式对恒成立，即恒成立，当a＋2＝0时，不符合题意，故有，即，解得，则实数a的取值范围是．故选：B．4、B【解题分析】

根据纯虚数的定义求解即可.【题目详解】因为复数是纯虚数,故,解得.故选：B【题目点拨】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.5、D【解题分析】

先排美国人和俄国人，方法数有种，剩下人任意排有种，故共有种不同的站法.6、D【解题分析】

首先对f（x）求导，将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x＝3代入即可．【题目详解】因为f′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，当x＝3，f′（3）＝1．故选：D【题目点拨】本题考查导数的运用，求出f′（1）是关键，是基础题．7、B【解题分析】

根据对称性知是以点为直角顶点，且，可得，利用双曲线的定义得出，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率的值.【题目详解】由双曲线的对称性可知，是以点为直角顶点，且，则，由双曲线的定义可得，在中，，，故选B.【题目点拨】本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题．8、D【解题分析】

通过条件概率相关公式即可计算得到答案.【题目详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而，，故，故选D.【题目点拨】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.9、D【解题分析】

利用抛物线的定义列等式可求出的值.【题目详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，，解得，故选：D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.10、C【解题分析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别是，则有，三个式子相加整理可得，所以长方体的对角线长为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.11、C【解题分析】

由独立事件同时发生的概率公式计算．把组成一个事整体，先计算它通路的概率．【题目详解】记通路为事件，则，所以灯泡亮的概率为．故选：C.【题目点拨】本题考查相互独立事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．12、D【解题分析】

由，结合题中条件即可得解.【题目详解】由题意可知.故选D.【题目点拨】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、31.93美元【解题分析】

设所受教育百分比分别为，且，利用回归方程计算即可．【题目详解】设所受教育百分比分别为，且根据回归方程为，收入相差大约为：

，

即受教育的人口百分比相差，则其人均收入相差约美元．

故答案为：31.93美元．【题目点拨】本题考查了线性回归方程的应用问题，属于中档题．14、【解题分析】

利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的，即可求出导数值．【题目详解】因为函数所以所以在处的导数值是，故答案为.【题目点拨】本题主要考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于简单题.求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，再求导数值．15、【解题分析】

连结，交于，可得，即可确定点为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【题目详解】如图，连结，，连结，交于，可得，由已知可得，所以点为刍甍的外接球的球心，该球的半径为，所以该刍甍的外接球的表面积为．故答案为：【题目点拨】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．16、【解题分析】

由可知，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【题目详解】因为所以所以【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）先求出变换矩阵，然后设曲线上一点，列出方程即可得到方程；（Ⅱ）先利用多项式求出特征根，然后求出特征向量.【题目详解】解：（Ⅰ），在曲线上任取一点，在变换的作用下得到点，则即，整理得，则即代入中得.（Ⅱ）矩阵的特征多项式为，令得或，①当时，由，得即令，则.所以矩阵的一个特征向量为；②当时，由，得，即令，则.所以矩阵的一个特征向量.【题目点拨】本题主要考查矩阵变换，特征值和特征向量的相关运算.意在考查学生的分析能力和计算能力，难度中等.18、(1)曲线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为;(2).【解题分析】分析：（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可得圆的直角坐标方程；消去参数即可得曲线的普通方程；（2）联立圆C与曲线，因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，即公共弦直线经过圆的圆心，即可得到答案.详解：(1）由，得，所以，即，故曲线的直角坐标方程为.曲线的普通方程为（2）联立，得因为圆的直径为，且圆与曲线的公共弦长为，所以直线经过圆的圆心，则，又所以点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．19、（1）（2）线恒过定点，详见解析【解题分析】

（1）根据焦距得到，根据圆心到直线的距离得到，由得到，从而得到椭圆方程；（2）直线，联立得到，然后表示，代入韦达定理，得到和的关系，从而得到直线过的定点.【题目详解】(1)由题意可得，即，由直线与圆相切，可得，解得，即有椭圆的方程为；(2)证明：设，将直线代入椭圆，可得，即有，，由，即有，代入韦达定理，可得，化简可得，则直线的方程为，即，故直线恒过定点；【题目点拨】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.20、(1);(2)的最大整数值为2.【解题分析】分析：(1)先求导数，再根据根据极值定义得0，解得的值,最后列表验证.(2)先转化为恒成立，再利用结论（需证明），得，可得当时，恒成立；最后举反例说明当时，，即不恒成立.详解：(Ⅰ)，若函数在处取得极值，则，解得.经检验，当时，函数在处取得极值.综上，.(Ⅱ)由题意知，，.若函数在定义域上为单调增函数，则恒成立.先证明.设，则.则函数在上单调递减，在上单调递增.所以，即.同理，可证，所以，所以.当时，恒成立；当时，，即不恒成立.综上所述，的最大整数值为2.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.21、（1）单调递增区间为，k∈Z．对称轴方程为，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值为2，最小值为–1．【解题分析】（1）因为，由，求得，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（2）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为–1，当即时，f（x）的最大值为2．22、（1）（2）见解析.【解题分析】（1）设椭圆方程为则∴椭圆方程∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又