安徽省六安三校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

安徽省六安三校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域涂色分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为()A．400 B．460 C．480 D．4962．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有()A．种 B．种 C．种 D．种3．已知函数的图像关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．4．不等式无实数解，则的取值范围是()A． B．C． D．5．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}6．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（）A． B． C． D．7．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．2568．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A．乙做对了 B．甲说对了 C．乙说对了 D．甲做对了9．已知空间向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA．12 B．1 C．3210．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．3011．三棱锥中，，，为的中点,分别交，于点、，且，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．12．如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．200种 B．160种 C．240种 D．180种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．关于x的方程有两个正实根的概率是______；14．函数f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)，(a>0且a≠1)是R上的减函数，则15．的展开式中第三项的系数为_________。16．若，则的值是_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，且.（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）已知命题函数是上的奇函数，命题函数的定义域和值域都是，其中.（1）若命题为真命题，求实数的值；（2）若“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围20．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.（1）求曲线的普通方程；（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.21．（12分）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:34562.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．22．（10分）等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得到结果.详解：只用三种颜色涂色时，有种方法，用四种颜色涂色时，有种方法，根据分类计数原理得不同涂法的种数为120+360=480.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查计数原理，考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.2、C【解题分析】

根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．【题目详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种；故选：C．【题目点拨】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．3、A【解题分析】∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，∴函数为偶函数．又对任意有，∴函数在上为增函数．又，∴，解得.∴的取值范围是.选A．4、C【解题分析】

利用绝对值不等式的性质，因此得出的范围，再根据无实数解得出的范围。【题目详解】解：由绝对值不等式的性质可得，，即.因为无实数解所以，故选C。【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。5、C【解题分析】试题分析：由题意知q真，p假，∴|x－1|<1．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,1．选C．考点：命题否定6、B【解题分析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，则，即，又由焦距为，即，则有，解得.故选：B.点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.7、C【解题分析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【题目详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题8、B【解题分析】

分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【题目详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【题目点拨】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.9、A【解题分析】

由题求得OP的坐标，求得OP，结合4x+2y+z=4可得答案.【题目详解】=x+y,y,z，OP利用柯西不等式可得42∴OP故选A.【题目点拨】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.10、A【解题分析】

本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．【题目详解】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，故选A．【题目点拨】本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．11、B【解题分析】

由已知可知，是正三角形，从而，，进而，是的平分线，，由此能求出三棱锥体积的最大值.【题目详解】由题意得，，所以是正三角形，分别交，于点、，，，，,，，是的平分线，，以为原点，建立平面直角坐标系，如图：设，则，整理得，，因此三棱锥体积的最大值为.故选：B【题目点拨】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12、D【解题分析】

根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案．【题目详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意求出方程有两个正实根的的取值范围，再根据几何概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】关于x的方程有两个正实根，设两个正实根为，则，解得，又，由几何概型的概率计算公式可得.故答案为：【题目点拨】本题考查了几何概型（长度型）的概率计算公式，属于基础题.14、(0,【解题分析】试题分析：因为函数f(x)=-x-3a(x<0)ax-2(x≥0)(a>0且a≠1)是R上的减函数，即⇒．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.15、6【解题分析】

利用二项展开式的通项公式，当时得到项，再抽出其系数.【题目详解】，当时，，所以第三项的系数为，故填.【题目点拨】本题考查二项展开式的简单运用，考查基本运算能力，注意第3项不是，而是.16、2或7【解题分析】

由组合数的性质，可得或，求解即可.【题目详解】，或，解得或，故答案为2或7.【题目点拨】本题考查组合与组合数公式，属于基础题.组合数的基本性质有：①；②；③.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）由已知数列递推式可得，又，得，从而可得数列是等比数列；

（2）由（1）求得数列的通项公式，得到数列的通项公式，进一步得到，然后分类分组求数列的前项和．【题目详解】（1）由已知得代入得又，所以数列是等比数列（2）由（1）得，，因为，，，且时，所以当时，当时，.所以【题目点拨】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和，属中档题．18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）根据奇函数定义得f(－x)＋f(x)＝0，解得实数的值；（2）根据函数单调性得转化为对应一元二次方程有两个大于1的不相等实根，利用实根分布解得k的取值范围，由“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得命题p和q中有且仅有一个为真命题，根据真假列方程组解得实数的取值范围.详解：（1）若命题p为真命题，则f(－x)＋f(x)＝0，即，化简得对任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命题q为真命题，因为在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是单调增函数，又g(x)的定义域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的两个不相等的实根，且1＜a＜b．即方程有两个大于1的实根且不相等，记h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范围为．因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p和q中有且仅有一个为真命题，即p真q假，或p假q真．所以或所以实数k的取值范围为．点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.【题目详解】（1）∵，由题因为为偶函数，∴，即（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴.∴a的取值范围为.【题目点拨】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.20、（1）（2）（为参数，）.【解题分析】

（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.【题目详解】（1）由得：，代入得：，的普通方程为.（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）与交于不同的两点，即有两个不等实根，即有两个不等实根