山东省泰安第四中学2024届数学高二下期末检测试题含解析

山东省泰安第四中学2024届数学高二下期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（）A．种 B．种C．种 D．种2．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．44．函数的图象大致为A． B． C． D．5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为36．独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得的观测值.下列结论正确的是（）附：1．111.151.1111.1152.7163.8416.6357.879A．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关7．复数的虚部为（）A． B． C．1 D．-18．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件C． D．9．某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值是()A． B． C． D．10．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为A． B． C． D．11．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．12．设集合,，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的最大值为_______.14．若的二项展开式中的的系数为，则__________．15．在区间上随机取一个数，若使直线与圆有交点的概率为，则__________．16．计算____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数fx（1）讨论函数fx（2）当n∈N*时，证明：18．（12分）已知函数.（1）求；（2）求函数的图像上的点P（1,1）处的切线方程.19．（12分）设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.20．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．21．（12分）如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．【题目详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得选D【题目点拨】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D2、A【解题分析】

令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.【题目详解】由且得：令，可知在上单调递增在上恒成立，即：令，则时，，单调递减；时，，单调递增，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.3、B【解题分析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【题目详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、B【解题分析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.5、D【解题分析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差6、A【解题分析】

根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断．【题目详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选A．【题目点拨】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题．7、C【解题分析】

先化简复数，即得复数的虚部.【题目详解】由题得.所以复数的虚部为1.故选C【题目点拨】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8、C【解题分析】

依次判断每个选项得到答案.【题目详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B.，，两两不可能同时发生，正确C.，不正确D.，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.9、B【解题分析】

由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【题目详解】由题意可得，，求得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于基础题．10、B【解题分析】∵函数，∴函数的最小值为故选B11、A【解题分析】

由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【题目详解】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．【题目点拨】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．12、C【解题分析】

先求出集合、，再利用交集的运算律可得出集合.【题目详解】，，因此，，故选C.【题目点拨】本题考查集合的交集运算，考查学生对于集合运算律的理解应用，对于无限集之间的运算，还可以结合数轴来理解，考查计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先将函数解析式写出分段函数的形式，根据函数单调性，即可得出结果.【题目详解】因为；易得：当且仅当时，取最大值1.故答案为1【题目点拨】本题主要考查函数的最值问题，根据函数单调性求解即可，属于常考题型.14、1【解题分析】

，所以9-3r=6,r=1,=9,,故填1.15、【解题分析】

分析：先根据直线与圆相交的关系得出不等式得b的取值范围，然后由概率为建立等式求解即可.详解：圆心到直线的距离：故答案为：点睛：考查直线与圆的位置关系，然后再结合几何概型求解即可.属于中档题.16、；【解题分析】

根据阶乘的定义：，计算得到答案.【题目详解】.【题目点拨】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【解题分析】

（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。【题目详解】（1）解：因为f'x①当a≤0时，总有f'x所以fx在0,+∞上单调递减.②当a>0时，令2ax-1x>0故x>12a时，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0时，有f'x<0，所以（2）由（1）知当a>0时，fx若fxmin=0，则1因为fx≥fx当n∈N*时，取x=n+1所以2故22【题目点拨】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。18、（1）2x+lnx+1(2)【解题分析】

试题分析：（1）由导数的运算可求得的值；（2）由导数的几何意义可得切线在切点处的斜率，由点斜式可求得直线方程.试题解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，所以切线方程为，即．考点：1、求导公式；2、导数的几何意义．【易错点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题放在解答题的位置，难度不大，是得分的主要题型.19、(1)；(2).【解题分析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.20、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解题分析】

试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离21、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，又BD∩DE=D，AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，平面ACE⊥平面BDE．（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD=45°，DE=BD=AD=，CF=DE=．A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），=（﹣3，0，），=（0，3，），设平面BEF的一个法向量为=（，，），则，即，令=，则=（2，4，）．又AC⊥平面BDE，=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．cos＜＞===．∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．【题目点拨】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面