2024届河南南阳市第一中学校数学高二下期末监测模拟试题含解析

2024届河南南阳市第一中学校数学高二下期末监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C．5 D．62．下列命题中正确的个数是（）①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则②“a≠0”是“a2③若p∧q为假命题，则p，q为假命题;④若命题p:∃x0∈R,x0A．1 B．3 C．2 D．43．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A． B． C． D．4．若，则（）A． B． C． D．5．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（）A． B． C． D．6．若复数满足为虚数单位），则（）A． B． C． D．7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是()A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤8．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．39．下列函数中，在定义域内单调的是（）A． B．C． D．10．已知，用数学归纳法证明时，从假设推证成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A． B． C． D．111．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）A． B． C． D．12．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线与圆相交的弦长为__________．14．已知平行六面体中，，，，，，则的长为________15．如图所示的伪代码，最后输出的值为__________．16．中，内角所对的边的长分别为，且，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若不等式有实数解，求实数a的取值范围.18．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．（1）当为线段的中点时，①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.19．（12分）2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组；，得到如下图所小的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表.（1）在答题卡上补全2×2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（2）该论坛欲在上述“强烈关注”的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为，求的分布列与数学期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式与数据：，其中.20．（12分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）某超市举办酬宾活动，单次购物超过元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的个小球，其中个红球、个白球和个黑球，从中不放回地随机抽取个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到个红球记分，每抽到个白球记分，每抽到个黑球记分.如果抽取个球总得分分可获得元现金，总得分低于分没有现金，其余得分可获得元现金.（1）设抽取个球总得分为随机变量，求随机变量的分布列；（2）设每位顾客一次抽奖获得现金元，求的数学期望.22．（10分）已知函数（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图象在的下方．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【题目详解】解：变量，满足约束条件的可行域如图所示：目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5故选C．【题目点拨】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．2、B【解题分析】

根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项.【题目详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“a≠0”时，a2+a=0可能成立，当“a2+a≠0”时，“a≠0”，故“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若p∧q为假命题，则【题目点拨】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题.3、C【解题分析】

从袋中任取2个球，基本事件总数n．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m，利用古典概型公式可得所求．【题目详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n1．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m24，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p．故选C．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4、A【解题分析】

根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得，即可求解．【题目详解】由题意，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解题分析】

由题意可知曲线与交于原点和另外一点，设点为原点，点的极坐标为，联立两曲线的极坐标方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【题目详解】易知，曲线与均过原点，设点为原点，点的极坐标为，联立曲线与的坐标方程，解得，因此，，故选：B.【题目点拨】本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.6、A【解题分析】

根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.【题目详解】由题意得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.7、B【解题分析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋qlnx较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.8、B【解题分析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【题目详解】；∵；∴；解得．故选B.【题目点拨】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．9、A【解题分析】

指数函数是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【题目详解】A.，指数函数是单调递减函数,正确\B.反比例函数，在单调递减，在单调递减，但在上不单调，错误C.，在定义域内先减后增，错误D.，双勾函数，时先减后增，错误故答案选A【题目点拨】本题考查了函数的单调性，属于简单题.10、B【解题分析】

分别计算和时的项数，相减得到答案.【题目详解】时，，共有项.时，，共有项.需在左边的表达式上多加的项数为：故答案选B【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.11、B【解题分析】

先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可．【题目详解】圆化为,，配方为，因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为故选B【题目点拨】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础．12、C【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．【题目详解】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．【题目详解】将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为，故答案为．考点：简单曲线的极坐标方程．14、【解题分析】

可得，由数量积的运算可得，开方可得；【题目详解】如图所示：，故故的长等于.故答案为：【题目点拨】本题考查空间向量模的计算，选定为基底是解决问题的关键，属中档题．15、21【解题分析】分析：先根据伪代码执行循环，直到I<8不成立，结束循环输出S.详解：执行循环得结束循环，输出.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16、【解题分析】分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形代入，再利用正弦定理化简得到，进而得到的值.详解：，即，又由余弦定理，正弦定理则，即或.若，，，，由，得，由余弦定理，即有，，.故答案为.点睛：此题考查了正弦定理和余弦定理，熟练掌握定理是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：(1)将绝对值不等式两边平方可得不等式的解集为(2)将原问题转化为，结合绝对值不等式的性质可得实数a的取值范围是.试题解析：(1)依题意得，两边平方整理得解得或，故原不等式的解集为(2)依题意，存在使得不等式成立，∴∵，∴，∴18、（1）①见解析；②；（2）.【解题分析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角．（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得设设由导数法求得范围．【题目详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为分别是棱的中点，所以（1）当为线段的中点时，则①因为所以即②因为设平面的一个法向量为由可得，取，则所以又因为是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则.因为为锐角，所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为（2）因为在线段上，所以设（），解得，所以.因为设平面的一个法向量为由可得，取则所以设直线与平面所成的角为则因为所以设则所以，设则，设可求得的取值范围为，进一步可求得的取值范围为所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.【题目点拨】本题全面考查利用空间向量坐标法证明线线垂直，求二面角，构造函数关系，并利用导数求范围，运算难度较大．19、（1）列联表见解析，没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关（2）分布列见解析，数学期望【解题分析】

1根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表，根据列联表中的数据计算的值，结合临界值表中的数据判断即可；2的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．【题目详解】1根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为，所以强烈关注的人数为，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，所以一般关注的男性有人，一般关注的女性有人，所以列联表如下：一般关注强烈关注合计男301545女451055合计7525100由列联表中数据可得：．所以没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．2论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，则抽中女性网友：人，抽中男性网友：人，在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：

0

12

P

数学期望．【题目点拨】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、列联表等知识、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．20、（1）m≥－（1）（3）m∈[－1，1]【解题分析】分析：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，由此可求实数的取值范围;（1），由题或，判断当时，，无极值，舍去，则可求；（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于1．求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；详解：(1)由在区间上是单调递增函数得，当时，恒成立，即恒成立，解得（1），由题或当时，，无极值，舍去.所以（3）由对任意的x1，x1∈[－1，1]，有|f(x1)－f(x1)|≤1恒成立，得fmax(x)－fmin(x)≤1．且|f(1)－f(0)|≤1，|f(－1)－f(0)|≤1，解得m∈[－1，1]，①当m=0时，f＇(x)≥0，f(x)在[－1，1]上单调递增，fmax(x)－fmin(x)=|f(1)－f(－1)|≤1成立．②当m∈(0，1]时，令f＇(x)＜0，得x∈(－m，0)，则f(x)在(－m，0)上单调递减；同理f(x)在(－1，－m)，(0，1)上单调递增，f(－m)=m3+m1，f(1)=m1+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(－m)－f(1)=m3－m－1，m∈[0，1]，h＇(m)=m1－1＜0，则h(m)在(0，1]上为减函数，h(m)≤h(0)=－1＜0，故f(－m)＜f(1)，又f(