湖北省巴东一中2024届数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

湖北省巴东一中2024届数学高二第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A． B． C． D．2．若正数满足，则当取最小值时，的值为（）A． B． C． D．3．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小4．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法5．设集合A=1,2,4，B=3,4，则集合A．4 B．1,4 C．2,3 D．1,2,3,46．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A． B．C． D．7．在数列中，，则等于（）A．9 B．10 C．27 D．818．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A． B． C． D．9．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（）A． B．C． D．10．若复数满足，则=（）．A． B． C． D．11．若复数是虚数单位），则的共轭复数（）A． B． C． D．12．中，若，则该三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为______.14．若，.则的值为__________．15．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒这样的种子恰有粒发芽的概率是__________．16．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．18．（12分）已知数列的前项和为，且，.（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.19．（12分）已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.20．（12分）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于P、Q两点，射线OP与曲线相交于点A，射线OQ与曲线相交于点B，求的值．21．（12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．22．（10分）(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【题目详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【题目点拨】本题考查条件概率的计算，属于简单题．2、A【解题分析】

根据正数满足，利用基本不等式有，再研究等号成立的条件即可.【题目详解】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：A【题目点拨】本题主要考查基本不等式取等号的条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3、D【解题分析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【题目详解】，，，∴先增后减，因此选D.【题目点拨】4、D【解题分析】试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.考点：抽样方法.5、A【解题分析】

利用交集的运算律可得出集合A∩B。【题目详解】由题意可得A∩B=4，故选：A【题目点拨】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。6、A【解题分析】

根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【题目详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【题目点拨】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．7、C【解题分析】

利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.【题目详解】由题意，在数列中，，即可得数列表示首项，公比的等比数列，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8、D【解题分析】试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B选项；当x∈[0,2]时，y'=4x-ex有一零点，设为9、C【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【题目详解】由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.10、D【解题分析】

先解出复数，求得，然后计算其模长即可.【题目详解】解：因为，所以所以所以故选D.【题目点拨】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.11、D【解题分析】

根据复数除法运算法则可化简复数得，由共轭复数定义可得结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.12、D【解题分析】

利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.【题目详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：D【题目点拨】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可得直线的斜率为，再由垂直可得曲线在处的切线斜率为，对曲线求导令导函数为可得的值.【题目详解】解：直线的斜率为,可得曲线在处的切线为，，当，，可得，可得，故答案：.【题目点拨】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.14、【解题分析】

在二项展开式中分别令和,然后两个等式相减可得.【题目详解】解：令，得：①令，得②①②可得所以:.故答案为:.【题目点拨】本题考查了利用二项展开式赋值求系数,属于基础题.15、【解题分析】分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即，根据二项分布的概率求法，求出结果．详解：：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，

由题意知独立重复实验服从二项分布即即答案为．点睛：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．16、【解题分析】

求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件，根据几何概型的概率公式，即可得到结论【题目详解】根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：.这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：，对应的区域如图，由圆面积的为，直线和区域围成的三角形面积是，则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率．故答案为．【题目点拨】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）最大值为6，,最小值为【解题分析】

（1）求出定义域和导数，由导数大于零，可得增区间，由导数小于零，可得减区间。（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，由单调性即可求出极值，与端点值进行比较，即可得到函数在区间上的最大值和最小值。【题目详解】（1）函数的定义域为，由得令得，当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间．（2）由（1），列表得单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为，，，所以在区间上的最大值为6，,最小值为．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，考查学生的基本运算能力，属于基础题。18、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.【解题分析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递推公式，计算，，，，在通过分子和分母的规律猜想出.（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）证明：因为①，所以②，①-②得，所以.化简得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.点睛：数列问题注意两个方面的问题：（1）的特殊性；（2）时，①消去，如，可以计算；②消去，如，可以计算.19、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数由已知得，∴，，∴，即，所以是偶函数.（Ⅱ）设，则，∴所以，所以在上为增函数.因为，又是偶函数，所以有，解得∴不等式的解集为.点睛：本题证明了抽象函数的奇偶性和单调性，在解答此类题目时方法要掌握，按照基本定义来证明，先求出和的值，然后配出形式，单调性要构造，然后按照已知法则来证明。20、（1），；（2）【解题分析】分析：（1）把曲线的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程；

把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程即可；

（Ⅱ）由点是圆的圆心得线段是圆的直径，从而得；

在极坐标系下，设，，，分别代入椭圆方程中，求出的值，求和即得的值．详解：1曲线的参数方程是为参数，化为普通方程是；化为极坐标方程是；又曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程是；2点、的极坐标分别是、，直角坐标系下点，；直线与圆相交于P、Q两点，所得线段PQ是圆的直径；，，；又A、B是椭圆上的两点，在极坐标系下，设，，分别代入方程中，有，；解得，；；即．点睛：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．21、（1）（2）见解析【解题分析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．详解：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“