海事线性代数题库答案

上海海事大学试总计3422专班学姓得—选择11.(5分)题号答题号答2.(5A二填充21.(4分)题号答上海海事大学试总计3422专班学姓得—选择11.(5分)题号答题号答2.(5A二填充21.(4分)题号答n(n2题号答2.(5 200011分)0答题答4.(511bcA11A2105.(5分)题号答因为在此行列式的展开式中，含有x3的只有主对角线上的元素的积，故答案为6.(5分)题号答7.(4分)题号页1共3abca3b3c答答3abca3b3c答答9.(4分10.(4分11.(4分12.(4分13.(5分题答14.(5分题答16.(5分题答17.(5分|A|题答18.(5分-题3答20.(5分题答21.(4分页2共答题号题号22.(5答23.(5分题1答24.(5分题号答题号题号22.(5答23.(5分题1答24.(5分题号0答题号26.(5题号2答27.(5分题号答28.(5分n(n2题号a12题号答31.(5分页3共0,32.(5分)题号32,答题33.(5分 2题7题6答34.(5分答35.(5分题题0,32.(5分)题号32,答题33.(5分 2题7题6答34.(5分答35.(5分题题答答37.(338.(339.(3分40.(3分41.(5分23x题号答42.(5分001(A3E)1(A29E)000题号答 43.(5分(A1)1(A) 6344.(5分)题号答页4共d1adbc0,Aadbca题号答45.(5分2581A7题号答46.(5分1730020d1adbc0,Aadbca题号答45.(5分2581A7题号答46.(5分17300200A52题号答47.(5分3200021201201a000a0,1a000001000a题号AB答48.(5分题号A2B2C题号答50.(5页5共10101105,A1111题号答51.(5分2469210101105,A1111题号答51.(5分24692,C1052.(5分)2答53.(5分)254.(5分)答题答55.(5分 答题号56.(5分221A119题答957.(5分1320题答58.(5分页6共59.(5分)11260.(5分)答 61.(5分)59.(5分)11260.(5分)答 61.(5分)9答62.(5分)答0013001463.(5分)题号|2A*|答64.(5分)题号0答65.(5分)答(a2b2题号An2An1答66.(5答67.(5分)题号A*题号x答68.(5分69.(5分)题号答页7共|AE|0答题71.(5分题答72.(5分132X86题8答73.(5分2|AE|0答题71.(5分题答72.(5分132X86题8答73.(5分22220题20答76.(5051题|A答77.(5题答B178.(5分0A0题答79.(5分|A|0或|B|页8共9题题答答81.(382.(3分83.(3分84.(3分85.(3分86.(5分题rn,r题号09题题答答81.(382.(3分83.(3分84.(3分85.(3分86.(5分题rn,r题号0题号答88.(5答题A89.(5分题号答90.(5分251353,k,,,33答题号a1a2a391.(5分题号0,8,答92.(5分题号t3,题号1,1,答 94.(5分1T题号答95.(5分页9共111A答96.(5分)题号X97.(5分)题号98111A答96.(5分)题号X97.(5分)题号98.(5分)题号无答题号答99.(5分15+02.(5分)-答+02.(5分)2答+02.(5分)3+02.(5分)答(1,2,1)Tk题号答+02.(5分ni+02.(5分)题号r(AB)答+02.(5分)题号答10共 A答题2+02.(5分2题2答 A答题2+02.(5分2题2答+02.(5题号答+02.(5分0T，2答 题号2+02.(5分题号a1a2a3a4题答+02.(53题答答+02.(3分+02.(3分+02.(3分+02.(3分+02.(3分+02.(3+02.(3+02.(3分+02.(3分+02.(4分题a2,b2,c11共A的特征值为题号a2,b6,1答答题号a1,23A的特征值为题号a2,b6,1答答题号a1,23+02.(5分答题号x+02.(5分题号A3题号2答+02.(5题号答+02.(5分020A答题号+02.(5分11,的特征值 2412题号答+02.(5分A必有特征值0,nR题号答+02.(5分(B12E的特征值是5,3 题号答+02.(5分12共000000题答+02.(5分题号答+02.(5分20000000题答+02.(5分题号答+02.(5分202A0题答+02.(5分答题号a1,b8,c+02.(5分题号答+02.(5分k10,k20k10,k2题号题号13共11211221A21题答+02.(5分1010B111211221A21题答+02.(5分1010B1题号答+02.(5分)x2x23x22xx2xf(x,x, 312题号f答+02.(5分答题号f+02.(5分题号t答+02.(5分题号答+02.(5分8214A4题号答+02.(5分14共fx24x2x26xx4xx10xx,其秩为1 1 1fx24x2x26xx4xx10xx,其秩为1 1 12题号A11,A21,2,题答+02.(5分2222t题答+02.(5分p2,q1,pq题c答+02.(5分n题答+02.(5分a0,p3,q题号答+02.(5分t5353答题号a5,b+02.(5分题号答+02.(5分15共0234答+02.(5分)230234答+02.(5分)23+02.(5分)答+02.(5分)题号题号rank(A)答+02.(5+02.(5分)题号-答题答+02.(5分(2题号答+02.(5分33|a7/题答+02.(5A题号(BE)(B答+02.(5分16共2题|a7/答+02.(5答题92题+02.(5分答+02.(5分1,1, 2题|a7/答+02.(5答题92题+02.(5分答+02.(5分1,1, 31 答题38-+02.(5分三计算3题号答1.(5n(n因为(n(n1)21)(n1)n2212n4kn4k1(kN时,该排列为偶排列n4k2或n4k3(kN时,该排列为奇排列2.(5分)题号答17共因为aaaaa5阶行列式的一项,1i32542j(135243(奇数),所以该项的列标构成的排列的逆序数为偶数.i1,j3,则(12435)1.由此(13524)(12435)4(偶数).因为aaaaa5阶行列式的一项,1i32542j(135243(奇数),所以该项的列标构成的排列的逆序数为偶数.i1,j3,则(12435)1.由此(13524)(12435)4(偶数).排列的奇偶性,所以有i3,j题0答3.(5a0c00a0cbc0(1)3DDTD2D0Db题答4.(5行列式D1是由D的第1行依次与第2,3,,n行互换而得,所以有D1 题ab答5.(5r2Dr3r1答6.(5sinsincossin=122答7.(5 30313135=5=121=12000题号答8.(518共 11=题号答9.(525232151131171= 22=803题答10.(5分5111151111511115811185118151811511 11=题号答9.(525232151131171= 22=803题答10.(5分5111151111511115811185118151811511511115111151000140010401004111====512题答11.(51234234134124341412123113411412111100 12342103 =2=160343012.(5分)题号11121314(21)(31)(4132)(42)43=1213.(5分)题号答19共2301234220030304004220030304004232022032203=0=0=－192=33题答114.(52301234220030304004220030304004232022032203=0=0=－192=33题答114.(5分11112x1x611 x1x22x4=1= x5即解方程x22x30，因此 或-1题 答15.(5分2=（x+2（x-12x所以方程的解为：x=1或－2题号答16.(1011111321343111AAA 题号答17.(10x11，x22，x3题号答18.(1020共4331370110171111(1)33 D1000题号答19.(106666131111311111131114331370110171111(1)33 D1000题号答19.(106666131111311111131111311113102000020000211D62311113题答20.(10aabccaabbbaabbc2bca2b2c2a2b2c2a2b2c2b1(a2b2c21bbb01b101(a2b2c21)a2b2c221.(10题号21共111111x00111111111x0001111111111111111000D10y0100y11111111x00111111111x0001111111111111111000D10y0100y11111111x111x2111xy211 11xy2xy2x2y2x2答题号22.(10x=0,y=0,23.(10分题号D2=- D3=-Dx 3,x 4, 解1234DDD24.(5分)题号答除符号差异外,D的展开式各项可表示a1ja2ja3ja4ja5 a3j0(j33a4j0(j44a5j0(j5 中至少有一个元素为0,D0.25.(5分)题号答22共 n多,所以非nn2n2nn少.0,Dn题号答26.(5分 n多,所以非nn2n2nn少.0,Dn题号答26.(5分10000000Dbi20题号DD1答27.(5分a1b2a2b2a3a1b3a2b3a3 a1 a2a2a1b2a2a1a3a1b3a2a1a300D2 a3a328.(5分)题号答D由于方程组的系数行列 111(1111111010(2)(2)(1)110所以,由克莱姆法则知,当(2)(1)20,即2且1时,方程组有唯一零解当2或1时,方程组有非零解29.(5分)题号答23共2a122a222a32=2a122a222a32=+=8+12=－8+0=－8题2a222a122a32答30.(5分=+12=8=8=8题答x31.(5分x2(xy)x2(xy)xyx2(xy)yx=1yx1yx11=2(x0xy0xx=2(x32.(5分)答2(x3y324共b22b1c22cd22da24a4b24b4c24cd24da26a9b26b22b1c22cd22da24a4b24b4c24cd24da26a9b26b9c26cd26dcd原式abcdac2a2b2c2d4a4b4c4d6a6b6c6d=04a4b4c4d6a6b6c6dcd4a4b4c4d6a6b6c6d1111=+题号162d33.(5分00000abb0000b221abb22+(b)=ab00133422a3300aba433b00a44(a1a4b1b4a2a3b2b3题答34.(5分a000b000000000a00000000000000b0=+a5b5ba35.(5分)题号答25共0000000000a000a0000000000=a+ba5b5ba0b0b题号答36.(10用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加 xxx10000000000a000a0000000000=a+ba5b5ba0b0b题号答36.(10用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加 xxx1x11000x1x11 x ＋100x0x0x0 xx01x1111—xx1题号—x0x37.(100000ax0Aaba03b=-5abc0detA=ca0a03b=5a2detBa0b0detB2==-5ab2题号38.(10a0b0c2326共detdetdet312detdetdetabb由于ab且a 2设A=aaaaba －（a－b）2abb由于ab且a 2设A=aaaaba －（a－b）22a+b)0detA=ba1abdetB1=a－（a－b）21aa111bdetB2=abaaa12 题39.(1031xx 2a27 111134113111141303303413detB111110detB2=011110detB3=0101414340.(10分题号332712343k2 时，detA0，方程组仅有零解541.(10分题号28共 1 1k－1k 1 1k－1k4detA042.(1043.(5分44.(5分45.(5分47.(10D40题号答48.(10D0题号答49.(10利用初等列变换（1列乘以-13列类似处理）D0题号答50.(10利用初等列变换（1行乘以-12n行）Dn!题号51.(10利用初等变换（第2行乘以-1加到后面各行，然后将第2列乘以-1加到后面各列，题号答52.(101行乘以-122行再乘以-13D1题号答53.(10n1列乘以-1加到第nn2列乘以-1加到第n1列，以此类推；然行乘以（-1）依次加到第2n行，再利用行列式展开定理即得D2x1x2Dn0(n2)54.(10分题号答29共2n行依次1行，再提出第1行的公因子，然后利用初等行变换化Dnxn1)a](xa 55.(10分题号2n行依次1行，再提出第1行的公因子，然后利用初等行变换化Dnxn1)a](xa 55.(10分题号1行乘以（-1）2n2行乘以（-1）依次加到第3~n1D156.(10分题号1Dyn1)n1xnn题号答45757.(1014949913579799132245229722922259题号58.(100x0yy0x00y0xx0y0xy0x0y0x0x0y0xDyxyyy2yxxyyx(x2y2y59.(10分题号答30共103000210010310000000200001102101000002102112D430300 44103000210010310000000200001102101000002102112D430300 4421题答60.(10111x100xyxzz(yy(zz11(yx)(z=(xy)(yz)(z0352061.(10520002035200003520032000035002200030000352003520003520035200035200352000353035200035200035200035003200003200000355352003520035250=00003262.(10分题号31共x1y1x2y1x3y1x4x1y2x2y2x3y2x4yx1y3x2y3x3y3x4x1y4x2y4x3x1y1x2y1x3y1x4x1y2x2y2x3y2x4yx1y3x2y3x3y3x4x1y4x2y4x3y4x4yx1y1x2y1x3y1x4y2y1y2y1y2y1y2y3y1y3y1y3y1y3y4y1y4y1y4y1y4题00答63.(10000bn00a000000000000anDn(1)n1bna0a2330a0bn00anbn00bnba1a2an(ianDnan00a1a2n题号答64.(101x由第ii1,2,n)列的n0111110010010010100ixi00011n1 nD=xxx00)xx2ii0xn65.(10分题号答32共1100000111111111111111111x1x11xxx1111 x234000000000=x1x2x3x4x1100000111111111111111111x1x11xxx1111 x234000000000=x1x2x3x4x2x3x4x1x3x4x1x2x4x1x2题号答66.(10000122222222232222n22220010000n201000=2(n2n2167.(10nnn12111121111112111Dn(n12212101000(n1)n1168.(10分题号答33共 212x14x2(解之=0，2，3时，齐次方程组(3) 212x14x2(解之=0，2，3时，齐次方程组(3)x1x22x30x(1)xx 题号答69.(106x题号答70.(5分a1bnaaaAB222anbnBAb1a1b2a2bnan题号答 71.(510 0题号答72.(57575 AB80,AC400 题号 A 0 0 034共题号24|2A|224(2)8,|B|0,|C|3题号51624 3题号 1题号24|2A|224(2)8,|B|0,|C|3题号51624 3题号 1 0题号 2 31246322613214 5 4672073275134531题号35共210 21 2 11 115 13 题答82.(5分210 21 2 11 115 13 题答82.(5分11= 0题答83.(5分 = 13k 113k3k3(k1) 3k 1 1 题号1答00，84.(5000=00 cnc0题号答85.(536共1000010010100010000100010000000000100000001101000010010100010000100010000000000100000001100010 0000 n0答题号0086.(5分 1000310110011101=631题号AB 答 87.(10 0 10题号答 88.(10 0 0 0题号答89.(1037共|2A|22244(2)8,|B|0,|C|3题号AE90.(10010 0 其中E0,B0|2A|22244(2)8,|B|0,|C|3题号AE90.(10010 0 其中E0,B0000 B20,3B0AnEB)nnEC1n1BC2n2BnnCC1n2n0nC1nn01000122548100故有答题号91.(102A22A31=-A13=-6A23=- 111|AA 得7 A1A验证：92.(10分题号38共0A1A2A121132150105 故3题号答93.(1020A1A2A121132150105 故3题号答93.(10211300001040801400001000222[3A[1,2002002[4+3(-400004[2+1(-010000000 0001000[3(-1200000001000000001001000010[2，3]000答题号94.(10页共因为|A|10A10111110000112110100[00[31((A|E) 120[1 因为|A|10A10111110000112110100[00[31((A|E) 120[1 010121110110100010112故3 1答95.(10分题号AX(AB)BX(BA)(AB)X(AB)即上式两边取行列式，知|AB||X||AB||E|AB|0，故AB1存在，上面方程左、右均乘(AB)12故知111011021012[(AX 196.(10分题号答40共 ABC 2 2BC(BC)(BC)B(CB)C2BC(BC)(BC)(BC)B ABC 2 2BC(BC)(BC)B(CB)C2BC(BC)(BC)(BC)B(CB)(CB)C22A3A23答97.(5 AXEAX2An2n1A2n1 010 AE 0 0 00 |AE|10可逆,X(AE)1(AE)(AE)A 1 010 00 1 1 00 .(5分题1 011112 5 1 070111 2 033 4 19题号答99.(5分41共x2 x4x22，Bxxx 3342Xx2 x4x22，Bxxx 3342X2题号答+02.(5nA2的第k行第l列为akjajljnAAT的第k行第l列为akjaljjnATAk行第l列为aikail答+02.(5分) 1 2 f(A) 5 3 答+02.(5分)1 1 1171211 0=8f(A)=2—2+300+02.(5分题号答。=2A1,A2,答A1,2A3,=4+02.(5分)题号42共A32A1,3A2,A3,3A2,=。A32A1,3A2,=3A1,A2,=6题号令所给的矩阵为所以此矩阵不可逆因为+02.(10A32A1,3A2,A3,3A2,=。A32A1,3A2,=3A1,A2,=6题号令所给的矩阵为所以此矩阵不可逆因为+02.(10 02510212292所以，X==51 1题答+02.(10因为 2 1 181 2=1=3 224题号答+02.(100121022X650121020 2= 05+02.(10分题号答43共0001又2001 0=0 0001又2001 0=0 2 题号答+02.(10An(T)(T)(T=T(T)(T)112其 =T2311213232An=3n1T31题号答+02.(10(A1E)BA6B6(A1E)1B6(A1E) 0B=0题号答+02.(5分+02.(10+02.(10+02.(1044共310011104|A130AABA2BBA2E)1 310011104|A130AABA2BBA2E)1 B(A2E)1A 223+02.(10分题号答BXXEA)1BE3 所以X(EA)1B 01题号+02.(10由条件知ABEA2B(AE)B E(AE)(AE)03B(AE)1(AE)(AE)AE0 +02.(10分题号答（1）ABABAE)(BE)EAE且AE)1BE；（2）（1）BAE1E22 0B 0(A 0+02.(10分题号45共111,|A|4,A|A|A1(A)11AA1|AABA12BBA1A111,|A|4,A|A|A1(A)11AA1|AABA12BBA1A12B)1(E2AB41101B1(E11442题答+02.(1051012A1 01220 1251|AA|A1|A0AA|A|EA|A|A1A11题答+02.(10ABEA(AB)EABA1BA110021BAA1 题号答+02.(10 00|A|1,A1 6,(A)1644题号答+02.(546共 2 0题号答+02.(5分2321，因detA=－12，不为A=题号答+02.(5分1 2 2 0题号答+02.(5分2321，因detA=－12，不为A=题号答+02.(5分1 2 0 0 题号答+02.(5分323 152 0题号答+02.(5分103216612110017010001 ，00 题号答+02.(5153420211000102 ， 220 847共+02.(101011231561()1151(1)3115D362故可知，1,2,3线性相关+02.(101011231561()1151(1)3115D362故可知，1,2,3线性相关题答+02.(10A2122132104080014000000122220200220040004000440rank(A)+02.(10分答页共201011210031A02201011210031A0201010011111232A112 0010020010 0123再 行变换最后的一个矩阵的最后两个向量A031 题号+02.(10 4123121,1, 5所以 9+02.(10分题号答49共|A|30A可逆,X0011 0212502 B0~ 344 1213010001321 21~~11+02.(5分)答X20100220031010020003100122 0|A|30A可逆,X0011 0212502 B0~ 344 1213010001321 21~~11+02.(5分)答X20100220031010020003100122 0003001 010123010120 101030011题+02.(5分100121221000100110001034140 010110111 0 410428717177171300731188740答7106701737374777页5000110111111110000100010000100010000100010100101001000100010001 01001010010100100110111111110000100010000100010000100010100101001000100010001 01001010010100111，00001题号答001+02.(10215000150000100030100000001102100001101500001001000 000000 110500100010013002550000135002310030013131001003100133002301+02.(10分题号00351共000000000000010000010000010000010a300a101000000a000000000an01000001000000000010200000000000000010000010000010000010a300a101000000a000000000an01000001000000000010200110000an0100010000题号+02.(10 0 0023702a100113123110237152n41A21002210x1x22x3x3x 7x3+02.(10分题号12x1 ,x17,x17页共1 5500 32 A=50003020题号答+02.(10253 1 5500 32 A=50003020题号答+02.(10253 2342030490 74A=000030x1x3x2x 3x1cx题+02.(102c2.(10答x3+02.(10答将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵130120603123002040100231322133344 33，123是一个最大无关组，且2213334+02.(10分题号答53共x5 x201010 +02.(10分题号答将给定的向量按行排列成矩阵，利用初x5 x201010 +02.(10分题号答将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵1004241213112001100 2 3 334 24 412所以该向量组的秩为2，2,4是一个最大无关组，且有34，222+02.(10分题号k1xk25k32k4k，因为1,2,3线性相关，则k1k2 k12k2k12k3k12k2k12k3，故k1k2k3x3+02.(10分题号答将给定的向量按行排列成矩阵，利用初等行变换将其化为阶梯形矩阵11012351002502123322254 143（1）由42352101,2,3,4（2）1,2,3,4的一个最大线性无关组为1,2,3+02.(10分题号54共130511231001123100161001111111152 B0 4130511231001123100161001111111152 B0 4 110020 00rankArank(B22阶子式211001001001002010020020060064B 10000+02.(10分x12x32x46x5x2x3x45x5x4,x5,162x2x6x3454xx5~2 5~ x x,x, 55共首先考察系数矩阵a1111a1111a1111adetA因a1111a00110a0a1a1100a11a1111a1111a11a（a3)detA首先考察系数矩阵a1111a1111a1111adetA因a1111a00110a0a1a1100a11a1111a1111a11a（a3)detA111=(a3)(a3)(a00a所以当a1和3时detA0,从而rank(Arank(B4，方程组有唯解a3a1a1111a1111a1111111 3Ba111a a0+02.(10分1400440rank(A)3,rank(A)a111111111111100010001B1 0 0rank(A)rank(B)156共对其系数矩阵A1214112311231110100122001213A6对其系数矩阵A1214112311231110100122001213A6616200110012001 600 0)x1x3x42x2x6x345x3x4x5xx~5x1 2~6x2 ~x3，x3x4x5 +02.(10分57共对其系数矩阵A100101201121000112101001001A211对其系数矩阵A100101201121000112101001001A2116620rankA2442x1x3xx x31,x40x30,x41，得原方程组的两个解向量122,1,0,1)即为所求基础解系，故原方程组通解 Xc11c2 10 C1，C2+02.(5分)题号 2143即 (4) 33+02.(5分)题号答 由5x 3 0即5y5x3z 45y3z42z5x3zx1,y1,z58共+02.(10分题号 2345321233210032003004 3A 5~ 1~ 1~+02.(10分题号 2345321233210032003004 3A 5~ 1~ 1~52000 题号答+02.(10 0215203021521010020010100200 A1~0~0~01042 23 4题号因为系数行列式答+02.(10512|A|(1)(544当1或 时,|A|0,即R(A)3,从而方程组有非零解5题号答+02.(1059共0111240111b2~32B 42010100111240111b2~32B 420101032~1所以,当1时,方程组有解;当1时,方程组无解+02.(10分题号答对方程组的增广矩阵施行初等行变1134112001232120012321b1601112121b1 B1~a a 3 611001~3ab0所以,当a2时RAR(B,方程组有解,且有无穷多解+02.(10因为系数行列式b k2 2k22|Ak(2k2kkkk0或k2时|A|0,RA3,从而方程组有非零解k0且k2时,方程组有非零解+02.(10分题号60共155 35223754 A1~700740510340027~7 ~1000555500007155 35223754 A1~700740510340027~7 ~1000555500007x41 55547 x3 5574 515074510 ,0,50100答+02.(10 k11+k22=0k1,k2,74 157 42k 5 0k5k1 23 10 00 k=k 12+02.(10k1,k2,61共k11+k22+k33=0k1,k2,k3k1k23k3kkk k2k0k。 23k1k2k3112k11+k22+k33=0k1,k2,k3k1k23k3kkk k2k0k。 23k1k2k31123133311003 1 00 0=A001 246答+02.(10 k11+k22+k33=0k1,k2,k32k13k2k3kkk 3kk2k 3111111111 10105k+02.(10分题号k案 35kk 23531262共ak12k2k3设k+k+k=0，则k,k,k是方程ak12k2k3设k+k+k=0，则k,k,k是方程 2kakk 1 0kk 123线性相关时，有a21 1=0 答+02.(10分123=0，123线性相关几何意义：13以其中一个为起点组成一个封闭的三角+02.(10分题号k11+k22+k33=0k1,k2,k3k1k3k的解 k +02.(10分题号答123=0123线性相关+02.(10分题号答63共2311122313131313 3而2311112311122313131313 3而23111122题+02.(10 01200=0，所以，，= 1 02 2题以1答+02.(10， 2880555 11616A=0梯形矩阵非零的前两行对应的向量 ，TT23=-31+22+02.(10分题号答64共以1 ， TTTT234103003004057052405042 202A=40以1 ， TTTT234103003004057052405042 202A=4040梯形矩阵非零的前两行对应的向量TTT23 4=21+2-3题号答+02.(10以1 ， TTT2317 1369300 42000A=2 题号答+02.(10以1， ， TTTT234234534562，3421003200 3A=53 09 1234的秩。+02.(10分题号答65共20123033301111 1 10 0 0 0 A= 0 000000x1132x，x为自由未知量)令334 x321 2 0x3x20123033301111 1 10 0 0 0 A= 0 000000x1132x，x为自由未知量)令334 x321 2 0x3x03210 400+02.(10 15 0070 00 0 A=5000 705075700000001021247(xx为自由未知量)令524x3 727x200 5号x41+02.(10 0 70 1 c11c21266共11135147135147110A=000003695113511135147135147110A=00000369511353000000001000001x153(x4)令5x3x4 3x310 x4分别取01和x 5题号 答+02.(101kk3,k,k设+k15 +k是方k1k332 3 21231 3k 001解 123向量在上述基下的坐标为（1，1，-。c11c2 123+02.(10分题号答67共设=k12 3+k4，则 ，123123k1k2k3k4kk2k 42k13k(a2)k4k设=k12 3+k4，则 ，123123k1k2k3k4kk2k 42k13k(a2)k4kb2343k15k2k3(a8)k4011351a11a0124a120a111121a122a111A=bb5211001（1）r（A）rA)不能表为1,2,3,4的线性组合a1b0题号 r1,2,3,+02.(10（1）1能由223b线性表ab明如下：b假设1不能由23 2aaa1k11+k22+k33=0（k1，k2，k3不全为零k22+k33k2，k3不全为零k22+k33+04向量组3，4线性相关，这与题设矛盾1能由23线性表出（2）4不能由1，2，34能由1，2，4k11+k22+k33由（1）知，1能由2，3线性表出，于是4能由2，3线性表出，则题号+02.(1068共12AX=B12AX=Or（A）r（AC（12）AX=O的全部AX=B的全部解为12AX=B12AX=Or（A）r（AC（12）AX=O的全部AX=B的全部解为1C(121,1,0)TC(2,1,1)T题答+02.(5分+02.(5分+02.(10+02.(10+02.(10 131637010a6b bb a1时，方程组有唯一解（系数行列式非零a1且b13时，方程组无解（rank(Arankba1且b13时，方程组有无穷多解（rank(Arankb23 1 0 此时齐线性方程组的基础解系为0，非齐线性方程组的特解为3 01 题号7481+02.(10 69共 11(2)(1)2|A11（1）当1且2111111100100（2）1A1 11(2)(1)2|A11（1）当1且2111111100100（2）1A1 rank(A)rankA1 齐线性方程组的基础解系为10,21，非齐线性方程组的特解为 10 xk11k220k10k2 01 111130 A1案2 1+02.(101 （1）当1且41，有唯一40（2）1时，rank(A23rankArank(A)23rankA（3）4时，rankArankA2 基础解系为1特解为4 1 xk1k 题号+02.(101 70共当1rankArankb2，方程组有解当1rankArankb2，方程组有解 相应齐次方程组的基础解系为：2 1 1 非齐次方程组的一个特解为10 xk21（k为任意实数1 0 .(10题号答系数矩阵的行列式为|A|b(1aa1.b0时方程组有唯一解；当b0112当a1.b 时方程组有无穷组解；当a1.b2题号答+02.(1071共a1时，方程组有唯一解（系数行列式非零a1,.b13时，方程组无解（rank(Arankba1时，方程组有唯一解（系数行列式非零a1,.b13时，方程组无解（rank(Arankb3 1 0 齐线性方程组的基础解系为0，非齐线性方程组的特解为3 10 x03 +02.(5分)题号答设A的特征值,是对应于的特征向量,A,A2(A)(2)即所以200答题号+02.(51，0，3，5（4，- 题答+02.(5 ，-2，3，T=0 23+02.(5分)题号答72共=1111121,1,1)题答+02.(5分14， ==221=1111121,1,1)题答+02.(5分14， ==221,2,0,1)T2答'+02.(5分)设A的属于的特征向量，则A00A（A)A(0A2Ak1km=2时命题成立，假设m=k－1时命题成立，成m=kAkAAk1)A(K1)K1A)Km=k时，命题成mAm的一个特征0设A的属于0的特征向量AAA1(A)A1(01A1 1A1题号答+02.(5分73共设A的属于0A又A*A(detA*A0(detA)E0A*A*detA题号det+02.(10设对应于的特值为 1 A 12a设A的属于0A又A*A(detA*A0(detA)E0A*A*detA题号det+02.(10设对应于的特值为 1 A 12a 2 1b1 2a1b1,a3,b题答+02.(101=1T2T111112=(1,1,0) , (1,,)TTT1T2 3=3 11 22TT 111`22=（1，0，1）T ,)( )=（ ,)TT23 3再将向量组1，23单位化，即得到正交的单位6222)T, 66)T,(33 3)1232 +02.(10分答74共T2T1122232=2(1,0,1)( , 3TT1T3333=3 11 2TT 12 (5,3,7)TT2T1122232=2(1,0,1)( , 3TT1T3333=3 11 2TT 12 (5,3,7)T( ,) )T=（6,3,6)TT 3 再将向量组1，2，3单位化，即得到正交的单位向量(122T 2,2,1T2,1,2T123 3 +02.(10答1=1TT2= 1TT 3=3 11 2TT ，11111,1)T,(1 ,11( ,) ( TT1232222 2 2+02.(10分题号答75共dcbdaccdccbbdcbdaccdccbbaa0a2b2c2d0000a2b2c2d0000000a2b2c22a2b2c2d21时，Aa2b2c2d21时，A1（2）detA=（detATA2(a2b2c2d22+02.(10答 det（Edet（EA）0A的特征值16,21=6，解齐次线性方程组（6E－A）X=0可得方程组的一个基础1的属 1的全部特征向T于 c11(c1为不等于l零的任意常数对于2=1，解齐次线性方程组（EA）X=02+02.(5分)题号答112 +02.(10分题号答76共 det（E=（ det（E=（2 det（EA）0A的特征值12对于1=2=2，解齐次线性方程组（2EA）X=0，可得方程组的一个基础解系1T由于A对应于1=2=2的特征向量只有一个，A不可对角化答+02.(10分 2(1)2(det（E1det（EA）0A的特征值121,31=2=1，解齐次线性方程组（EA）X=01T对应于12=1A题号答+02.(1077共31 det（E(2)2(det（EA）31 det（E(2)2(det（EA）0A的特征值122,3对于1=2=2，解齐次线性方程组（2EA）X=0，可得方程组的一个基础解系为1(1,1,0)T，211011 20P(,,)PAP20 03+02.(10分题号答1000032(4det（EA）0A的特征值123对于12342，解齐次线性方程组（2EA）X=0解系11,1,0,0)TT2对应于12342A不可对角化+02.(10分题号答78共000000det（E(000000det（E(2)2(det（EA）0A的特征值122,31=2=2，解齐次线性方程组（2EA）X=01(0,1,0)T，2对于33，解齐次线性方程组（3E－A）X=0，可得方程组的一个基础解系3T P(1,2,3)PAP 0案+02.(10分题号的特征多项式 000(2)2(det（E00det（EA）0A的特征值122,312=2，解齐次线性方程组（2EA）X=01T对应于12=2+02.(10分题号答79共000000det（E(2)2(000000det（E(2)2(det（EA）0A的特征值122,3对于1=2=2，解齐次线性方程组（2EA）X=0，可得方程组的一个基础1(1,0,0)T，233，解齐次线性方程组（3EA）X=03T P(1,2,3)PAP 0案+02.(10分题号的特征多项式 00(2)2(det（E00det（EA）0A的特征值122,3对于1=2=2，解齐次线性方程组（2EA）X=0，可得方程组的一个基础1T对应于12=2AD+02.(10分题号答80共10det（E1)(1)10det（E1)(1)2det（EA）0A的特征值121,31121，解齐次线性方程组（EA）X=01(1,0,1)T31，解齐次线性方程组（EA）X=02(3,1,0)T+02.(10 1v）T（2103det（EA）= 1)(2x1)x2) 1,2,3det（EA）=0x=4题号答+02.(1031det(EA) 3(5a)2(5a3)66a矩阵 A，B有相同的特征值A2,b时，det（EA0由此解得a5,b6+02.(10分题号答81共2x101 2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)x0302x101 2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)x03021所以二次型f(x1x2x3的矩阵为0答+02.(10分题号1x110001001 0x2)f(x,x,x,x)=(x,x,x,1x 30x4110001001f(xxxx0 0题答+02.(10Xx1x2x3)T2011211f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)2x221322=x22x2xxxxx1 1 12+02.(15分题号82共二次型f(x1x2x3120A=200202202det(EA)=(2)(254)A的特征值122134对于1二次型f(x1x2x3120A=200202202det(EA)=(2)(254)A的特征值122134对于12，求其线性方程组(2EAX011,2,2)T对于21，求其线性方程组(EAX022,1,2)T对于34，求其线性方程组(4EAX032,2,1)T将1,2,3单位化，案12( ,+02.(10T1133先将含有x1的项配方12 +(2x(x (xx)+2x+6xx+2f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2222223 33 2 22x23()33 3再对后三项中含的项配方，则f(x,x,x)=(xx)2+x12+4xx)2+(x+24x2=)x 23332(,, ))T30033y2y 83共2+02.(10令y1x110 x2y1y2，即x2 +02.(10令y1x110 x2y1y2，即x2 2x 1yx 3 3f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)=2y2－2y2+4yy+4y1 1 2=2(y3)2－2(y)2 0101Yy1y2y3)T，Z(z1z2z3)T，B=0题号答.(102z22z124z24z2z1 题号答+02.(10二次型f(x1x2x3的矩阵6050A=2046506524即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定+02.(10分题号答84共二次型f(x1x2x3的矩阵4214A=1 14=- 1题号答+02二次型f(x1x2x3的矩阵4214A=1 14=- 1题号答+02.(10f(x1x2x3x4012342A=27 2=- 答题+02.(10二次型f(x1x2x3的矩阵为t43A=31t5t4351t4=4t23=t230t105t1+02.(10分题号4t2t30t105285共二次型f(x1x2x3的矩阵为 1A=225 =1t2|A|=二次型f(x1x2x3的矩阵为 1A=225 =1t2|A|=5t24t 4t题号答+02.(105二次型f(x1x2x3的矩阵011t2tA=20由2111t|A|=1 2+02.(10+02.(10+02.(10+02.(10+02.(10286共300fXXTAXXx x3T000,d,d)dd3 20XPYfyyyydy2300fXXTAXXx x3T000,d,d)dd3 20XPYfyyyydy2dy2 1 2 3A的特征值为14,232（二重）12120四证明4题号83PTAP 1.(10 12201220y1x1 XPY 22313f(y,y,y)4y22y22y1答0yxy3 23题号2.(1011110zyzz3x1xyx1z2xzx(yx)(z(yx)(zx)(zy)(xyz)y3.(5分)题号87共aba1b1a2bcb1c1b2cac1a1c2ababa1b1a2bcb1c1b2cac1a1c2abcbc=+aa=-a=+axyzyabc111yxyzzyzxyyxzy2yx22y=+ xyzxyz=xyxyz=2。y分)6.(10分答88共a11n1时D1abank1时有a1000a1000a00000a1000a11n1时D1abank1时有a1000a1000a00000a1000aDk1000a1000a00000a1000a(ak07.(10题号答(k阶(ab)DkabDkak1bk(ab)ab各列加到第一列，aa110a301001a原式1a20Dnan0 a2100 a3010 an001a1n=(ai，题号8.(10nn1(a1)(1)iai89共1用 乘第i列（i1,2,,n）分别加到第一列，n110010100 000n1a(11用 乘第i列（i1,2,,n）分别加到第一列，n110010100 000n1a(1=aaa1 a2i 0题号答9.(10an1 a1xan1xn2a2xxn00000000000000000axn3ax x2an1xx=(1)2n(xnan1xn1a1xa=xnan1 a1xa0题号答10.(10令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开Dn2aDn1a2Dn2=3a2Dn22a3Dn3=4a2Dn33a3Dn2aDn1a2Dn(n1)an2D2n2)an1D1(n1)an11.(10分题号答90共令所给的行列式Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式a1000a1000a00000令所给的行列式Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式a1000a1000a00000a1000ab0000a1000a00000a1000a+a10a10000a00000a1000+bD=an0==anban1b2n-n000aan1bn1abban1b2答题号.(10nn ana13.(10题因为AAT)TATAT)TATAA(AAT)T(AT)TAT因为AAT)TATAT)TATAAATAAT是反对称矩阵题号答15.(5分若|A|0,即A是n阶可逆矩阵,则 AA1AAE这与已知矛盾,所以|A|0题号答16.(591共0EAkEA)(EAAk1得(EA)(EAA0EAkEA)(EAAk1得(EA)(EAAk1EA可逆,且有(EA1EA17.(5分)题号由AE)30答A33A23AE0(A33A23A)A(A23A3E) A23A题答18.(5分1 (BE)，21(B22BA2=A41(BE)1(B22B24再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知1(E2BE)1(BE)A42 EB题号答19.(5分nnnbii因此，ciiaii根据矩阵加法的定义，可知：cijaijbij,cii tr(AB)trAtrB题号92共 kaijkaiinnnc kaijkaiinnncii==kaii， tr(kA)ktrAi题AT(cij答21.(5分 aiintrAa11a22annaii又nntrATc11c22ctrAT22.(5分)题号AB=C(cijnn，AB=D(dij)nncijai1b1jai2b2ainbnj其binanjdijbi1a1jbi2a2显然，当i dijnndiitr(AB)tr(BAci23.(10分题号答93共11AA1 A AEA=2A==A=22 m mA Am11AA1 A AEA=2A==A=22 m mA Am1AA1AA =2，即AA（i1,2,m2 ii mAAm题号答24.(5A*=2 2A1=532答题号令所给的矩阵为25.(5分所以此矩阵不可题号答26.(5分 36 A*=0000123110A=题号 27.(1010394共(EA)(EAA2Ak1=EAA2(EA)(EAA2Ak1=EAA2Ak1AA2Ak1=E=E－A为可逆矩阵(EA1EAA2Ak1题号答28.(10(AAT)T=(AT)TAT=AAT所以AAT为对称矩阵(ATA)T=ATATA为对称矩阵题题答答29.(1030.(1031.(1032.(10A2E0A(AE)2E，所以A及AE均可逆 1(AE)2A2E)(AE2AA2E可逆(A2E)11AE)A12题号答33.(10题号答34.(10A2A2E0AAEA1AEE,A可逆,1(A2A2A2E02A2E,A可逆,A2E也可逆且有A2E)1A21A121A495共35.(10分题号k1(12k2(23k3(135.(10分题号k1(12k2(23k3(130，即(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)30k1k3101110因为1,2,3线性无关，则有k1k202kk0 k1k2k3只有零解12,23,13线性无关36.(10分题号答k11k22k330k11k2(12k3(1230k1k2kk0，所以kkk k337.(10分题号答k1k22k2k0kkk23 3k338.(10分题号答96共k1(12k2(23k3(310k1(kk)kk1(12k2(23k3(310k1(kk)kk)kk)0，因为,,线性无关，则有k1k 2k 101110120k1k2k3只有零解12,23,310题号答39.(10k11+k2（12）+…+ks（12+…s）=0,(k1+k2+…+ks)1+(k2+k3+…+ks)2+…+kss向