山东建筑大学山东建筑大学线性代数期末考试复习题资料及答案期末考试复习题资料及答案

《线性代数》知识点

一、单选题

A、D

B、2D

C、-2D

D、-3D

2、设A,8都是〃阶方阵，且满足关系式（A+3）（A-5）=人2-,

则（C）。超越高度整理

A、AB=O

B、BA=O

C、AB=BA

D、AB=-BA

3、设A是〃（心3）阶方阵，且R（A）=〃-2,A*是A的伴随矩阵,

则必有⑻。

A、A*wO

B、R（A*）=O

C>A*=|A『T

D、R（A*）W2

4、已知A是4阶方阵，A的行列式|A|=0,那么A中（C）。

A、必有一列元素全为零

B、必有两列元素对应成比例

C、必有一个列向量是其余3个列向量的线性组合

D、任意一个列向量都是其余的列向量的线性组合

5、设4,4是〃阶方阵A的两个特征值，且4PM分别是

方阵A对应于4,4的特征向量，要使KPI+&P?是A的特征向量,

则(D)o

A、k}=k2=0

B、々产0,公w0

C、匕•公=o

D、k产0,k2=0

Q]]〃]2O]3。32%“33

a

6、设。=%22“23，Q=2a22-44322tZ21-4tZ-312a23—4。33,则。=(B)。

%1a32%3a\2a\\ai3

A、D

B、2D

C、-2D

D、-3D

7、设A是〃阶方阵，则下列命题正确的是(D)。

A>若A2=O,则A=。

2

B、若A=A9则A=O或A=E

C、AX=AY9且AwO,则X=y

D、AX=AY9且国工0,则X=Y

8、设A=m<n9且R(A)=r,那么(C)o

r<m

B、A的所有〃阶子式都不为零

C、A中至少有一个r阶子式不为零

D、A的标准形为仔、

9、设A是〃阶方阵，且R（A）=r<〃，那么在A的〃个列向量中

（A）o

A、必有r个列向量线性无关

B、任意r个列向量线性无关

C、任意厂个列向量都是A的列向量组的一个最大无关组

D、任意一个列向量都可以由其它「个列向量线性表示

10、设“阶方阵A与B相似，则（C）o

A、存在对角矩阵/,使得A与3都与/相似

B、存在正交矩阵P,使得P『AP=5

c、|A|=IM

D、A-AE=B-AE

5a,{+2CL

11、设仃列式D—a2\。23=39D\—a2x5a1}+2a22a23,则D\

“32a33

的值为（C）。

A、-15

B、-6

C、6

D、15

「210、

12、设矩阵4=120,矩阵8满足AK4*=28A*+E,其中A*为

、。0b

A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则因=(A)o

A、,

9

B、」

9

C.-

3

D、」

3

13、设A,3是〃(〃之2)阶方阵，则必有(C)O

A、|4+回=同+固

B、\AB\=\BA\

C、刚=|麻|

D、|A-^=|B-^

14、已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是

L-1,2,4,则不可逆的矩阵是(A)o

A、A-E

B、2A-E

C、A+2E

D、A-4E

15、设机＜〃，矩阵4*“行向量组线性无关，)为非零向量，则

(D)o

A、有唯一解

B、Ax=〃无解

C、心=0仅有零解

D、Ax=0有无穷多解

a\\a\2〃I34。][-3。[2。]3

16、若£>=a=1,D=

2\a22。23x4。2]2。)]—3。22&23,则2=(B)o

a3\a320334%]2%]_3a32。33

A、8

B、-12

C、24

D、-24

‘123、

17、已知A=23-5,则矩阵A的秩R（A）为（B）。

J71,

A、1

B、2

C、3

D、4

18、设〃阶方阵A满足A2=O,则必有（B）。

A、A+E不可逆

B、A-E可逆

C、4可逆

DA=O

19、设A,3是同阶正交矩阵，则下列命题箱送的是(D)。

A、一也是正交矩阵

B、A*也是正交矩阵

C、也是正交矩阵

D、A+5也是正交矩阵

20、设4自是非齐次线性方程组公”的两个解，则下列向量

中仍为方程组解的是(D)。

A、Bi+

B、--4

C氏+262

、T~

D31+2A

、5

21、设四阶矩阵4=|«,%，73，知，B=[j3,y2,/3,y4],其中a,尸,外，%，为均

为4维列向量，且已知行列式同=4,忸|=1,则|A+B|=(D)o

A、5

B、4

C、64

D、40

22、设A,3为〃阶方阵，贝|J(A+B)2=A2+2AB+32的充分必要条件

是(C)o

A、A=E

B、A=O或B=O

C、AB=BA

D、A=B

23、设A是〃阶方阵，其A的秩R（A）=〃-3,且.e，%是Ar=O的

三个线性无关的解向量，则为1=0的基础解系为（A）。

A、a{+a2,a2+a3,a3+a{

B、a2-al,ai-a2,al-a3

C、2%-。2，囚-的

D、,+a?+cx,y,%—a,,―/—2a3

24、设A是〃阶方阵，4区是A的特征值，《4是A的分别对

应于4,4的特征向量，则（D）。

A、丸1=4时,加是一定线性相关

B、4=4时，一定线性无关

C、4班时,全是一定线性相关

D、4认时,配，一定线性无关

25、设8是5阶方阵,行列式年0,那么6中（B）o

A、必有一列元素全为零

B、必有一个列向量是其余4列向量的线性组合

C、必有两列元素对应成比例

D、任意一个列向量是其余列向量的线性组合

二、填空题

3x+Ay+z=0

1、如果4y+z=0有非零解，贝心=(1或3)。

kx-5y-z=0

2、设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且小"0,则卜*

5、方阵A可逆，X是A的一个特征值，则可以求得A-JA2的

一个特征值为（工+储）。

2

kx+z=0

6、如果v2x+Zy+z=0有惟一零解，则Z的应满足条件（k手2）o

京-2y+z=0

7、设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且■="（）,则

"12”13‘010、'100、

84=100010

、设。21。22。23，4=，P[=

。32。33）<00bJ0b

a

，〃已+/\\《3

贝(a22+a23a2}a23)。

1。32+。33。31。33^

9、已知向量组四线性无关，向量组

=at+aa2-ba2,=a3,Q3=a2+c%,则夕［，昆应线性（无关）。

10、方阵A可逆，4是A的一个特征值，且|A|=1,则A的伴随

矩阵A*的一个特征值为（r1）o

5设矩阵仪普，H：%则皿（”

00

'300、3

]_

12、已知4=040,则A(00)

4

<005)

00

15>

13、已知向量组%=1,%的秩为2,则7=(-2)。

[2,

21]、

3正V18

-4

14、设矩阵A=ab为正交矩阵,则以(0)o

V18

2-11

、3正718,

15、若实二次型/(X],*2,*3)=X：+4*；+X；+2氏*2正定，则力的取

值范围是(-2<Z<2)0

16、若ct1,a,线性无关，而%s，(X3线性相关,则向量组a1,2(X2,3(X3

的一个最大线性无关组为(a「2a2)。

1(Xx\

17、设齐次线性方程组;\口的解空间的维数是2,

1X2

Ja)u>

则a=(Do

18、设A=(%,%,a?)为正交阵,则2a」%-3a2%3=(2)。

19、设向量%=(L2,1)7'和%=(1,1,2)，都是方阵A的属于特征值

4=2的特征向量,又向量£=%+2%,求A%=((12,16,20)，)。

20、若方阵A与对角矩阵。=1相似，则屋二(E)。

2x1

21、/(x)=-x-XX中，1的系数是(-2)。

12x

22、设A为3阶方阵，且同=2,则|3AT-2A*卜(-；)。

23、按自然数从小到大为标准次序，则排列13472

65的逆序数(6)o

24、设4为〃阶方阵，”23,且&4)=〃_2,则R(A*)=(O)。

25、若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为:则

行列式甲-q=(24)o

三、计算题

4124

1202

1、计算行列式o【问答题】

10520

0117

【答案】

41244-10-10

4-1-10

12021202

122

105201030-14

103-14

01I70117

<：2一2<14-9-18

1000

10-17-34

【答案】

111

2、计算行列式;234。【问答题】

3610

141020

【答案】

111111

I23123

136136

123

=136

1410

5」12匕3°

有013=1

014

【答案】

玉+3x2L

王%+3L

3、计算〃阶行列式o【问答题】

MM

王x2L

【答案】

3+Z〃

/=I

3+Z〃

2

M

1x2LX,

03Lx

=(x.+L兑+3)n

MMM

00L3

=3'T这%+3)

i=l

【答案】

1234

2341

4、计算行列式D=。【问答题】

342

4123

【答案】

12341234

23411341

D==10

34121412

41231123

234

11-3

01I-3

=10=101-31

01-31

-311

0-311

11-3

-8

1040-8=160

4

-404

【答案】

-11a-1

1-1a+1-1

5、计算行列式。【问答题】

a-11-1

。+1-11-1

【答案】

1-11a—110

1-1a+1a

1a-11-10

a+1-11-1a0

00a

按C1展讯-4)-1a-1

00

【答案】

四、解答题

,1）（1-11、

1、设4-45=-城,其中x=-1,5=-11-1,求A.o

[IT

、”L

【问答题】

【答案】

A（E-B）=-xr7

0-11

由于忸—用=一10-1=2工0,所以E—5可逆

1-10

A=-xxr（E-B）~'

111、

-2~22

111

~2~2~2

2~2~2,

[j.1_r

，[_]]、222

A,=1-,1,1—,1=11—1

2I1-1U212121

「552?

【答案】

2、设

'-100、

A=1-10

、11-I

求矩阵X,满足矩阵方程A（X-E）+2X=O。【问答题】

【答案】

由A（X-E）+2X=O,得

(A+2E)X=A

100

由于|A+2E|=110=1*0,所以A+2E可逆

111

X=A(A+2E『

’100、

(4+2与”=-110

I0-ib

'-100、

2-10

、02-1,

【答案】

3、设A,B均为〃阶方阵，满足=说明：

R(E+AB)+R(E-AB)^no【问答题】

【答案】

(E+ABXE-AB)=E-ABAB=O

：.R(E+AB)+R(E-AB)<n

Xv(E+AB)+(E-AB)=2E

R(E+AB)4-R(E—AB)之n

・..R(E+AB)+R(E-AB)=n

【答案】

’1or

4、设A和5都是3阶方阵A3+E=A2+8,若A=o20,求5。

J0

【问答题】

【答案】

由AB+E=A2+B^

AB-B^A2-E,(A-E)B=(A-E\A+E)

001

Q|A-E|=010=—Iwo-E可逆

100

5=(A-EL(A-E[A+E)

‘201、

=4+E=030

J02,

【答案】

5、设矩阵

14000、

1300010230、

A=00110B=20120求AL及U。

00350J100

00008,

【问答题】

【答案】

由分块法可求得

4oOo

-13

O0o

o-O151

--o

A22

=o31

o-o

22

O1

OOO

8-

12o

73

o

52-

AT

11?-31

O

22

01

O-

87

6、已知”阶矩阵满足关系式2A(A-E)=@,证明：E—A可逆,

并求(E-A)L【问答题】

【答案】

由2A(A—E)=/P得：A3-2A2+2A=O

改写为A3—2A2+2A-E=-E

KP(E-A/A2-A+E)=E,则E—A可逆

且(E-A)T=A2-A+E

【答案】

7、设〃阶矩阵A和B满足条件：A+B=AB.

⑴证明：A-E是可逆矩阵，其中E是〃阶单位.

’1-30、

(2)已知矩阵8=210,求矩阵A。【问答题】

、002,

【答案】

(1)由等式A+B=AB,得A+B—AB+E=E,即

(A-E)(B-E)=E

因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)T=B-E.

⑵由⑴知,A-E=(B-E)-1,即A=(B-E)T+E

A=（B-E）*'+E或A=B（B-后尸

00

’0-30Y'100、2q00、

200+010,100+010

3

0001,001,00

/

/_1_

10

2

I

10

002

7

【答案】

1-1

8、已知A=011,且A2—AB=E,其中E是3阶单位矩阵,

00-1J

求矩阵B。【问答题】

【答案】

由A2-AB=£,得A（A-B）=E,而且

11-1

阳=011=—1*0

00-1

'1-1-2、

因此矩阵A可逆，且A」=011

,00

所以，由A（A-B）=,得A-B=A

11-P-102n

因此，B=A-A10110100o【答案】

00f、0000

'5200、

9、求方阵A=2100的逆矩阵。【问答题】

0083

052,

【答案】

..52..83

⑷=21川阕=52j

-2>

2-3>

4T=4*=

-5

‘1-200

-2500

L=

002-3

、00-58

【答案】

’400、,36、

10、解矩阵方程AX^2X+B,其中A=01-1B=11

、014,2一3)

【问答题】

【答案】

'200、

因为A-2E=0-1-1

、。12,

(1

-00

2

求得其逆矩阵为(A-2£1=0-2-1

011

7

于是所求的矩阵X=（A-2/）T8=-41

3-2

\7

【答案】

五、问答题

1、设有线性方程组

（2—4）芭+24—2x、—1

<2百+（5—%2—4七=2

-2%1-4%2+（5—4）毛二一义一］

问4取何值时，线性方程组有惟一解？无解？无穷多个解?

当有无穷解时，求出方程组的通解。【问答题】

【答案】

2—42-2

系数行列式25-2-4=-(2-1)2(/1-10),

-2-45-2

(1)当;IH1且;IW10时,由于方程组有惟一解;

（2）当2=10时，由于

'-82-2r'2-5-42、

增广矩阵5=2-5-420111

、—2-4-5、00023,

R（A）wR（8）,所以方程组无解。

（3）当;1=1时，由于

'-12-21、"1-22-1、

B=24-420000

、—2-44-2)、0000,

R(A)=H(5)=1<3

对应的方程为玉-2々+2W=-1,方程的通解为

X]—2c)—2c2—1

<X2=Cx(Cj,c2GR).

X3=C2

【答案】

3、设有线性方程组

(2+3)%]+x2+2x3=2

<Ax,+(/l-l)x2+x3=A

3(2+1)%1+AX2+(4+3)犬3=3

问4取何值时，线性方程组有惟一解？无解？无穷多个解?

当有无穷解时，求出方程组的通解。【问答题】

【答案】

2+312

系数行列式22-11=22(/1-1),

3(4+1)A2+3

(1)当/LHO且/Iwl时，由于方程组有惟一解；

(2)当/1=0时，由于

’3120)“3120、

增广矩阵5=0-1100-110

、3033；(0003,

R(A)wR(6),所以方程组无解。

(3)当4=1时，由于

'4121、‘1011、

101101-2-3

、6143,、0000,

R(A)=K(b)=2<3

对应的方程为仁;方程的通解为

X)=1-c

x2=2q—3(ce/?).

【答案】

4、已知向量组

o

-i

(1)讨论该向量组的线性相关性，并求向量组的秩；

(2)求出向量组的一个最大无关组，并用最大无关组表示

其它向量。【问答题】

【答案】

(1)由于向量组中的向量是3维的，即

所以向量组一定线性相关

4=(',%乌，。4)=040

-130

向量组的秩为/?(4)=a2,a3,a4)=2,

(2)所以知见就是向量组的一个最大无关组

对矩阵5继续施行初等行变换，得

01110

00000

贝！］a,=a,+2a2,a4=a,+a2.

【答案】

5、设6=(—1,1,4)。%=(―2,1,5),,%=(a,2,10)',P=(1,0,炉，试问：当a,b

满足什么条件时,

(1)/可由%,a2,火线性表示，且表示惟一；

(2)£不能由a”%,%线性表不;

(3)/可由4,阳,a3线性表示，但表示不惟一，写出/可由

斯%,出线性表示的一般表达式。【问答题】

【答案】

-2aHp120、

(外,％,白3，夕)=1120->0-12+a1

,4510b)〔00a+4)+1,

(1)awT且分取任意值时，??(即％。3)=RQL.,⑶方程组有

力可由%,a2a3线性表示，且表示惟一;

(2)当a=T且Aw-l时，/?(«,,a2,a3)=2</?(a1,a2,a3,^)=3,夕不

能由6，%，火线性表不;

(3)当当a=T且)=-1时，设尸=*必+x2a2+x3a3

"-1-2-41]poo1、

(四,4,4，夕)=1120-»012-1

、4510-\)10000J

p]

解得X2k-2+-1,k&R

J，、0>

p=ai+(-2k-l)a2+ka3,kwR

【答案】

7,r

6、设q=(1,1,1-l),a2=(1,3-1,if,a3=(l-l,*,l),a4=(1,1,1,3),，对参数人

取不同值时，求出向量组的秩，并求出一个相应的最大无关

组，并把不属于最大无关组的向量，用最大无关组表示。【问

答题】

【答案】

’111r'1111、

13-1101-10

（明也,。,“）T

i-iA：i0011

、—1113,、0003—A,

(1)IL3时,a2,a3,a4)=4,就是一个最大

无关组

(2)当)=3时,R(at,a2,a3,a4)=3,a1,a2,a3是向量组的一个

最大无关组

’111rq00-P

13-110101

(四,4,%,。4)=->

1-1310011

「1113)、o000,

所以CZ4=一4+%+«3

【答案】

7、已知三维向量空间相的两个基为

I]’1、rn仔、

0=0看2=-14=-1及〃=1,%=1，小

~2>、0>

求由基34看3到基7,%,小过渡矩阵P。【问答题】

【答案】

设4=（以《43），3=（7，%,%），则3="。

由于A可逆,则P=A'B

।111123、100234、

(A,5)=0-1-11110100-10

、0-20020,001-1o7

’234、

:.P=0-10

「10-I

【答案】

8、设向量组：

名=(2,3,1,-2)，;%=(IT,4,0)T;%=(3,_3,12,0)T；%=(5,10,-1,-6)r,求该向量

组的秩网即见..),并求出该向量组的一个最大无关组，并

把不属于最大无关组的向量用该最大无关组来线性表示。

【问答题】

:.RQI，%，%，%)=2

・•・/，生即为该向量组的一个最大无关组

’1003、

,、013-1

(a,,a,a,,a.)—

122370000

、0000,

所以%=2a2，%=3%-a2

【答案】

x}4-3X24-2X3

9、ag取何值时，线性方程组区+4%+3w=2,（1）有惟一解;

2x]+ax2+=b

（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通

解。【问答题】

【答案】

2a3bJ1005-a4-a+h

（1）当”工5且〃取任意值时，R（A）=R（A,4）=3,方程组有惟

一解；

（2）当a=5且小1时,R（A）=2#R（A/）=3,方程组无解

（3）当。=5且g1时，R（A）=R（A/）=2,方程组有无穷多解

这时，B=（A明）

得同解方程组［阳一石=一2，。所以，方程的通解为

x2+x3=1,

即x,=c-1+1,（ce7?）

【答案】

10、在3维线性空间甯中给出两组基

刍=Qo,O）r；&=（0,l,0）r；4=（1,0,炉及7=（2,0,-1巴小=（1,2,-2巴/=（2U），

（1）求由基久乙,或到基7,%,%过渡矩阵P

（2）若向量a在基％〃2,%下坐标为（2,2,-2）7,求Q在基&看2,&下

的坐标。【问答题】

【答案】

(1)设4=(44/3),5=(〃,%,%),则B^APo

由于A可逆,则P=A'B

01212、0033n

八一「;

(A,b)=010021■>010021

01-1-2I、001-1-2I

33、

所以021

-1-2

(2)由坐标变换公式得a在基人3后下的坐标为

‘花、2、331、210、

%202I22

X-2-1-21-2-8

<37777

【答案】

11、设3维向量

q+储'1]1、「0、

1+丸1

1+A

1Akx7

问：当力取何值时

(1)夕可由即a?,%线性表示，且表示惟一？

(2)夕可由%，a1,%线性表示，但表示不惟一？【问答题】

【答案】

设存在使得勺/+&2a2+k3。3=/，即

(1++左2+左3=0

<£+(1+丸)友2+及台—丸

k[+k2+(1+—下

1+Z11

其系数行列式11+21=丸2(4+3)

111+/1

(1)当/iwO且；1彳-3时，方程组有惟一解，即夕可由囚,a2,a3线

性表示，且表示惟一。

(2)当几=0时，方程组是齐次线性方程组，由于系数行列式

等于零，.可由%,%,线性表示,但表示不惟一。

【答案】

12、设a是非齐次线性方程组的解，a4L4,是其对应

的齐次线性方程组的基础解系。说明a,4氏L，网线性无关。

【问答题】

【答案】

法一：

设存在44,演L,2.使得/ta+M+4A+L4月=0,贝I」

A(4a+44++L4力)=彳Aa+4A分]+4A四+L4、A&=0

由题设可得Aa=b,A/3i=0(/=1,2,L,5),

即劝=0,由于)力0,贝|]4=。，即44+%2+L4月=0。

由于用应,L,女是齐次线性方程组的基础解系，必线性无关

贝14=4=L=4=4=0,因此a,4,&L,月线性无关。

法二：反证法

假设a,自应,L,女线性相关，由于凡4L,立是齐次线性方程组

的基础解系，必线性无关，则。可由用血,L,凤线性表示。

则存在一组数4，4，L，4,使得&=4自+4⑸+L3

两边同左乘矩阵A,得：4。=444+为4色+14/以

由题设Aa=b,A4=0(i=l,2,L,s),

得。=0,矛盾。因此a,综&L血线性无关。

【答案】

六、解答题

1、设方阵

‘-211、

A=021

、-413,

(1)方阵A是否可以对角化？

(2)如果A可以对角化，求可逆矩阵P,将A化为对角矩

阵/。

(3)求口。|。【问答题】

【答案】

(1)4的特征多项式

-2-Z11

\A-AE\=05-20=-(/1+1)(2-2)2

-413-2

得特征值：4=-1,4=4=2

当4=-1,解方程组(A+E)x=0

‘-111、"-101、得特征向量Pl=pj

由A+E=030010

、-414,、00°>

当4=4=2,解方程组(A-2E)x=0

'-411、'-411、

由A-2E=000000,

<-41L、000,

'o)

得特征向量P?=1,P3

由于方阵A有3个线性无关的特征向量P”P2，P3,所以，可以

对角化。

(2)取

‘101、

P=(P］，P2，P3)=010

(1—14

'-100、

则有P'AP=020=/

(3)由于屋=PyfpT，则

-10o10

|AIO|=|P||ZIO||P-'|=020=410

002

【答案】

2、判断二次型

/(%,W,&)=2%；++5石+-4xix3-8x2x3

的正定性。【问答题】

【答案】

’22-2、

二次型的矩阵为A=25-4

、一2-45，

|2|=2>0,

22

=6>0,

25

22-2

25-4=5>0

-2-45

所以该二次型正定

注：方法不唯一，特征值法、配方法等判断二次型的正定性，都可以。

【答案】

3、设方阵

’460、

A=-3-50

、-3-61,

(1)方阵A是否可以对角化？为什么？

(2)如果A可以对角化，求可逆矩阵P,将A对角矩阵

(3)求忖―3同。【问答题】

【答案】

(1)A的特征多项式

4-260

\A-AE\=-3-5-20=-(2-1)2(/1+2)

-3-6-21-2

得特征值：4=%=1，4=-2

当4=4=1,解方程组(A-E)x=0

‘360、‘120、

由4-E=-3-60000,求得特征向量

、—3-6O,、000,

当々=-2,解方程组（A+2E）x=0

660),(10p

由A+2E=-3-30o1-1,得特征向量

、—3-63,、°0

r-r

P3=i

、I

由于方阵A有3个线性无关的特征向量P1，P2，P3,所

以，可以对角化。

(2)取

20-A

P=(P]，P2，P3)="I01

01I

00、

则j有PAP=010A

、00-2>

(3)由于A=A2=PAP',贝!]4—3E=p/2pT—3E,故

|A2-3E|=|p(/l2-3E)p-||=|P||712-3E||p-,|=4

【答案】

4、判定二次型

/(%,工2，工3)=-5%：-6xf-4片+4%%2+%退

的正定性。【问答题】

【答案】

’-522、

二次型的矩阵为A=2-60

、20-4,

|-5|=-5<0,

-522

-52

=26>0,2-60=-80<0

2-6

20-4

所以该二次型负定

注：方法不唯一，特征值法、配方法等判断二次型的正定性,

都可以。

【答案】

5、设有二次型

2

/(X1,X2,X3)=5XI+5xf+3x；-2x^2+6xix3-6x2x3

(1)写出二次型的矩阵；

(2)求一正交变换，将此二次型化为标准型。【问答题】

【答案】

(1)二次型的矩阵为4=-15-3

、3