小学奥数 比较与估算（含答案）

比较与估算

同twit圆4目强

本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一

讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。

一、小数的大小比较常用方法

为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位

数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)

二、分数的大小比较常用方法

⑴通分母：分子小的分数小.

⑵通分子：分母小的分数大.

(3)比倒数：倒数大的分数小.

⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小.(适用于真分数)

⑸重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大.

(6)放缩法

在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！

三、数的估算时常用方法

(1)放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小.使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果.

(2)变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式.

模块一、两个数的大小比较

【例1】如果“=陋，b=您，那么a,b中较大的数是

20062007

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

【解析】方法一：＜与1相减比较法》

2005_12006_

-----,因为------>------所以b较大；

2006~2006•-2007—200720062007

方法二：＜比倒数法〉因为」一＞」一720062007、史「20052006

所以---->-----,进而-----<----即-a<b;

200520062005200620062007

方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以6大

【答案】b

【巩固】试比较二二和工的大小

19981949

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

19951946

【解析】---->----

19981949

19951946

【答案】---->----

19981949

【巩固】比较黑和需的大小

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

4444432555554?99

【角箪析】因为1—竺竺吵=_f—,1———,显然——>——,根据被减数一定，减数

444445444445555556555556444445555556

越大差越小的道理,

444443555554

:------<-------

444445555556

444443555554

【答案】-------<--------

444445555556

111111110444444443

[例2]如果A=B=888888887'与3中哪个数较大？

222222221

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】方法一：观察可以发现A、8都很接近!，且比它小.我们不防与」比较.

22

--4=-----!------B=---------!------B<--A,即5比A更接近」,换句话说

22x22222222122x888888887222

B>A.

士、】一A111111110111111110x4444444440444444443„0“八

方法—:A----------------------------------<----------=B,即rlA<8.

222222221222222221x4888888884888888887

-=2----5----显然则A<3

方法三:——=2---------

A111111110B444444443AB

【答案】B

■ECH*4rl田A222221__333331*门,iAA日

【巩固】如果A=------,B=--------,那w么A和8中t较大的数是・

222223333334------

【考点】两个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

222221666663666662333331

【解析】A=>==/?即A大

222223666669666668333334'

【答案】A

【巩固】试比较UL和业的大小

111111111

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1.对于这样的分数，可以利用它们的

倒数比较大小.W的倒数是io—,的倒数是1+UL=io」—

mimiinmumumi

我们很容易看出io—>io」一，所以』LL<mi

inmi1111mu

方法二：_LLL两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母

=iiixio=HIO

11111111x1011110

都大的分数比较大，所以工叫<1111即1111111

------，即——<------

1111011111111111111

1111111

【答案】-----<-------

111111111

【例3］在“=20032003x2002和打20022003x2003中，较大的数是,比较小的数大«

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】/7-a=20022003x2003-20032003x2002=20020000x2003+2003x2003-20030000x2002-2003x2(X)2=200

3x(2003-2002)=2003

所以a比6大2003

【答案】a比6大2003

［例4］设"-+b=-+-+则在a与〃中，较大的数是.

34567

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】可采用放缩法。因为！=-+->-!-+-,->-o所以,+1>!+2+1,即a是较大的数。

366674534567

当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。

【答案】a

［例5］比较二+［+，•++」与，的大小.

82921026428

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】如果直接放缩：

I1111111

-----1-------1F4<----------1-----------1bH

8292102------6427x88x99x10-----63x64

111111

=-----+-----++--------

78896364

-7-64，

但是所以不能确定二+二+工++工与』的大小关系，

876482921026428

同样如果如下进行放缩：

1I111111

—+-+——++――^>----+-+.++--------

82921026428x99x1010x1164x65

=———,也不能确定.

865

但是如果保留京，将*++++*进行放缩,

则有:

11111111

-----1-------1---------FH-------<------1----------1------------F.H-------------

8292102642828x99x1063x64

1111

---1------=一

648648

可见两者中1较大.

8

【答案】，较大

8

【巩固】lx-x-xZxx%与，相比，哪个更大，为什么？

246810010

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

记〃=x雪，显然有：<^^468100

【解析】flxxxx---

24681003579101

11,有所以原分式比_L小.

而ab=---<---

10110010010

【答案】

［例6］试比较：2x2x2土x2与3x3x3xx3哪一个大?

296个2185年3

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

8个2

2x2x2xx2256,

【解析】296=37x8,185=37x5,因为——>1所以2x2x2xx2>3x3x3xx3

3x3x3xx3243296个2185个3

-5^3-

【答案】2x2x2xx2

296个2

［例7］图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米2).黑色

的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由.

1993219922

1996219972

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，口试

【解析】此题利用到平方差公式：a2-b2=(a+b)x(a-b)

19972-19962=(1997+1996)X(1997-1996)=1997+1996=3993

19932-19922=1993+1992=3985

所以19972-19962>19932-19922

即1997?+1992?>1996?+19932,两个白色正方形的面积大.

【答案】两个白色正方形的面积大

【例8】在1」」」，，-k」-中选出若干个数使它们的和大于3,最少要选多少个数?

23499100

【考点】两个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数.

有1,，,1」，，-！-,」一依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择.

23499100

士,111111111…U

有1+—+—+—+—+—+—+—+—+—b2.925

2345678910

而l+\!+Ll+_L+W+、3.015

234567891011

所以最少选择11个即可使它们的和大于3.

【答案】11个

8

?5X

［例9］已知：A=-x-x9-X—,那么A与0.1中比较大，说明原因;

36999

【考点】两个数的大小比较【难度】4星【题型】填空

3〃_2,3〃（3“-1）2_]（3〃-if

【解析】

3/1-13/2+1（3"）2-1（3〃）-

2589979989991

A3=—X—X—Xx__x___x___—____

3699989991000-1000

A>」-,即A比0.1大

10

【答案】A比较大

模块二'多个数的大小比较

【例10】⑴比较以下小数，找到最大的数：1,121,1.121,1.12,1.12121,1.12

・・45

⑵比较以下5个数，排列大小：1,0.42,-，1.667,

73

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：

1.1211.12112112/

1.121-1.121000000

1.12->1,121212121

1.12121->1.121210000

1.12-^1.120000000

于是可以得出结果，1.正是最大的数.对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获

得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的.

⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分

为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较.

♦・qQ・・・♦・・

①小于/的部分为0.42和一，将小数展开，并把一化为小数得：0.428571,显然0.428571〉0.42,

77

3••

即一>0.42;

7

_59

②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1,1.667,先将假分数化为带分数1一，比

33

2

较三数整数部分，发现都为1,然后比较其他部分：1-=1.666666...<1.667,所以得到1<

3

2••32

1-<1.667.即得：0.42<-<1<1-<1.667.

373

••••32

【答案】(1)1.12(2)0.42<-<1<1-<1.667.

73

【巩固】在』，』中，最小的数是_______o

3711

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

1?????133

【解析】_L=±>±=三>K=士所以最小的是上

36777771111

【答案】-

11

【巩固】在口、3.04、31四个小数中，第二小的数是一

53

【考点】多个数的大小比较【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛

1711

【解析】由于：=3.4,3-=3.333333,可以看出，其中第二小的数为3上。

533

【答案】3-

3

【巩固】分数黑，篇中最大的一个是.

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【解析】曳

301

【答案】史

301

【巩固】有8个数，0.51,0.51,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数

394725

是0.51,那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

259413

【解析］±=0.6,-=0.5,0.5106,—=0.52,显然有0.5106<0.5K0.51<0.52<0,5<0.6,即

394725

241352

—<051<0.51<—<-<-,8个数从小到大排列第4个是0.51,

472593

741452

所以有□〈口<二<0.51Vo.51〈二v2v*.（“□”表示未知的那2个数）.所以，这8个数从大到小排列

472593

第4个数是0.51.

【答案】0.51

199819981999199920002000

【巩固】在中，最小的分数是.

199919992000200020012001

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】数学爱好者夏令营

199919991999200020002000加妞专曲“人"古访人古八劫

【解析】因为19981998=22奥----------=-----,-----------=-----根据重要结企-----对于两个具分数,

199919991999200020002000200120012001

如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且:

19981999200019981998

<----<---所--以,最小的是

19992000200119991999

19981998

【答案】

19991999

【例11］（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：

7131628

（2）（幼苗杯数学邀请赛）把下列分数用号连接起来：

1719233391

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴我们可以用通分子的方法，可得：

3x15二455x9=459x5=4515x3=45

7xl5-105,13x9-n7,16-5一站’28x3-84，

分母大的反而小，所5以31s〈二9.

1372816

⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦.再看分子，60正好是10、

12、15、20、60五个数的公倍数.利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60

的分数.我们称之为“通分子比大小'’的方法.

10_6012=60156020=60竺二竺；可见莫〈如

17102J1995*23~92f33-99919110299959291

也就是竺<20121560

—<一<一

1733192391

（i）A<2<^<2⑵20121560

【答案】w<——<——<一

13728161733192391

【巩固】将曳L、旦、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是.

25040

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，六年级，决赛

13121

【解析】—=0.524,—=0.525

25040

131?1

所以：0.52<0.523<0.523<旦<三，第三小的数是0.523

25040

【答案】0.523

【巩固】这里有五个分数：25,151012如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数？

38231719

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

12

【解析】-

19

12

【答案】-

19

【巩固】将下列乘式结果按从小到大排序：661x669,662x668,663x667,664x666,665x665.

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样+一个简单算式''的形式.

看661x669,我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：

661x669=(660+1)x(660+9)=660x660+1x660+9x660+1x9=66()2+(1+9)x660+1x9

可以看到，这5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较1x9,2x8,3x7,4x6,5x5

的大小，就可以得出：661x669<662x668<663x667<664x666<665x665.

[661x669<662x668<663x667<664x666<665x665

—,酬克的重物.问：金、银、铜牌应分

【巩固】编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为匕

127333488

别发给几号蚂蚁？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛

115.12.11

【解析】----=]—,=1--------=1----------

12712712710.5

12

302131

-----=1--------

333~~33333310.7

31

439।49।1।1

-----=1--------=1--------=1----------

4884884889.9

49

302115439

所以,----->----->------.

333127488

302115439

【答案】----->----->------.

333127488

【巩固】请把些，卫，型叱，号这4个数从大到小排列。

6575326809

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

「一、•!■，显然有」一被减数相同,

【解析】将1与这四个分数依次做差，得一！一、—

65753268092680657539

*乂%亡它,“

差小।的数反而大，所以-2-6-7-9>——656>一52>-8.

2680657539

2679656528

【答案】---->---->—>-

2680657539

［例12］在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少？

31口9

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

31737

【解析】将不等式中的三个数同时除以80,不等号的方向不改变，有上-<上<」-,而一二、一」的倒

310口720310720

310720310720

数分别为手、T，而□应该在手亍之间，即在103.33〜102.86之间(在计算循环小数时,

将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103,所以口内所填的整数为103.

【答案】103

【巩固】⑴比2大比』小的分数有无数多个，则分子为27的分数是.(写出一个即可)

73

⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立？-<-<1

9□

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴设比2大比1■小的分数为X,则：-<x<-,即9<X<2,—<x<—,所以注<X<型，

7373212142428484

不妨取工=2上7，那么2*<2上7<上1，满足题意.再比如272727等也满足题意.

847843858683

4

(2)分子5+4=9,可以把1看成—，利用加成分数原理得□=13.

4

97

【答案】⑴二⑵13

84

【巩固】比2大，比之小的分数有无穷多个，请写出三个：_____________o

34

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，一试

818389

【解析】

?20120T20

818389

【答案】

120120T20

【巩固】⑴找出一个比3大，比3小的分数。

56

⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：，<工

7()3

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴方法一：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数.加

成分数的值介于原来两个分数之间.根据加成分数原理4+二5二三9，9二是介于苗4和士5之间的一个

5+6111156

分数.

2425

方法二：如果通分母，可以得到同分母分数上和三.把这两个分数的分子、分母扩大2倍，可

3030

4549

以找出一个比上大，比士小的分数无；如果把这两个分数扩大3倍，可以再得到两个中间的分

5660

数乃等等.

90

我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比上4大、比5己小的分数.同学们可以自己试一试.

56

⑵首先判断第一个不等号两边的关系，,因此（）＜35,再判断第二个不等号两边的关系，

735

15

,因此（）＞15.根据以上分析，可以确定（）中能填入19个自然数.

根据分数基本性质等值放缩分数是处理分数问题最常用的方法.

【答案】⑴二⑵19

11

【巩固】下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？

-L-＞工

))))）

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母,因此

可选择的最小自然数为2,2只能放在第一个分数上做分母.后面要找比！小的最简分数:

3、4

2

依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中.依次规律,

12345

可得结果：.

2581114

【答案】2+5+8+11+14=40

【例13】在下面9个算式中：

公35G36公37G38a39公310令31113

52062072082092010201120

第几个算式的答数最小，这个答数是多少？

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【解析】方法一：

336———L>o,即①〉②;

①-②=+----1------

6205x620

363731

②---+

+一

一-

-一-

67即②〉③;

20

■7208X73201

­33

I一

=-+-+一=

®-V7208-即③,④;

20X820

3839工」<0,

④-⑤=9+20即④〈⑤;

8208x920

3131331

⑤・⑥，⑥■⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为—-----...........L均小于o,所以

10x112011x122011x1220

⑤〈⑥，⑥〈⑦，⑦〈⑧，⑧«⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为3+总=①

82040

方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为二.

20

因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小.其中第4个算式中3、©■最接近，所

820

以第4个算式最小•

31

【答案】第4个，—

40

2005x2006/＞=2006x2007_2007x2008

【巩固】若=

6/-2007x2008f-2009x2010,则有(

2008x2009

(A)a>h>c(B)a>c>b(C)a<c<b(D)a<b<c

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】选择

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】略

【答案】D

【巩固】甲、乙两个天平上都放着一定重量的物体，问：哪一个是平衡的?

甲乙

【考点】多个数的大小比较【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯赛，初赛

【解析】考虑除以3,所得的余数

因为478