数学（安徽卷）2023年中考第一次模拟考试卷（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的)

1.下列各式正确的是()

A.-|-5|=5B.-(-5)=-5C.|-5|=-5D.-(-5)=5

【答案】D

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，在数轴上一个数到原点的距离叫做这

个数的绝对值，根据绝对值和相反数的定义分别化简即可.

【详解】解：A.-|-5|=-5,故选项错误，不符合题意；

B.-(-5)=5,故选项错误，不符合题意；

C.|-5|=5,故选项错误，不符合题意；

D.-(-5)=5,故选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了绝对值和相反数，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解题的关键.

【答案】C

【详解】解：综合三视图，可以得出这个几何体应该是个圆柱体,

且底面半径为10,高为20.

因此它的体积应该是：71x10x10x20=20007：.

故答案为20007t.

故选C

3.2022年初某省常住人口6113万人，比上年末增加8万人,常住人口城镇化率为59.4%,

提高1.1个百分点，其中“6113万”用科学记数法表示为（）

A.6113xl04B.0.6113xl07C.6113x10,D.6.113xlO7

【答案】D

【分析】直接根据科学计数法的定义作答即可.

【详解】解：6113万=61130000=6.113x107,

故选D.

【点睛】本题考查了科学计数法，对于科学记数法的表示，首先掌握科学记数法的表示

形式：axlO",然后确定。的值；对于"值的确定，可以从以下三个方面考

虑：（1）若原数绝对值大于10,则〃的值等于原数整数位数减1或原数变为。时，小数

点向左移动的位数；（2）若原数绝对值大于0且小于1时，〃是负整数，〃的绝对值等

于原数从左向右第1个不为0的数前面所有0的个数，包括小数点前面的0；或等于原

数变为。时，小数点向右移动的位数；（3）若原数带有计数单位或计量单位，如万，亿，

千米等，需掌握常见单位换算：1万=10'；I亿=10'；1千米=10,米；1纳米=1。"米

等.

4.一组“数值转换机”按如图所示的程序计算,如果输入的数是36,则输出的结果为106,

要使输出的结果为163,则输入的最小正整数是（）

输Ax|—厂>|计算3x-2的值|------A|>|00占一》|输出结果

____________________________|否

A.3B.7C.19D.55

【答案】A

【分析】利用“数值转换机”的程序，将四个选项中的结论代入进行检验即可得出结论.

【详解】解:当3x-2=163时,x=55,

当3%-2=55时，x=19,

当3x-2=19时，x=7,

当3%—2=7时,x=3,

由上所述可知，当输入的数字为3,7,19,55时，依据程序均能得到使输出的结果为

163,

•••输入的最小正整数是3.

故选：A.

【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的混合运算，依据程序将四个选项中的结论

代入进行检验是解题的关键.

5.下列因式分解正确的是（）

A.W-LMX+DB.«2-3«-4=（a+4）（a-l）

C.a2+2ab-b2=（a-b）2D.

【答案】D

【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.

【详解】A、V-kMkD,故A选项错误；

B、/_3“-4=（。-4）（4+1）,故B选项错误；

C、片+2a6"不能分解，故C选项错误；

D,正确,

故选D.

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.

6.对于函数产（l-/n*+2ntr-3,其S的值可能为5,-2,1,0,则使得该函数图像一定

经过第二象限的，〃概率是（）

1c2

AA.-B.-C.一

234

【答案】A

【分析】根据函数的图象经过第二象限，舍去不符合题意的数值，进而得出答案.

【详解】解：将，*=5,-2,1,0分别代入，函数产（I-m）/+2,但3,

将，”=5代入函数丫=（1-切）f+2/nx-3中得，y=-4f+10x-3,函数图象一定经过第一：三

四象限；

将片-2代入函数产（1-加）f+2mx-3中得，产-3f-4x-3,A=-20<0,函数图象经过第

三四象限；

将,"=1代入函数尸（1-w）/+2,33中得y=2x-3,x=l,函数图象经过第一三四象限；

将m=0代入函数y=（1-m）/+2*-3得，产f-3,函数图象经过第一二三四象限.

：.m=5,0时，该函数图象一定经过第二象限，

21

••・使得该函数图象一定经过第二象限的m概率是(=1.

故选：A.

【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.也考查了正比例函数及二次函数的性质，根的判别式.

7.已知点P(-1,%)、点。(3,必)在一次函数y=(2，"Dx+2的图像上，且则m

的取值范围是()

A.m<—B.m>^-C.m>lD.m<\

22

【答案】A

【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m

的取值范围.

【详解】解：

•.,点P(-1,yi)、点Q(3,y2)在一次函数y=(2m-l)x+2的图象上，

.,.当-1V3时,由题意可知yi>y2，

；.y随x的增大而减小，

/.2m-l<0,解得m<y,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出•次函数的增减性是解题的关键.

8.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如

果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是()

A.12.75<x<24.5B.x<24.5C.12.75<x<24.5D.x<24.5

【答案】A

【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95,第三次运算结果大于95列出不

等式组，然后求解即可.

12x-1?95@

【详解】解：由题意得：.[2(2x-1)-1?95②，

卜歉2x-1)-1-1>95③

解不等式①得，后48,

解不等式②得，x£24.5,

解不等式③得，x>12.75,

所以，x的取值范围是12.75cx?24.5.

故选A.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不

等式组是解题的关键.

9.如图，E是菱形ABCD边A。上一点，连接BE,若AB=E3=13,ED=3,点、P是

BE的中点，点。在BC上，则下列结论错误的是（）

A.菱形ABC。的面积是156B.若。是8C的中点，则PQ=2g

C.sinZEBC=—D.若尸QLBE,则P。=个

13

【答案】C

【分析】过点8作于M,过点E作EN_L8C于M连接EC,PQ,由四边形

是平行四边形可得BN=ME,由8A=BE可得ME,解Rt&BNE可得EN,进而求

得菱形面积，NEBC的正弦值；解放A&VC可得EC,若。是8c中点，由三角形中位

线的性质可得P。；若PQLBE,由NE8C的正切值解Rd8尸。可得尸Q；

【详解】解：如图，过点8作8M_L4O于M,过点E作ENLBC于M连接EC,PQ,

ABC。是菱形，则A£>〃8C,

BMLAD,ENLBC,则8例〃EN,

二四边形BNEM是平行四边形，

：.BN=ME,

A8CZ）是菱形，则A£>=A8=8C=13,DE=3,则AE=10,

BA=BE,BM1AE,则ME=AM=/AE=5,

：.BN=5,CN=8,

RmENB中，EN-JBE2-BN2=12，

菱形ABCD的面积=8C・EN=156,

EN12EN12

sinNEBN=—=—,tan/EBN=——=—,

BE13BN5

sinZEBC=—,

13

Rt&CNE中，CE=yjNC2+NE2=4底，

若。是8c中点，则。P是△BCE的中位线，

，QP=gCE=2如，

若QP_LBE,则R3BPQ中,BP=^f3E=—,

］31278

QP=BPtanZPBQ=-yx—=—,

综上所述：

12

C.sinZ£BC=—,选项错误，符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，解

直角三角形等知识；正确作出辅助线是解题关键.

10.如图，抛物线y=ar2+bx+c（ax0）的对称轴为A一1,与x轴的一个交点在（一3,0）

和（-2,0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）〃-4a>0；（2）2a=b；（3）

点［-］，%）、（一,%）、是该抛物线上的点，则M<%<丫3;（4）3b+2c<0i

（5）t（at+b）<a-h（f为任意实数）；（6）（a+c）2>〃，其中正确结论的个数是（）

C.4D.5

【答案】C

【分析】由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根

据抛物线的对称轴为户-1,即可得出b=2a,即（2）正确;根据抛物线的对称性找出

点（-?，几）在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由

x=—3时，7<0,即可得出3a+c<0,结合8=2a,即可得出（4）正确；由方程

“产+初+a=0中△=〃一4a-a=0结合a<0,即可得出抛物线y=。/+从+a中y40,由

此即可得出(5)正确；先根据因式分解得到(a+c)2-〃=(3a+cXc-a),再求出

(“+c)2<0,即可得出(6)错误.综上即可得出结论.

【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，

关于x的方程62+版+C=0有两个不相等的实数根，

二△-4ac>0-

二(1)正确；

抛物线y=axz+bx+c{a^0)的对称轴为户-1,

.b1

•■一——=-1，

2a

2a=b,

・•・(2)正确；

,抛物线的对称轴为x=-1，点£,打)在抛物线上，

・・・-；7<-1?3<-3],且抛物线对称釉左边图象y值随x的增大而增大，

・・・

・•・(3)错误；

•・•当工=-3时，y=9a-3b+c<01且。=2。，

9a-3x2a+c=3a+c<0f

6。+2c=3/7+2cv0,

A(4)正确；

■:b=2a,

工方程加2+4+白=0中八=〃一4〃.〃=。，

.•・抛物线、/+初+。与x轴只有-个交点，

•・,图中抛物线开口向下，

/.a<0,

2

y=at+bt+a<0f

即at2+bt<-a=a-h.

・•・(5)正确.

V(^+C)2-Z?2=(67+c+/?)(6F+c-Z?),b=2a,

(a+c)2-Z?2=(3a+c)(c-a),

由图象可知：c>0,

・・・a<0,

，c-a>0,

3a+cvO,

(3Q+C)(C-Q)vO,

.\(a+c)2-b2<0,

即(a+c)2<b2

：.(6)错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴

的交点，解题的关键是逐一分析6条结论是否正确.本题属于中档题，难度不大，但过

程较为繁琐，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键.

第n卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11.计算：+(乃-3)°=.

31

【答案】:或1.5或二

【分析】原式根据算术平方根的意义以及零指数基的运算法则化简各数后，再进行加法

运算即可.

【详解】解：卜5—3)。

=-+1

2

_3

-2,

故答案为：j3.

【点睛】本题主要考查了算术平方根以及零指数'幕的运算，熟练掌握算术平方根的意义

以及零指数塞的运算法则是解答本题的关键.

12.化简(1+=2<，的结果为一

Ix-1)x-2x+1

【答案】X-1

【分析】根据分式的混合运算，可先算括号里面的，再把除化为乘法，约分即可.

X+1

【详解】解：1+

x~-2,x+1

（X-1）2

x+1

=X+l（if

x-lX+1

=x-1

故答案为：x-1.

【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键.

13.如图，点A、点B是函数y=4的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC〃x轴,

X

AC〃y轴，△ABC的面积是8,则k的值是

【答案】4

【分析】先根据反比例函数图象判断出k>0,再根据k的几何意义得知

s=s&OE,再根据函数图象的对称性可知S矩形OE8=2SAOD=k,进而由△ABC

的面积是8求得k值.

【详解】如图，•••反比例函数的图象在第一、三象限，

...k>0,

：BC〃x轴，AC〃y轴，

,,SAOD=SBOE=3^,

k

•・•点A、点B是函数y=*的图象上关于坐标原点对称的任意两点，

X

••S矩形OECD=2sAOO=k,

「△ABC的面积是8,

"<•$ABC=S矩形OR。+SBOE+AOD=2A：=8,

解得：k=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键.

14.已知，矩形ABCQ中，AB=2,BC=4,点E是对角线2。上一点，连接AE并延长

交矩形的一边于点F,将448尸沿直线A尸翻折，使得点B落在8'处.（1）若/84E=30。，

贝|」/94夕=；（2）若AE=2EF,则88'的长为.

【答案】30。2夜或竺雪

【分析】（1）根据轴对称的性质求出NB'AE,根据矩形的性质求出/8AQ,再根据角的

和差关系即可求解.

（2）根据点尸的位置进行分类讨论.当点尸在边8c上时，根据矩形的性质，平行线

的性质，相似二角形的判定定理和性质确定尸8的长度，根据轴对称的性质求出A9和

FB'的长度，根据正方形的判定定理和性质，勾股定理即可求出BB'的长度；当点F在

边CC上时，根据矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定定理和性质求出厂。

的长度，根据矩形的性质，勾股定理求出4尸的长度，根据轴对称的性质和三角形面积

公式求出BG的长度，进而求出8'G的长度，最后根据线段的和差关系即可求出88'的

长度.

VZB4E=30°,△ABF沿直线A尸翻折，点8落在8'处,

，ZB'AE^ZBAE=30°.

•.•四边形48C。是矩形，

：.ZBAD-9Q0.

：.ZDAB'=/BAD-NBAE-ZB'AE=30°.

故答案为：30°.

（2）当点F在边8c上时，如下图所示.

\'AE=2EF,

.FE1

••--=一.

AE2

•・•四边形ABC。是矩形，304,

AAD//BC,AD=BC=4fZABF=90°.

：・4EBF=/EDA,ZEFB=ZEAD.

:.△EBFs^EDA.

・FBFEI

**AE-2,

FB=-AD=2.

2

沿直线AF翻折，点8落在2'处，AB=2,

：.AB'=AB=2,FB=FB=2.

/•AS^AB=Fff=FB.

四边形A8FE是菱形.

，四边形ABF?是正方形.

，ZBFff=90°.

•*-BB'=yjFB-+FB'-=2V2•

当点尸在边匕时，如下图所示，设88'与AF交于点G.

'：AE=2EF,

.FE1

••=.

AF2

•・•四边形ABC。是矩形，AB=2fBC=4,

ABDC,Z/l£>F=90°,AD=BC=4,SA4W.=-AB-SC=4.

：.ZEFD=ZEAB,ZEDF=ZEBA.

-'­△EF—AEAB.

.FDFE\

A£-2-

FD=-AB=\.

2

•*-AF=yjAD2+DF2=V17-

「△AB尸沿直线A尸翻折，点8落在9处,

.,.AFIBB'，BG=B'G.

：.BG="X=①

AF17

・•・哈班

17

二BB'=BG+B/G=^^-

17

故答案为：2&或嗜.

【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，角的和差关系，平行线的性质，相似三

角形的判定定理和性质，正方形的判定定理和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确

应用分类讨论思想是解题关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

fx+2y-6=0

15.已知关于x,y的方程组c)/八.

[x-2y+，nx+6=0

⑴当〃7=(-2)2时，方程组的解为.

(2)若X与y互为相反数，求m的值.

|%=0

【答案】⑴°

[y=3

(2)m=—2

【分析】(1)把机=(-2丫代入原方程组，再利用加减消元法解答，即可求解；

(2)根据相反数的性质可得光=一兀再代入，可得到关于y,m的方程组，即可求解.

【详解】⑴解：••"=(-2「

/.6=4,

x+2y-6=0即。鼻

・•・原方程组为

x-2y+4x+6=0

由①+②得：6x=0,

解得：x=0.

把x=0代入①得：2y=6,

解得：y=3,

x=0

程组的解为《*

j=3'

x=0

故答案为：\

[y=3

(2)解：与y互为相反数,

x+y=0,即了=一儿

一y+2y-6=0

；•原方程组为

-y-2y-my+6=0

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的

关键.

16.如图，把AA8C置于平面直角坐标系中，请你按以下要求分别画图：

⑴画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A向Ci；

(2)画出△ABC绕原点。逆时针旋转90°得到的△4222c2；

(3)画出△ABC关于原点。对称的小AJBJCS.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）分别将A、B、C三点向下平移5个单位，得点Ai、Bi、C,,顺次连接这三

点即可得所求作的三角形.

（2）把握好旋转的三个要点，按要求作图即可；旋转中心：点0,旋转方向：逆时针方向，

旋转角度:90°.

（3）分别作A、B、C关于原的对称点A3、B3、C3,然后顺次连接这三点即可.

【详解】（1）如图所示，△AIBIG即为所求；

（2）如图所不，AAZB2c2即为所求;

（3）如图所示，AABB3c3即为所求.

y八

>

X

【点睛】本题考查的是平移、旋转变换、中心对称的作图方法，熟练掌握各种几何变换

的特点是解答此类问题的关键.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已

知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费

用为600元.

（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？

（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不低

于2100元且不超过2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类

拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？

（3）在（2）的条件下，若该班级在“义卖活动''中，对售出的每一盒甲类拼图优惠

〃（0＜。45）元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利

润为多少元？（可用含“的式子表示）

【答案】（1）甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元

（2）当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为2400元

（3）当〃=40时，最大利润是（2400—40a）元；当a=2,204,440时，最大

利润是1600元；当2<。45,〃=20时，最大利润是（2000—20。）元.

【分析】（1）设乙盲盒的每件进价是x元，则甲盲盒的每件进价是（x+5）元，根据购进

甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元列方程求解即可；

（2）设购进甲种盲盒m件（m4200）,则购进乙种盲盒（200-加）件，根据总费用不低

于2100元且不超过2200元，列不等式组为2100415加+10（200-咐42200,求得

20</7Z<40,再设全部售出所获得总利润为W,则

w=（25-15）m+（18—10）（200）=2〃?+1600,根据次函数性质求解即可；

（3）设购进甲种盲盒"件（“4200）,则购进乙种盲盒（200-〃）件，由（2）得20。440,

设全部售出所获得总利润为y,则y=（25—15—。）〃+（18—10）（200—"）=（2—。）〃+1600,

然后根据一次函数性质求解即可.

【详解】（1）解：设乙盲盒的每件进价是x元，则甲盲盒的每件进价是（x+5）元，根据

题意得

20（x+5）+30%=600,

解得：x=l（）,

.-.JV+5=10+5=15,

答：甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元；

（2）解：设购进甲种盲盒机件（〃在200）,则购进乙种盲盒（200-〃。件，根据总费用

不低于2100元且不超过2200元可得

2100<15/7?+10（200-/n）<2200

解得20VM440,

设全部售出所获得总利润为W,则

卬=（25-15），w+（18—10）（200—加）=2m+1600,

々=2>0,

，卬随"?增大而增大,

，当加=40时，w取得最大值，最大值=2x40+1600=2400,

二当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为2400兀；

（3）解：设购进甲种盲盒〃件（〃4200）,则购进乙种盲盒（200-〃）件，

由（2）W20<rt<40,

设全部售出所获得总利润为y,则

^=（25-15-a）n+（18-10）（200-n）=（2-o）n+l600,

当2-a>0,即0<a<2时，y随〃增大而增大，

.•.当”=40时，y取得最大值，最大值=（2—“）x40+1600=2400—40。；

当2—。<0,即2<。45时，y随〃增大而减小，

.•.当”=20时，），取得最大值，最大值=（2—a）x20+1600=2000-20。；

当2-〃<0,即。=2时，20<M<40,y=1600；

综上，当0<。<2,“=40时，最大利润是（2400—40"）元；当。=2时，2（）W〃W4（）,

最大利润是1600兀;当2<aV5,〃=20时，最大利润是（2000-20。）兀.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，

列出一元一次方程、不等式组、一次函数解析式是解题的关键.

0922

18.观察以下等式：第1个等式：2+-=22X-第2个等式：3+^-=32X-第3个

33;88;

424525

等式：4+-=4X-;第4个等式：5+^=5X^-;……按照以上规律，解决下列

问题：

（1）写出第5个等式：

（2）写出你猜想的第〃个等式：；（用含〃的等式表示），并证明.

2

【答案】（1）6+^=6XA：（2）（〃+1）+产==（〃+1）2.小二，证明见解析.

【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可：

（2）根据规律写出通项公式然后证明即可.

【详解】解：⑴根据已知规律，第5个等式为6+2=62、2，

故应填：6+^=62；

（2）根据题意，第〃个等式为（〃+1）++

n（n+2）n（n+2）

、丁口口14(〃+l)〃(〃+2)〃+l5+l)〃5+2)+(〃+l)5+l)[〃(〃+2)+l]

证明：左边T=二+2)+花钩=------而花------=—E-

=(〃+帅2+2〃+1)=(〃+1)(〃+1)2=(〃+])2上一右边,

n(n+2)n(n+2)n(n+2)

：.等式成立.

【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，

从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.2022年第24届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情。如

图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点P,

其中AB=300米，8P=200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为20。，8尸段的运

行路线与水平方向的夹角为30。，求垂直高度尸C(结果精确到1米，参考数据：

sin20°=0.342、cos20°=0.940,tan20°=0.364)

P

【答案】垂直高度PC约203米

【分析】过点B作BEJ_AC,垂足为点E.在RMABE中，ZBAE=20。，可得8次103

米.在RaPDB中,/PBD=30。,8P=200米，可得PD=IOO米.所以可得PO203米.

【详解】解：如图所示：过点8作BEJ_AC,垂足为点E.

在RMABE中，^BAE=20°,A8=300米，

BE

：.sinZBAE=—,即8E=A8xsinN&4E=30()x0.342=103米.

在中，NPB庆30。，8P=200米,

PD=；BP=；x200=100米.

,:BDLPC,BE±AC,

：./BDC=NC=^BEC=90°.

四边形CE8。是矩形.

ACD-BE-103米，

\'PC=PD+CD,

：.PC=PD+BE=100+103~203米.

...垂直高度PC为203米.

【点睛】本题考查了利用三角函数(正弦)解直角三角形、解含30。角的直角三角形、

矩形的性质及判定.过点8作BELAC,垂足为点E,构造出直角三角形和矩形是解本

题的关键.

20.如图，己知A8是。。的直径，AC和BC分别交O于。、E两点，AE与8£＞相

交于点P,连接。E.

(1)若AB=AC,求证：DE=BE;

(2)若点。是半圆A8的中点，求证：

MAPDWBCD；

@AE=-J1DE+BE.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析，②见解析

【分析】(1)由圆周角定理得NAEB=90。，则AE_1.BC,由等腰二角形的性质得AE平

分NBAC,根据圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；

(2)①连接。。，若点。是半圆AB的中点，则N4QD=9(r,由圆周角定理得

ZABD=45°,NDAP=NDBC,ZADB=NBDC=90°,可得同。=双)，根据ASA即可

得Z^APD乌△BCD；

②过点。作DE交AE于尸，由圆周角定理得NAE£)=NABO=45。，可得

EF=6DE，利用ASA证明△/!")四二8£0,可得跳：=AF,即可得出结论.

【详解】(1)证明：A3是,。的直径，

・・.ZA£B=90。，

/.AE1BC,

AB=AC,

.•.隹平分/以。，

：,DE=BE，

/.DE=BE；

(2)解：①连接OO,

点。是半圆AB的中点，

:.ZAOD=90°,

:.ZABD=-^AOD=45°,

2

/W是C。的直径，

:.ZADB=/BDC=90。,

/.ZBA£>=ZABD=45°,

AD=BD，

ZDAP=ZDBC,

A叨注，88(ASA)；

②过点。作WJLDE交AE于尸，

C

D

ZAED=ZABD=45°,

二。所是等腰直角三角形,

EF=-J2DE，

ZADB=NEDF=90P,

ZADB-ZPDF=ZEDF-ZPDF,

:.ZADF=ZBDE,

NDAP=NDBC,AD=BD,

:^AFD^^BEDCASA),

:.BE=AF,

:.AE=EF+AF=yf2DE+BE-

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的性质、圆心角，弧，弦的关系、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定

理、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键.

六、(本题满分12分)

21.电影《长津湖》和《水门桥》是两部聚焦抗美援朝历史的影片，从观看过这两部电

影的学生中各随机抽取了20名学生进行调查，让他们给这两部电影评分，下列图表是

调查中的部分信息.

《长津湖》得分情况条形统计图《水门桥》得分情况扇形统计图

(1)电影《长津湖》得分的中位数和众数分别是多少？

(2)电影《水门桥》得分的平均数是多少？

（3）若该校有200名学生观看过这两部影片，且他们都对这两部作品进行评分，你认为这

两部作品一共可以得到多少个满分？

【答案】（1）中位数是8.5,众数是9

（2）8.5

（3）110个

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可作答.中位数：按顺序排列的一组数据中居

于中间位置的数；众数：出现次数最多的数；

（2）先求出《水门桥》10分所占的百分比，在用每种分数分别乘以所占的百分比，所

得的结果相加就是得分的平均数：

（3）分别求出为两部电影评分满分的人数，再分别乘以养，所得的结果相加即可.

（1）•••一共抽查了20个人，，中位数等于第十个和第十一个学生评分的平均数：由图

可知，第十个人评分8分，第十一个人平分9分；.•.中位数=豫=8.5：由图可知，评

分为9分的人数最多；.•.众数是9

（2）评分为10分的人数所占百分比=1-10%-20%-15%-20%=35%=0.35,平均数=

0.1x6+0.2x7+0.15x8+0.2x9+0.35x10=8.5,答：电影《水门桥》得分的平均数是

8.5；

（3）抽出的20人中，《长津湖》得到满分的有4个，《水门桥》得到满分的有20x0.35=7

200

（个），所以4x元+7x^=40+70=110（个）.答：这两部作品一共可以得到110

个满分.

【点睛】本题主要考查了统计相关的知识，熟练地掌握中位数和众数的定义、加权平均

数的求法以及用样本估计总体是解题的关键.

七、（本题满分12分）

22.如图所示抛物线y=ax2+bx+c由抛物线y=x2-x+1沿对称轴向下平移3个单位得

到，与x轴交于A、B两点（4在B的左侧），与），轴交于C,直线过B、C两

点.

C

⑴写出平移后的新抛物线产a/+bx+c的解析式；并写出"2+公+，＞b+〃时x的取值

范围.

(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC,并把APOC沿CO翻折，得

到四边形POPC,那么是否存在点尸，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点P运动到什么位置时，APBC的面积最大？求此时点P的坐标和APBC的最大面

积.

【答案】(1»=，-『2

(2)存在，点尸的坐标为(小5,-1)

2

(3)P点的坐标为(1,-2),APSC的最大面积为1

【分析】(1)由图象平移的性质即可求解；

(2)当四边形FOPC为菱形，则点尸在OC的中垂线上，进而求解.

(3)过点尸作y轴的平行线与BC交于点。，设P(x,X2-X-2),先求出8、C的坐标，

根据SPBC=S梯形PCOD+SPBD-S8OC列出》的二次函数解析式，根据二次函数的性质

求出满足条件的P点坐标以及面积最大值.

【详解】⑴解:由图象平移的性质得:广洋-x+l-3=/*2；

(2)解：存在，理由：如图，

对于y=x2-x-2,令x=0,则y=2,

故点C的坐标为(0,-2),即0c=2,

当四边形POP'C为菱形，则点P在OC的中垂线上，

则点P的纵坐标为-gxOC=-l,

当产-I时，即)，=/上2=-1,解得广匕且或4上避(不符合题意，舍去),

22

则点P的坐标为(出5,-1).

2

(3)解：过点P作y轴的平行线与BC交于点。，

设P(X,X2-X-2),

,：点P是直线BC下方的抛物线上一动点,

:.PD=-x1+x+2,

对于抛物线产i工2,

当y=0时，X2-X-2=0,

解得：x,=-i,2