人教版八年级数学下册第17章【 勾股定理】单元测试卷(二)含答案与解析

人教版八年级数学下册第17章单元测试卷（二）

勾股定理

学校：姓名:考号：分数：

（考试时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.在△ABC中，NACB=90。，AC=40,CB=9,M、N在AB上且AM=AC,BN=BC,则

MN的长为（）

A.6B.7C.8D.9

2.如图，AE,AD分别是A3c的高和角平分线，ZB=30°,ZC=70°,则ND钻的

度数为（）

3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,垂足为E,AB=20，AC=4,

BD=8,则点D到线段BC的距离为（）

4.如图，矩形及G”的四个顶点分别在矩形A8C。的各条边上，AB=EF，FG=3,

GC=4.有以下四个结论:①NBGF=4CHG；②ABFGHDHE；③tanNBFG=—；

3

④矩形EEGH的面积是9a.其中正确的结论为（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

5.如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长

为20,BD为24,则四边形ABCD的面积为（）

A.24B.36C.72D.144

6.如图，在四边形ABCD中，如果AD〃BC,AE//CF,BE=DF,那么下列等式中错误的是

C.ZBAE=ZDCFD.NABE=NEBC

7.如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上，过点E作EF_LAD,垂足为F,若EF=BE,

则下列结论中正确的是（）

A.EF是NAED的平分线B.DE是/FDC的平分线

C.AE是NBAF的平分线D.EA是/BED的平分线

8.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,

折痕为PQ,则PQ的长为(）

A.12B.13C.14D.15

9.如图，。。的直径A3与弦CD交于点，AE=6,BE=2,CD=2屈,则NAEO的度数是

A.30°B.60°C.45°D.36°

10.在平面直角坐标系中，己知直线j=—；x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)

是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是()

3

A.(0,-)B.(0,-)C.(0,3)D.(0,4)

43

11.如图，0尸=1,过点P作尸P|J_OP,且PP1=1,得OP=0；再过点Pi作P1P2J_OP1

且P1P2=1,得OP2=G；又过点P2作P#3,OP2且P2P3=1,得0「3=2……依此法继续

作下去，得。。2018的值为()

A.42016B.V2017C.42018D.42019

12.如图，已知AB〃CD,NA=60。，NC=25。，则/E等于（）

A.60°B,25°C.35°D.45°

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.如图，在RSABC中，ZACB=90°,NA=30。，CD是斜边AB上的高，若AB=8,

则BD=.

14.将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米，则梯子的

底端到墙的底端的距离为.

15.如图所示，把长方形纸片ABCO沿E尸折叠后，点。与点8重合，点C落在点C的位

置上若Nl=60"，AE=\.则长方形纸片ABC。的面积为

16.如图，将一矩形纸片ABC。沿着虚线E尸剪成两个全等的四边形纸片.根据图中标示的

长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是

17.如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①，②，③，④，…）组成了一个螺旋形,

其中第1个三角形的直角边长为1,则第n个等腰直角三角形的面积为

18.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90。后，得到矩形AB，CD,若CD=2,DA=2,

那么CC'=.

三、解答题(本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.如图，四边形ABCC中，AB〃CD,AC与8。相交于点O,AO=CO.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形;

(2)若AC_LBD,AB=10,求BC的长.

20.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2,

火柴盒的一个侧面A8CO倒下到AEFG的位置，连结CF,AB=a,BC=b,AC=c.

(1)请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；

(2)请利用直角梯形3CFG的面积证明勾股定理：a2+h2=c2.

3

21.如图，一次函数丫=丘+方的图象与直线交于点4(4,3),与y轴交于点3,且

OA=OB.

（1）求一次函数的表达式；

（2）求两直线与y轴围成的三角形的面积.

（3）在X轴上是否存在点。，使△心是以Q4为腰的等腰三角形，若存在，直接写出。

的坐标；若不存在，说明理由.

22.如图，一棵高32团的大树在一次暴风雨中被刮断，树顶。落在离树根5点16〃，处.研

究人员要查看断痕A处的情况，在离树根5根的。处竖起一架梯子AD，请问这架梯子的

长是多少？

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线¥=⑪2+区+£?的图象与犬轴交于43两点（点4

在点8的左边），与y轴交于点C,点A的坐标为（-1,0），抛物线顶点。的坐标为

直线与对称轴相交于点E.

备用图1备用图2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点”为直线％=1右方抛物线上的一点（点M不与点8重合），设点M的横坐标为机,

记A、B、aM四点所构成的四边形面积为S,若S=3SASCD，请求出机的值；

（3）点尸是线段3。上的动点，将△/郎沿边EP翻折得到AD'EP，是否存在点尸，使

得AD'EP与ABEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存

在，请说明理由.

24.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A8,其中AB=AC,

由于某种原因，由。到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取

水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH,测得CB=1.5千米，CH=1.2千

米，"8=0.9千米.

（1）问C”是否为从村庄。到河边的最近路.请通过计算加以说明；

（2）求新路C"比原路C4少多少千米.

参考答案与解析

二、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

1.在AABC中，/ACB=90。，AC=40,CB=9,M、N在AB上且AM=AC,BN=BC,则

MN的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

NACB=90。，AC=40,CB=9

AB=+BC2="02+92=41

又AM=AC,BN=BC

，AM=40,BN=9

BM=AB-AM=41-40=1

MN=BN-BM=9-1=8

故选C

2.如图，AE,AD分别是ABC的高和角平分线，NB=30°，NC=70。，则NZME的

度数为（）

A.40°B.20°C.10°D.30°

【答案】B

W：VZB=30°-NC=70。，AEXBC,

.../BAC=80°,NAEB=90°,

；AD平分NBAC,

.-.ZBAD=ZCAD=4O0,

在AAEB中，ZAEB+ZB+ZBAE=180°,

ZBAE=60°,

/.ZEAD=ZBAE-ZBAD=60°-40°=20°；

故选B.

3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,垂足为E,AB=20，AC=4,

BD=8,则点D到线段BC的距离为（）

ACB3c2后D4⑨

M.yjJD•J--------------U.，

77

【答案】D

解：•；AC=4,BD=8,四边形ABCD是平行四边形，

.e.AO=-AC=2,BO=-BD=4,

22

：AB=2G，

.\AB2+AO2=BO2,

.'.ZBAC=90°,

・・•在R3AC中，BC=yjAB2+AC2=J（2>/3）2+42=2币,

c11

S,BAC——xABxAC——xBCxAE,

22

2Gx4=2V7AE,

.•.AE』，

7

即点D到BC的距离为生旦，

7

故选：D.

4.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABC。的各条边上，AB=EF，FG=3,

GC=4.有以下四个结论:①ABGF=/CHG；②ABFG玛ADHE；③tanZBFG=-；

3

④矩形EEGH的面积是9夜.其中正确的结论为（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】c

解：♦.•/FGH=90°,

•,.ZBGF+ZCGH=90°,

又•.•NCGH+NCHGug。。，

AZBGF=ZCHG,故①正确；

同理可得/DEH=/CHG,

•,.ZBGF=ZDEH,

XVZB=ZD=90°,FG=EH,

在aBFG和4DHE中，

-NB=ND

<NBGF=NDEH,

FG=EH

.,.△BFG^ADHE(AAS),故②正确;

同理可得△AFEZ/XCHG,

.♦.AF=CH,

由NBGF=/CHG,NB=NC=90。，

可得△BFGs/^CGH,

设GH=EF=a,

.BFFG

••=,

CGGH

.BF_3

••二,

4a

.'.AF=AB-BF=a--,

a

12

.,.CH=AF=a-—,

a

在RtZ\CGH中，

'/CG2+CH2=GH2,

「L

.'.42+(a-12-)2二层，解得a=3板或一3五(舍)，

a

GH=3\/2，

*<*BF=—=272，

a

在RtZ\BFG中，

BG=VFG2-BF2=1，

16

AtanZBFG=------=——产，故③错误；

BF2724

矩形EFGH的面枳=FGxGH=3x3&=9五，故④正确.

故选C.

5.如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长

为20,BD为24,则四边形ABCD的面积为（）

【答案】C

AACIBD,AO=OC,EO=OF,

又；点E、F为线段BD的两个三等分点,

；.BE=FD,

••.BO=OD,

,/AO=OC,

•••四边形ABCD为平行四边形，

VAC1BD,

四边形ABCD为菱形；

•.•四边形AECF为菱形，且周长为20,

；.AE=5,

•；BD=24,点E、F为线段BD的两个三等分点，

11

；.EF=8,OE=-EF=-x8=4,

22

2222

由勾股定理得，AO=y]AE-OE=75-4=3,

，AC=2AO=2x3=6,

.11

••sABCD—■-BD・AC=-x24x6=72；

22

故选：C.

6.如图，在四边形ABCD中，如果AD〃BC,AE//CF,BE=DF,那么下列等式中错误的是

A.NDAE=NBCFB.AB=CDC.ZBAE=ZDCF.ZABE=ZEBC

【答案】D

VAD//BC,AE//CF

・・・ZAED=ZCFB,ZDBC=ZADB

VBE=DF

・・・BE+EF=DF+EF

即BF=ED

AAAED^CFB(ASA)

AZDAE=ZBCF

故A选项正确；

VAAED^CFB

AAE=CF

VZAEB+ZAED=180°,ZCFB+ZDFC=180°,ZAED=ZCFB

AZAEB=ZDFC

又・・,BE=FD

.'.△ABE^ACDF(SAS)

AAB=CD,ZBAE=ZDCF

故B、C选项正确；

故选D

7.如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上，过点E作EFLAD,垂足为F,若EF=BE,

则下列结论中正确的是()

B\/

A.EF是/AED的平分线B.DE是NFDC的平分线

C.AE是/BAF的平分线D.EA是/BED的平分线

【答案】C

【解析】

试题解析：；四边形ABCD是长方形，

.\BE±AB

'：EF±AD,且EF=BE

是/BAF的角平分线

故选C.

8.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,

折痕为PQ，则PQ的长为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【解析】

过点P作PMJ_BC于点M,

由折叠得到PQ±AE,

.•.ZDAE+ZAPQ=90°,

又NDAE+NAED=90。,

.*.ZAED=ZAPQ,

：AD〃BC,

；./APQ=NPQM,

则NPQM=/APQ=/AED,ZD=ZPMQ,PM=AD

••.△PQM^AADE

.•.PQ=AE=j52+]22=3

9.如图，。。的直径AB与弦CO交于点，AE=6,BE=2,C22国,则/AEC的度数是

（）

B.60°C.45°D.36°

【答案】C

【解析】

.-.DH=CH=-CD（垂径定理.）；

2

・・・CD=2日，

.•.DH-V14

XVAE=6,BE=2,

.,.AB=8,

/.OA=OD=4（OO的半径）;

.\OE=2：

...在R3ODH中，OH=Jo。?_DH?=%-]4=8（勾股定理）;

,qOHJ2

在RlAOEH中，sin/OEH=—=—,

OE2

.,•ZOEHM50,

即/AED=45°.

故选C.

10.在平面直角坐标系中，已知直线j=—；x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)

是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是()

34

A.(0,-)B.(0,-)C.(0,3)D.(0,4)

43

【答案】B

【解析】

过C作CD_LAB「「D,如图，对于直线y=-；x+3,令x=0,得y=3；令y=0,x=4,

；.A(4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3,；.AB=5,

又♦.•坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，...AC平分/OAB,.“。=(：05,则

BC=3-n,

ADA=OA=4,DB=5-4=1,在RSBCD中，DC2+BD2=BC2,：.n2+l2=(3-n)2,解得n==,

...点C的坐标为(0,j).故选B.

11.如图，。尸=1,过点尸作PPiJ_OP,且PP=1,得OPi=g;再过点Pi作PIP2J_OPI

且产砂2=1,得OP2=&；又过点P2作P2P3J_OP2且P2P3=1,得023=2……依此法继续

作下去，得OP20I8的值为()

p、

p.p、

p

p

A.V2016B.5/2017C.V2018D.V2019

【答案】D

【解析】

；OP=1,OPI=72

0P2=百，OP3="=2,

，OP4=6

OP20I8=(2019・

故选D

12.如图，已知AB〃CD,ZA=60°,ZC=25°,则NE等于（）

B.25°C.35°D.45°

【答案】C

【详解】

设AE和CD相交于M点

VAB/7CD,NA=60°

.".ZAMD=120°

，ZCME=120°

,/ZC=25°

NE=35°

故选C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.如图，在RSABC中，NACB=90。，/A=30。，CD是斜边AB上的高，若AB=8,则

BD=.

B

【答案】2

解：由题，在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=8,

BC=—AB=4,

2

VCD是斜边AB上的高，

.,.ZADC=ZBDC=90°,

ZACD=60°,

ZDCB=30°,

在RsBDC中，ZDCB=30°,

I

；.BD=—BC=2.

2

故答案为：2.

14.将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到梯子的底端的距离为6米，则梯子的

底端到墙的底端的距离为.

【答案】8米.

【解析】

在RtzMBC中，AB^AC+BC1.

228

米，AC=6米，Z.BC=SJAB-AC=*'即梯子的底端到墙的底端的距离为8

米.

故答案为8米.

15.如图所示，把长方形纸片ABC。沿EF折叠后，点。与点B重合，点C落在点C'的位

置上若Nl=60"，AE=\.则长方形纸片A8CD的面积为

【答案】3G

由折叠的性质可知，ED=BE,42=NBEF

AD//BC

.-.Z2=Z1=6O°

二N3=180。一ZBEF-N2=60°

/BAE=90。

:.ZABE=90°-ZAEB=30°

AE=1

:.BE=2AE=2

:.AB=NB炉-AE。=△

:.AD^AE+ED^AE+BE^3

，长方形纸片ABCO的面积为AZ)AB=3乂下)=30

故答案为：36.

16.如图，将一矩形纸片A8CC沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片.根据图中标示的

长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是

解：过尸作尸QJMC于。，则NFQE=90°,

•.•四边形48co是长方形，

ZA=Z5=90°,AB=QC=4,AD//BC,

四边形AM。是矩形，

：.AB=FQ=DC=4,

•：AD//BC,

.../QEF=N8FE=45°,

:.EQ=FQ=4,

：.AE=CF=-x(10-4)=3,

2

17.如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①，②，③，④，…）组成了一个螺旋形,

其中第1个三角形的直角边长为1,则第n个等腰直角三角形的面积为

【答案】2n-2

解：第①个直角三角形的边长为1=（J5）°,

第②个直角三角形的边长为J5=（J5）1

第③个直角•:角形的边长为2=（、历）2,

第④个直角三角形的边长为20=（血）3,

第n个直角三角形的边长为（

面积为：（0）n-lx（72）n-|=2n-2.

故答案为2"-2

18.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90。后，得到矩形ABCTT,若CD=2,DA=2,

那么CC*=.

【答案】4

解：VCD=2,DA=2,

,根据矩形的性质可得AC=亚百=2及，

由旋转的性质可得：AC=AC=y[2,NC4C'=90°，

二CC=yjAC2+AC'2=J（2⑹2+（20『=4，

故答案为4.

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明'演算步骤或推理过程）

19.如图，四边形ABCD中，AB^CD,AC与8。相交于点O,AO=CO.

（1）求证：四边形A8CO是平行四边形;

(2)若AC_LBD,AB=10,求5c的长.

【答案】（1）详见解析；（2）10

（1）证明：

ZDCO=ZBAO，

ZDCO=ZBAO

在\DCO和ABAO中，CO=AO,

ZDOC=NBOA

：.NDCO^NBAO（ASA）,

，AB=CD,

；AB〃CD,

/.四边形ABC。足平行四边形；

（2）解：•由勾股定理得：BC2=CO2+OB2>AB2AO2+OB2^

又；AO=CO,

•••AB2=BC2，

AB=BC<

VAB=10,

BC=AB=XQ.

20.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图2,

火柴盒的一个侧面488倒下到AE尸G的位置，连结C凡AB=a,BC=b,AC=c.

（1）请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理；

（2）请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：a2+h2=c2.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析

解：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,

即：AC2+BC2=AB2

(I)RtAABC岭RtAFGA，

：.ZFAG=ZACB.

乂NAC8+NCAB=90,

ZFAG+ZCAB=90.

NE4c=90°.

S梯形bCFG=SRLBC+SRLCF+SRMFG»

一(ci+b)(a+b)——ah-\—abH—c~.

2222

整理,得理+从"2.

21.如图，一次函数丫="+6的图象与直线y=jx交于点A(4,3),与＞轴交于点3,且

OA=OB.

(1)求一次函数的表达式；

(2)求两直线与y轴围成的三角形的面积.

(3)在X轴上是否存在点C,使△43是以。4为腰的等腰三角形，若存在，直接写出C

的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)y=2x-5：(2)10；(3)存在，符合条件点C的坐标为(-5,0),(5,0)或(8,

0).

解：(1)VA(4,3),.,.OA=5=OB,

，B点坐标为(0,-5),

4k+b=3k=2

把A、B坐标代入y=kx+b可得«-5，解得

b=-5

一次函数解析式为：y=2x-5；

(2)VA(4,3),OB=5,

1

/.SAAOB=-X4X5=10,

2

即两直线与y轴围成的三角形的面积为10；

(3)存在.理由如下：分以下三种情况求解：

①当OA=OC且点C在x轴负半轴时，如图点Ci所示,

此时点Ci的坐标为(-5,0)；

②当OA=OC且点C在x轴正半轴，如图点C2所示，

此时点C2的坐标为(5,0)；

③当OA=AC时，如图点C3所示，

过点A作AD±x轴于点D,则有

OD=C3D=4,

.•.008,

此时C3的坐标为(8,0).

22.如图，一棵高32加的大树在一次暴风雨中被刮断，树顶。落在离树根5点16m处.研

究人员要查看断痕A处的情况，在离树根5根的。处竖起一架梯子AD，请问这架梯子的

长是多少？

【答案】这个梯子AO的长13米

【解析】

设折断处48=无，则4。=32—无

由勾股定理知

X2+162=（32-X）2

解得x=12

，AB=12米，8。=5米，AC=20米

根据勾股定理得

AD=\IAB2+BD2

=V122+52

=13

答：这个梯子A。的长13米.

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=av2+/zx+c的图象与x轴交于A8两点（点A

在点3的左边），与y轴交于点。，点A的坐标为（一1,0），抛物线顶点。的坐标为（I,Y）,

直线8c与对称轴相交于点E.

（1）求抛物线的解析式;

（2）点/为直线％=1右方抛物线上的一点（点/不与点3重合），设点M的横坐标为〃？，

记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S,若S=3SAB°，请求出m的值；

（3）点P是线段3。上的动点，将△/郎沿边EP翻折得到是否存在点P,使

得△£>'£/>与ABEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出8P的长，若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）y=f-2》一3；（2）（红鸟，1）或（2,-3）；（3）竽或石+1或半一半

解：（1）•.•抛物线的顶点。的坐标为（1,-4）,

―1,BPb=-2a,

2a

，抛物线的解析式为y=ax2-2ax+c，

将点A和点D坐标代入,

0=。+2。+ca=l

，解得：,

Y=Q—2。+c

：.b=-2,

・•・抛物线的解析式为y=Y-2x-3；

(2)令y=Y-2工-3二0,

解得：x=・l或3,

AB(3,0),

令x=0,贝i」y=-3,

AC(0,-3),设BC的表达式为y=px+q,

0=3p+qP=1

则《/,解得：＜

T=qq=-3

：.直线BC的解析式为y=x-3,

设M(tn,nr-2m-3),

当x=l时，y=x-3=-3,则石(1,-2),

=SgDE+SACOE=gX3X(-2+4)=3，

当点M在X轴上方时，即相＞3,如图1,

22

S=S^AB+^ACAB=—•3•(34-1)+—•(3+1)-(m—2m-3)=2m—4m,

S—3SWCD»

二2nr-4m=9,

解得叫=21普，七式（舍去）,

.•.M点坐标为J卡产,I）；

图1

当点M在x轴下方时，即1＜小＜3，如图2,连结OM,

]]]39

0

S=SMOC+S〉8M+S&WO8=-3*l+—-3/n+--3-(-m~+2m+3)=--nr+—m+6,

乙乙乙乙乙

S=3sli^CD，

3,9…

——w+—m+6=9,

22

解得叫=1(舍去)，？=2,

点坐标为(2,-3),

(3)存在.直线x=l交无轴于F,60="彳=2石，

①如图3,EPLDBTP,△£)£「沿边EP翻折得到△〃£/),

ZEDP=ZBDF，

RtADEP^RtADBF，

DPDEDP_246

.'.而=就即