群、环、域的基本概念与性质

群、环、域的基本概念与性质汇报人：XX2024-01-29群的基本概念与性质环的基本概念与性质域的基本概念与性质群、环、域之间的关系群、环、域的应用举例contents目录01群的基本概念与性质群是一种代数结构，由一个非空集合和该集合上的一个二元运算构成，满足封闭性、结合律、有单位元和存在逆元四个基本性质。群通常用大写字母表示，如$G$，而群中的元素用小写字母表示，如$a,b,cinG$。群的二元运算通常用符号“$cdot$”或“$+$”表示，如无特别说明，一般认为群的运算是满足交换律的。群的定义及表示方法对于任意两个元素$a,binG$，它们的运算结果仍在$G$中，即$acdotbinG$。封闭性结合律单位元逆元对于任意三个元素$a,b,cinG$，有$(acdotb)cdotc=acdot(bcdotc)$。存在唯一元素$einG$，使得对于任意元素$ainG$，有$ecdota=acdote=a$。对于任意元素$ainG$，存在唯一元素$binG$，使得$acdotb=bcdota=e$，称$b$为$a$的逆元。群的运算性质子群与陪集设$H$是群$G$的一个非空子集，如果$H$关于$G$的运算也构成群，则称$H$是$G$的子群。陪集设$H$是群$G$的一个子群，对于任意元素$ainG$，称集合${ah|hinH}$为$H$的一个左陪集，称集合${ha|hinH}$为$H$的一个右陪集。陪集的性质左陪集和右陪集都是群$G$的子集，且对于任意两个左陪集或右陪集，它们要么相等要么不相交。子群群的同态设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:GtoH$，使得对于任意两个元素$a,binG$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。群的同构如果同态映射$varphi:GtoH$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。同态核设$varphi:GtoH$是一个同态映射，称集合${ainG|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核，记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规子群。群的同态与同构02环的基本概念与性质123环是一种具有两种二元运算的代数结构，通常表示为$(R,+,*)$，其中$R$是一个非空集合，$+$和$*$分别是$R$上的两种二元运算。环中的元素对加法构成阿贝尔群，即满足交换律、结合律、存在零元、存在逆元。环中的元素对乘法满足结合律，且乘法对加法满足分配律。环的定义及表示方法对于任意$a,binR$，有$a*binR$。乘法封闭性对于任意$a,b,cinR$，有$(a*b)*c=a*(b*c)$。乘法结合律对于任意$a,b,cinR$，有$a*(b+c)=a*b+a*c$和$(a+b)*c=a*c+b*c$。乘法对加法的分配律存在$1inR$，使得对于任意$ainR$，有$1*a=a*1=a$。存在乘法单位元环的运算性质设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。子环设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对于任意$rinR$和任意$iinI$，有$r*iinI$和$i*rinI$，则称$I$是环$R$的理想。理想设$I$是环$R$的理想，定义集合$R/I={r+I|rinR}$，其中$r+I={r+i|iinI}$。在集合$R/I$上定义加法和乘法运算，使其构成环，称为环$R$关于理想$I$的商环。商环子环、理想与商环环的同态与同构设$(R_1,+_1,*_1)$和$(R_2,+_2,*_2)$是两个环，若存在映射$varphi:R_1rightarrowR_2$，使得对于任意$a,binR_1$，有$varphi(a+_1b)=varphi(a)+_2varphi(b)$和$varphi(a*_1b)=varphi(a)*_2varphi(b)$，则称$varphi$是环同态。环同态若环同态$varphi:R_1rightarrowR_2$既是单射又是满射，则称$varphi$是环同构。此时称环$(R_1,+_1,*_1)$与$(R_2,+_2,*_2)$同构。环同构03域的基本概念与性质域是一种特殊的环，满足乘法交换律和乘法消去律。域中的元素关于加法和乘法构成阿贝尔群，且乘法对加法满足分配律。通常用大写字母F,K等表示域，域中的元素用小写字母a,b,c等表示。域的定义及表示方法加法交换律和结合律对于任意a,b,c∈F，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。乘法交换律和结合律对于任意a,b,c∈F，有ab=ba，(ab)c=a(bc)。分配律对于任意a,b,c∈F，有a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。乘法消去律对于任意a,b∈F，若ab=0，则a=0或b=0。域的运算性质子域设F是一个域，S是F的一个非空子集。如果S关于F中的加法和乘法也构成一个域，则称S是F的一个子域。扩域设K是F的一个扩域，即K包含F作为一个子域。如果K中的元素都是F上的代数元，则称K是F的一个代数扩域；否则，称K是F的一个超越扩域。子域与扩域同态设F和K是两个域，如果存在一个从F到K的映射σ，使得对于任意a,b∈F，有σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)，则称σ是从F到K的一个同态映射。同构如果同态映射σ既是单射又是满射，则称σ是从F到K的一个同构映射，此时称F和K是同构的。同构的域具有相同的代数性质。域的同态与同构04群、环、域之间的关系联系群和环都是代数结构，都可以在其上定义加法和乘法运算。环中的加法运算构成一个群。区别群只要求有一种运算满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元，而环则要求有两种运算（加法和乘法），并且乘法运算不要求有逆元，但要满足分配律。群与环的联系与区别环与域的联系与区别联系环和域都是代数结构，都可以在其上定义加法和乘法运算。域是一种特殊的环，其中的非零元素都有乘法逆元。区别环中的元素不一定都有乘法逆元，而域中的非零元素都有乘法逆元。此外，域中的乘法运算满足交换律，而环则不一定。03环和域是研究数论、代数几何、代数拓扑等领域的基础工具，对于理解数学结构和解决实际问题具有重要意义。01群、环、域是代数结构中的基本概念，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。02群论是研究对称性和变换的重要工具，在密码学、图论、量子力学等领域有重要应用。群、环、域在代数结构中的地位05群、环、域的应用举例利用群中的可逆运算，如置换群，设计对称加密算法。对称加密非对称加密密钥交换基于群论中的离散对数问题，构造如RSA等非对称加密算法。利用群的性质，实现Diffie-Hellman等密钥交换协议。030201群在密码学中的应用环上的线性空间与线性码密切相关，可用于纠错编码。线性码利用环中的循环结构，构造具有优良性质的循环码。循环码通过环的同态映射，将复杂编码问题转化为简单环上的编码问题。环的同态与编码环