上海市南模中学2024届高二数学第二学期期末监测试题含解析

上海市南模中学2024届高二数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的定义城是（）A． B． C． D．2．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，246则（）A． B． C． D．3．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，4．已知向量，，若与垂直，则（）A．2 B．3 C． D．5．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．6．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．7．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．8．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直分别为直角三角形的斜边，直角边，.若，，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）（）A． B．C． D．9．复数（为虚数单位）的虚部是（）．A． B． C． D．10．在二项式的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（）A． B． C． D．11．设函数fx=x3+a-1x2A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x12．从，，中任取个不同的数字，从，，中任取个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则的值为___.14．不等式的解集是_________.15．某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.16．若，其中都是实数，是虚数单位，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.（1）求函数在区间上的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的最大值.18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.19．（12分）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，求的值．20．（12分）已知函数f(x)=x(1)判断并证明f(x)在[0,1(2)若x∈[-1,2]，求21．（12分）已知数列，，，，，，记数列的前项和．1计算，，，；2猜想的表达式，并用数学归纳法证明．22．（10分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据对数的真数大于零这一原则得出关于的不等式，解出可得出函数的定义域．【题目详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，故选C．【题目点拨】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为”，考查计算能力，属于基础题．2、A【解题分析】

根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.【题目详解】由，得.则，故选A.【题目点拨】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．3、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．4、B【解题分析】分析：先求出的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x，再求即可.详解：由题可得：故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x是解题关键，属于基础题.5、A【解题分析】

由三角函数的定义可求出的值.【题目详解】由三角函数的定义可得，故选A.【题目点拨】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

通过cosA=sinB=1【题目详解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【题目点拨】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.7、B【解题分析】

先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【题目详解】为偶函数，舍去A;当时,舍去C；当时,舍去D；故选：B【题目点拨】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.8、D【解题分析】

首先计算出图形的总面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型的概率计算公式计算可得.【题目详解】解：因为直角三角形的斜边为，，，所以，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为，以为直径的圆面积为.所以图形总面积，，所以.故选：【题目点拨】本题考查面积型几何概型的概率计算问题，属于基础题.9、A【解题分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部．【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选A．【题目点拨】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题．10、C【解题分析】

二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案．【题目详解】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，展开式系数为偶数的有，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有种取法，取出的2项中系数均为偶数的概率为故选：【题目点拨】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数．11、D【解题分析】

分析：利用奇函数偶次项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x012、A【解题分析】

根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【题目详解】选取的两个偶数不包含0时：选取的两个偶数包含0时：故共有96个偶数答案选A【题目点拨】本题考查了排列组合，将情况分类可以简化计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2或18【解题分析】

设出符合题意的抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程，解方程求得的值.【题目详解】抛物线的焦点为，对称轴为轴，，故可设符合题意的点的坐标为，代入抛物线方程得，解得或，负根舍去.【题目点拨】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.14、【解题分析】

由不等式得，所以，等价于，解之得所求不等式的解集.【题目详解】由不等式得，即，所以，此不等式等价于，解得或，所以不等式的解集是：，故填：.【题目点拨】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题.15、【解题分析】

根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都是，高为；半圆锥的底面是半径为的半圆，高为；据此计算出该几何体的体积.【题目详解】由三视图可知，三棱锥的体积：；半圆锥体积：，所以总体积为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.16、【解题分析】

首先进行复数的乘法运算，得到，的值，然后代入求解即可得到结果【题目详解】解得，故答案为【题目点拨】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）最大值为-1，最小值为（2）1【解题分析】

（1）先求出导函数，代入即可求得，于是可知函数在区间上的单调性，于是得到最值；（2）不等式可化为，分和两种情况讨论即得答案.【题目详解】（1）由，有，得，故则，令，得，故函数的增区间为，减区间为由，，，，得：故函数在区间上的最大值为-1，最小值为（2）不等式可化为令，则①当时，，函数在区间上单调递减，由，则当时，，此时不可能恒成立，不符合题意；②当时，函数的增区间为，减区间为，故有得，故令，则∴时，，时，∴在上是增函数，在上是减函数，∴∴当时，取最大值1【题目点拨】本题主要考查利用导函数求原函数的最值，利用导函数研究含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，转化能力，计算能力，分类讨论能力，难度较大.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：(1)由题意求得首项和公比，据此可得数列的通项公式为；(2)错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.19、（1）；（2）.【解题分析】

又，由此即可求出结果；（2）利用，和数量及的定义，代入得结果．【题目详解】解：又由问知．【题目点拨】本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用．20、(1)见解析，(2)[-1【解题分析】

(1)根据函数的单调性的定义证明即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的值域即可．【题目详解】解：(1)f(x)在[0,1任取0≤x1因为0≤x1<x2≤1，所以x1∴f(x1)-f(x2)<0，∴f(x)在∴f(x)在[0,1(2)∵x∈[-1,2又f(x)在[-1,2]上递增，在∴f(x)∴f(x)的值域为[-【题目点拨】本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的最值，是一道中档题．21、1，，，；2，证明见解析.【解题分析】

（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得S3，S1．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n＝1时，猜想成立；假设，则当n＝k+1时，由条件可得当n＝k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．【题目详解】

；；；；猜想．证明：当时，结论显然成立；假设当时，结论成立，即，则当时，，当时，结论也成立，综上可知，对任意，．由，知，等式对任意正整数都成立．【题目点拨】本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，证明n＝k+1时，是解题的难点．22、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）先求导，再对a分和两种情