2024届福建省龙岩市高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届福建省龙岩市高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数()有且仅有两个极值点()，则实数的取值范围是()A． B． C． D．2．设，向量，，且，则（）A． B． C． D．3．已知函数f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（）A． B．C． D．4．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.755．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角C．三棱锥的体积D．△的面积6．设，若是的等比中项，则的最小值为（）A．8 B． C．1 D．47．已知球是棱长为1的正方体的外接球，则平面截球所得的截面面积为()A． B． C． D．8．8张卡片上分别写有数字，从中随机取出2张，记事件“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则（）A． B． C． D．9．在10个篮球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为A． B． C． D．10．设数列的前项和为，若，，成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．11．使函数y＝xsinx＋cosx是增函数的区间可能是()A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)12．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.14．若命题：是真命题，则实数的取值范围是______．15．已知点在直线（为参数）上，点为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.16．已知，N*，满足，则所有数对的个数是____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线与椭圆有共同的焦点，过点的直线与抛物线交于两点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线的方程.18．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.19．（12分）某部门为了解人们对“延迟退休年龄政策”的支持度，随机调查了人，其中男性人.调查发现持不支持态度的有人，其中男性占.分析这个持不支持态度的样本的年龄和性别结构，绘制等高条形图如图所示.（1）在持不支持态度的人中，周岁及以上的男女比例是多少？（2）调查数据显示，个持支持态度的人中有人年龄在周岁以下.填写下面的列联表，问能否有的把握认为年龄是否在周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.参考公式及数据：，．20．（12分）某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．21．（12分）已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点是直线的一点，过点作曲线的切线，切点为，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

函数()有且仅有两个极值点，即为在上有两个不同的解，进而转化为两个图像的交点问题进行求解．【题目详解】解：因为函数()有且仅有两个极值点，所以在上有两个不同的解，即2ax＋ex＝0在上有两解，即直线y＝－2ax与函数y＝ex的图象有两个交点，设函数与函数的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数y＝ex的图象，因为则，所以，解得x0＝1，即切点为(1，e)，此时k＝e，由图象知直线与函数y＝ex的图象有两个交点时，有即－2a＞e，解得a＜，故选B.【题目点拨】本题考查了函数极值点的问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程根的问题，再通过数形结合的思想方法解决问题．2、B【解题分析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．3、C【解题分析】

令，化简得，构造函数，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得的的取值范围.【题目详解】有两个正整数解即有两个不同的正整数解，令，，故函数在区间和上递减，在上递增，画出图像如下图所示，要使恰有两个不同的正整数解等价于解得故，选C.【题目点拨】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4、B【解题分析】

因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率5、B【解题分析】

试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.6、D【解题分析】∵是的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．a＞2，b＞2．∴==2．当且仅当a=b=时取等号．故选D．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误7、D【解题分析】

根据正方体的特征，求出球的直径和球心O到平面的距离，求出截面圆的半径，即可得到面积.【题目详解】球是棱长为1的正方体的外接球，其体对角线就是球的直径，所以球的半径为，根据正方体的性质O到平面的距离为，所以平面截球所得的截面圆的半径为，所以其面积为.故选：D【题目点拨】此题考查求几何体外接球问题，根据几何特征求出外接球的半径，根据圆心到截面的距离求截面圆的半径，进而求解面积.8、C【解题分析】

利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可得出答案。【题目详解】事件为“所取张卡片上的数字之和为小于的偶数”，以为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、、、、，共个，由古典概型的概率公式可得，事件为“所取张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概型的概率公式可得，因此，，故选：C。【题目点拨】本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题。9、A【解题分析】

正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品两种情况，根据情况写出所有的组合数计算即可.【题目详解】正品数比次品数少，包括一正三次和全部是次品这两种情况为，总数为，所以概率为．选A.【题目点拨】本题考查概率问题，解题的关键是正确的求出所有可能的结果，属于基础题.10、B【解题分析】

因为成等差数列，所以，当时，；当时，，即，即，数列是首项，公比的等比数列，，故选B.11、C【解题分析】

求函数y＝xsinx＋cosx的导函数，根据导函数分析出它的单调增区间．【题目详解】由函数得，=．观察所给的四个选项中，均有，故仅需，结合余弦函数的图像可知，时有，所以答案选C．【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，这是解题关键．此题属于基础题．12、B【解题分析】

根据已知条件可以把转化为即为函数在为和对应两点连线的斜率，且，是分别为时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案.【题目详解】，是分别为时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为和对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，故选：B【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、200【解题分析】∵月考中理科数学成绩，统计结果显示，∴估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14、.【解题分析】试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.考点：1.全称命题；2.不等式恒成立15、【解题分析】

先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.【题目详解】由题得直线方程为，由题意，点到直线的距离，∴.故答案为：【题目点拨】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、4；【解题分析】

因为，即，所以，因为已知，N*，所以，，继而讨论可得结果．【题目详解】因为，即，所以，因为已知，N*，所以，，又，故有以下情况：若，得：，若得：，若得：，若得：，即的值共4个．【题目点拨】本题考查数论中的计数问题，是创新型问题，对综合能力的考查要求较高．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)抛物线的方程为;(Ⅱ)直线的方程为或.【解题分析】分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为,则,抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立直线方程与抛物线方程可得,结合韦达定理可得则,解得．直线的方程为或．详解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点坐标为,而抛物线与椭圆有共同的焦点，所以,解得，所以抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立,整理得,由题意,,所以或．则.则,.则又已知,所以,解得．所以直线的方程为或．化简得直线的方程为或．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18、（1）；（2）；（3）【解题分析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【题目详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上单调递增,即；②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,即.综上,(3)由题意可知,∵函数在上单调递增,故最小值为,函数在上单调递减,故最小值为,∴,解得.【题目点拨】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.19、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）先求出周岁及以上的男性和女性的人数，再将男性和女性人数相比可得出答案；（2）先列出列联表，并计算出的观测值，根据临界值表找出犯错误的概率，即可对题中结论判断正误．【题目详解】（1）由已知可得持不支持态度的人中有男性人，由等高条形图可知这个男性中年龄在周岁及以上的有人；持不支持态度的人中有女性人，由等高条形图可知这个女性中年龄在周岁及以上的有人；故所求在持不支持态度的人中，周岁及以上的男女比例是.（2）由已知可得以下列联表：周岁以下周岁及以上总计不支持支持总计计算得的观测值，所以有的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.【题目点拨】本题考查独立性检验，意在考查学生对独立性检验概率的理解和掌握情况，属于基础题．20、（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.【解题分析】

（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.【题目详解】（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时，；当时，；所以：；（2）当时，，当时有最大值；当时，，取等号时，即时，有最大值；且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.【题目点拨】本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后