2024届河南省南阳市南阳一中高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届河南省南阳市南阳一中高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若当时,函数取得最大值,则()A． B． C． D．2．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（）A．180种 B．150种 C．96种 D．114种4．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A．140种 B．80种 C．70种 D．35种5．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．6．直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（）A． B．10 C． D．68．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B．1 C．-1 D．9．已知，并且，则方差（）A．B．C．D．10．已知随机变量服从正态分布，则等于（）A． B． C． D．11．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知空间向量1，，，且，则A． B． C．1 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正方体ABCD-A1B1C1D14．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.15．已知随机变量的分布列如下，那么方差_____.01216．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数.（1）化简：；（2）如果，求实数的值.18．（12分）在极坐标系中，曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）.（1）求、的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于A、B两点，且定点P的坐标为，求的值.19．（12分）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时,记的极大值为,极小值为,求的取值范围.20．（12分）已知时，函数，对任意实数都有，且，当时，（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若且，求的取值范围.21．（12分）在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求此常数项是第几项；（2）求的范围.22．（10分）如图，四棱锥中，，，，，，.（1）求证：；（2）求钝二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

函数解析式提取5变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【题目详解】，其中,当，即时，取得最大值5,，则，故选B.【题目点拨】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.2、A【解题分析】

先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数，对函数求导，利用导数方法判断函数单调性，再结合图像，即可求出结果.【题目详解】由得，令，则，设，则，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上单调递减，在上单调递增；所以；又当时，，，作出函数图像如下：因为函数恰有两个零点，所以与有两不同交点，由图像可得：实数的取值范围是.故选A【题目点拨】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.3、D【解题分析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.4、C【解题分析】

按照选2台甲型1台乙型，或是1台甲型2台乙型，分别计算组合数.【题目详解】由题意可知可以选2台甲型1台乙型，有种方法，或是1台甲型2台乙型，有种方法，综上可知，共有30+40=70种方法.故选：C【题目点拨】本题考查组合的应用，分步，分类计算原理，重点考查分类讨论的思想，计算能力，属于基础题型.5、C【解题分析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【题目详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C【题目点拨】本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。6、B【解题分析】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设,则、、、、，，、，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【题目点拨】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.7、C【解题分析】

设，根据，可求得这些坐标间的关系，再结合两点在抛物线上，可求得，而，由此可得结论．【题目详解】设，则，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故选C．【题目点拨】本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题．掌握焦点弦长公式是解题基础：即对抛物线而言，，是抛物线的过焦点的弦，则．8、C【解题分析】试题分析：∵函数的导函数为，且满足，，∴，把代入可得，解得，故选C.考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则.9、A【解题分析】试题分析：由得考点：随机变量的期望10、D【解题分析】

根据正态分布的性质求解.【题目详解】因为随机变量服从正态分布，所以分布列关于对称，又所有概率和为1，所以.故选D.【题目点拨】本题考查正态分布的性质.11、A【解题分析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。详解：因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选A点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。12、C【解题分析】

利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【题目详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选C．【题目点拨】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60°【解题分析】

由正方体的性质可以知道：DC1//AB1,根据异面直线所成角的定义,可以知道∠B1AD1【题目详解】如图所示：连接AB1,因为DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案为60°【题目点拨】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.14、【解题分析】

函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，数形结合即可得到结果.【题目详解】函数有三个不同的零点等价于的图象与直线有三个不同交点，作出函数的图象：由图易得：故答案为【题目点拨】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．15、【解题分析】

由离散型随机变量的分布列的性质求出，然后求出，即可求出.【题目详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：，解得：，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查离散型随机变量方差的求法，是基础题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用.16、【解题分析】

每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.【题目详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.故答案为：.【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由复数z求出，然后代入复数ω＝z2+34化简求值即可；（2）把复数z代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简求值，再根据复数相等的定义列出方程组，从而解方程组可求得答案．【题目详解】（1）∵，∴,∴.（2）∵,∴解得：【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，考查了复数相等的定义，是基础题．18、（1），；（2）.【解题分析】

（1）由，，能求出曲线的直角坐标方程；曲线的参数方程消去参数，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）曲线的参数方程代入，得到，由此借助韦达定理即可求出的值.【题目详解】（1）曲线：，，曲线的直角坐标方程为.曲线的参数方程为（为参数）.曲线消去参数，得曲线的直角坐标方程为.（2）曲线的参数方程为（为参数）代入，得，即，，，.【题目点拨】参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有，，的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰；对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.19、（1）见解析（2）【解题分析】【试题分析】（1）先对函数求导得到，再对参数分两类进行讨论：时，恒成立，即恒成立，在区间上单调递增；时，有两根，记，则，由得，解得或，所以递增区间是，递减区间是；（2）先借助（1）的结论求出进而转化为求的值域，又，所以，然后构造函数，求导可得，即，所以当时，，即在时单调递减，由，当时，递减，又时，，时，，所以，所以，最后求出的取值范围是．解：（1）函数的定义域为，，（一）时，恒成立，即恒成立，在区间上单调递增；（二）时，有两根，记，则，由得，解得或，所以递增区间是，递减区间是．（2）当时，由（1）得，所以，又，所以，记，则，即，所以当时，，即在时单调递减，由，当时，递减，又时，，时，，所以，所以，所以的取值范围是．点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得到，再对参数分两类进行讨论：即分和两种情形进行讨论；（2）先借助（1）的结论求出进而转化为求的值域，又，所以，然后构造函数，运用导数与函数单调性的关系判定出函数单调性，进而得到，最后求出的取值范围是．20、(1)偶函数.(2)见解析.(3).【解题分析】

(1)利用赋值法得到，即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出，再解不等式.【题目详解】（1）令，则，，为偶函数.（2）设，，∵时，，∴，∴，故在上是增函数.（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【题目点拨】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明，考查函数的图像和性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等