河北省唐山市2024届数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

河北省唐山市2024届数学高二第二学期期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知tan=4,cot=,则tan（+）=（）A． B． C． D．2．若满足，则的最大值为()A．8 B．7 C．2 D．13．参数方程为参数表示什么曲线A．一个圆 B．一个半圆 C．一条射线 D．一条直线4．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l//m，l//n，则m//nB．若l⊥m，l⊥n，则m//nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//lD．若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面5．已知线段所在的直线与平面相交于点，且与平面所成的角为，，，为平面内的两个动点，且，，则，两点间的最小距离为（）A． B．1 C． D．6．设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，则实数a的值为()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或87．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C．60 D．728．曲线在处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．9．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．10．已知复数为虚数单位，是的共轭复数，则（）A． B． C． D．11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是（）A．12 B．24 C．48 D．5612．设，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，则________14．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．15．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段

人数

１

３

６

６

２

１

１

若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为分16．已知函数，，当时，这两个函数图象的交点个数为____个．（参考数值：）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）完成下列证明：（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：.18．（12分）已知函数，当时，函数有极大值8.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）求函数的单调区间.20．（12分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）21．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知的展开式中第项是常数项.（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

试题分析：由题意得，，故选B．考点：两角和的正切函数．2、B【解题分析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值．故选B．考点：简单的线性规划问题．3、C【解题分析】分析：消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形.详解：参数方程为参数，消去参数t，把参数方程化为普通方程，，即，它表示端点为的一条射线.故选：C.点睛：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范围，是基础题.4、A【解题分析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．5、D【解题分析】

过作面，垂足为，连结，得到点的运动轨迹，以为原点，建立空间直角坐标系，在中，利用余弦定理得到动点的轨迹方程，从而得到、两点间距离的最小值，再得到，两点间的最小距离.【题目详解】如图，过作面，垂足为，连结，根据题意，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动；以为原点与垂直的方向为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，因为为平面内动点，所以设在中，根据余弦定理可得即，整理得，平面内，点在曲线上运动，所以，所以当时，，即，所以，两点间的最小距离为.故选：D.【题目点拨】本题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值，考查求动点的轨迹方程，余弦定理解三角形，属于中档题.6、D【解题分析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.详解：由，且，又集合，实数的值为或，故选D.点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.7、D【解题分析】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．8、B【解题分析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角.详解：因为，所以所以曲线在处的切线的斜率为因此倾斜角是，选B.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.9、D【解题分析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【题目详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解题分析】，选C.11、C【解题分析】试题分析：根据题意可知，第组的频数为，前组的频率和为，所以抽取的学生总人数为，故选C.考点：频率分布直方图与频数．12、A【解题分析】

解析：当时，；当时，，故，应选答案A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先用同角三角函数平方和关系求出，再利用商关系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【题目详解】因为，，所以，.【题目点拨】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系，考查了二倍角的正切公式.14、60【解题分析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.15、80【解题分析】解：∵×20=4，∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分，故答案为8016、1．【解题分析】

原问题等价于函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．【题目详解】函数f（x）与函数g（x）的交点个数，即为﹣x2+8x＝6lnx+m的解的个数，亦即函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）的交点个数，，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，故当x∈（0，1）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，当x∈（1，1）时，y′＞0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递增，当x∈（1，+∞）时，y′＜0，此时函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx单调递减，且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，作出函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草图如下，由图可知，函数y＝﹣x2+8x﹣6lnx与函数y＝m，m∈（7，8）有1个交点．故答案为：1．【题目点拨】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）运用分析法，两边平方，化简配方即可得证；（Ⅱ）运用变形和基本不等式，即可得证。【题目详解】（I）要证：≥只需证：≥，即证：，即证：,即证：，即证：，这显然成立，故.（II）依题意，因为，故，故当且仅当，即，即时等号成立.【题目点拨】本题主要考查不等式的证明的方法——分析法和综合法，意在考查学生运用分析法和使用基本不等式时涉及到的变形能力，化简能力以及推理能力。18、（I）（II）【解题分析】

（Ⅰ）求导，当时，导函数为0，原函数为8，联立方程解得（Ⅱ）参数分离，设，求在区间上的最大值得到答案.【题目详解】（I）∵当时，函数有极大值8∴，解得∴所以函数的解析式为.（II）∵不等式在区间上恒成立∴在区间上恒成立令，则由解得，解得所以当时，单调递增，当时，单调递减所以对，都有，所以，即实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查了极值的性质，参数分离，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.19、（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.【题目详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，，令，或.列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值，极小值；（Ⅱ）由题意得，（1）当时，令，解得；，解得.（2）当时，①当时，即时，令，解得或；令，解得；②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当时，即当时，令，解得或；令，解得.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20、（1）3.95；（2）见解析【解题分析】分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(