2024届吉林省长春市榆树一中数学高二第二学期期末考试试题含解析

2024届吉林省长春市榆树一中数学高二第二学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．2．设复数满足（为虚数单位），则复数（）A． B．C． D．3．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（）A． B． C． D．4．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．5．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A． B．C． D．6．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（）A． B． C． D．7．下列四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若，则”；②命题“且为真，则有且只有一个为真命题”；③命题“所有幂函数的图象经过点”；④命题“已知是的充分不必要条件”.A．1 B．2 C．3 D．48．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．9．设，，i为虚数单位，则M与N的关系是（）.A． B． C． D．10．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）A．①用系统抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用分层抽样C．①用分层抽样，②用系统抽样 D．①用分层抽样，②用简单随机抽样11．函数在区间的图像大致为（）．A． B．C． D．12．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中常数项为30，则实数的值是____．14．已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．16．已知某市社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品。如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。产品质量/毫克频数（1）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；（2）由以上统计数据完成列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计下列临界值表仅供参考：参考公式：，其中.18．（12分）已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.19．（12分）已知函数f(x)=axx2+1+a(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证:当a>0时,对于任意x1,x20．（12分）如图，椭圆和圆，已知椭圆C的离心率为，直线与圆O相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点在线段PQ上.设，试求的取值范围.21．（12分）已知矩阵，.(1)求；(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.22．（10分）已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上单调递减，①求a的取值范围；②当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】本题考察函数的单调性与奇偶性由函数的奇偶性定义易得，，是偶函数，是奇函数是周期为的周期函数，单调区间为时，变形为，由于2>1,所以在区间上单调递增时，变形为，可看成的复合，易知为增函数，为减函数，所以在区间上单调递减的函数故选择A2、A【解题分析】

利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数，即可得到答案.【题目详解】复数满足，则，所以复数.故选：A.【题目点拨】本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.3、A【解题分析】

三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．【题目详解】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．即概率都为【题目点拨】本题考查排位概率，属于基础题．4、D【解题分析】

令，则，根据题意得到时，函数单调递增，求得，再由函数的奇偶性得到，即可作出比较，得到答案．【题目详解】由题意，令，则，因为当时，，所以当时，，即当时，，函数单调递增，因为，所以，又由函数为奇函数，所以，所以，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函数，利用导数求得函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．5、B【解题分析】

先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。【题目详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.【题目点拨】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。6、B【解题分析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案．【题目详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人故选B.【题目点拨】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．7、C【解题分析】

①令，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数的图象判断.④由，判断充分性，取特殊值判断必要性.【题目详解】①令，，所以在上递增所以，所以，故正确.②若且为真，则都为真命题，故错误.③因为所有幂函数的图象经过点，故正确.④因为，所以，故充分性成立，当时，推不出，所以不必要，故正确.故选：C【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8、C【解题分析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。9、D【解题分析】

先根据性质化简，再判断选项.【题目详解】,所以故选：D【题目点拨】本题考查性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10、D【解题分析】

①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D11、A【解题分析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12、A【解题分析】

利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【题目详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．【题目点拨】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2；【解题分析】

利用二项展开式的通项，当的次幂为时，求得，再由展开式中常数项为30，得到关于的方程.【题目详解】因为，当时，，解得：.【题目点拨】本题考查二项式定理中的展开式，考查基本运算求解能力，运算过程中要特别注意符号的正负问题.14、【解题分析】

先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.【题目详解】因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，在上单调递增，，即解得，解集为.【题目点拨】本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.15、【解题分析】

由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.【题目详解】根据图形，因为都是直角三角形，,是以1为首项，以1为公差的等差数列，，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16、【解题分析】根据题意可得抽样比为则这次抽样调查抽取的人数是即答案为140.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）210；（2）详见解析.【解题分析】

（1）先判断中位数在第四组，再根据比例关系得到计算得到答案.（2）完善列联表，计算，与临界值表作比较得到答案.【题目详解】解：（1）因为前三组的频率之和前四组的频率之和所以中位数在第四组，设为由，解得（2）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计所以的观测值故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为产品的包装是否合格与两条自动包装流水线的选择有关．【题目点拨】本题考查了中位数的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）向量对应的复数分别为，，利用，即可得出；（2）为实数，可得，即可得出结论.【题目详解】(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i=1+i,∴a-4=1,b-4=1,解得a=b=5,∴z1=4-i,z2=-3+2i.(2)∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∴=2,2-b=0,∴a=4,b=2.【题目点拨】本题主要考查复数的几何意义，复数的模以及复数与向量的综合应用，属于中档题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离.19、（1）当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞)；当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1)；（2）详见解析.【解题分析】试题分析：（I）首先求出函数f(x)的导数，对字母a进行分类讨论，根据f'(x)>0，可知f(x)函数单调递增，f'(x)<0时f(x)函数单调递减可得答案．（Ⅱ）要证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g(x1)＜f(x试题解析解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，f'当a>0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'-

0

+

0

-

f(x)

↘

↗

↘

当a<0时，当x变化时，f'(x)，x

(-∞,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,+∞)

f'+

0

-

0

+

f(x)

↗

↘

↗

综上所述，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(-∞,-1)，(1,+∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)，(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1).5分（2）由（1）可知，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)>f(0)；f(x)在(1,e]上单调递减，且f(e)=aee2+1+a>a.所以x∈(0,e]时，f(x)>a令g'(x)=0，得①当0<a<e时，由g'(x)>0，得0<x<a；由g'所以函数g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,e]上单调递减.所以g(x)因a-(alna-a)=a(2-lna)>a(2-ln②当a≥e时，g'(x)≥0在所以函数g(x)在(0,e]上单调递增，g(x)所以对于任意x1,x综上所述，对于任意x1,x考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数单调性的性质．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据椭圆的离心率和直线与圆相切得到，解方程组即可.（2）设，，，当直线与轴重合时，求出.当直线与轴不重合时，设直线方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理化简，求出的表达式，再求出的范围即可.【题目详解】（1）由题