2024届安徽省六安市三校数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届安徽省六安市三校数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的图象大致是A． B． C． D．2．数列an中，则anA．3333 B．7777 C．33333 D．777773．已知函数(为自然对数的底数)，.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（）A． B． C． D．14．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．5．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为4，则（）A． B． C． D．6．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．47．阅读下图所示程序框图，若输入，则输出的值是（）A.B.C.D.8．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知函数，则函数的单调递增区间是（）A．和 B．和C．和 D．10．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面，则a=（）A．1 B． C． D．11．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是()A．1 B． C． D．12．已知有下列各式：，，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知(是虚数单位),定义:给出下列命题:(1)对任意都有(2)若是的共轭复数,则恒成立；(3)若则(4)对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.14．某次考试结束后，甲、乙、丙三位同学讨论考试情况.甲说：“我的成绩一定比丙高”.乙说：“你们的成绩都没有我高”.丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，则这三人中成绩最高的是______.15．随机变量的分布列如下：若，则__________.16．为定义在上的奇函数，且，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.18．（12分）随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：年龄152535455565骑乘人数958065403515（1）求关于的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，，，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为，求的分布列和数学期望.参考公式：，.参考数据：，.19．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的零点个数．20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.（1）求证：；（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.21．（12分）设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．22．（10分）已知函数，其中为常数.（1）证明：函数的图象经过一个定点，并求图象在点处的切线方程；（2）若，求函数在上的值域.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用函数的奇偶性、特殊值判断函数图象形状与位置即可．【题目详解】函数y=是奇函数，所以选项A，B不正确；当x=10时，y=＞0，图象的对应点在第一象限，D正确；C错误．故选D．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．2、C【解题分析】

分别计算a1、a2、a3归纳出an的表达式，然后令【题目详解】∵an=11⋯1︸a3猜想，对任意的n∈N*，an=11⋯1【题目点拨】本题考查归纳推理，解归纳推理的问题的思路就由特殊到一般，寻找出规律，根据规律进行归纳，考查逻辑推理能力，属于中等题。3、C【解题分析】

解方程求得，结合求得的取值范围.将转化为直线和在区间上有交点的问题来求得的最大值.【题目详解】由得，注意到在上为增函数且，所以.由于的定义域为，所以由得.所以由得，画出和的图像如下图所示，其中由图可知的最大值即为.故选C.【题目点拨】本小题主要考查函数零点问题，考查指数方程和对数方程的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4、C【解题分析】

根据零点存在性定理，可得，然后比较大小，利用函数的单调性，可得结果.【题目详解】由题意可知函数在上单调递增，，，∴函数的零点，又函数的零点，，故选：C【题目点拨】本题考查零点存在性定理以及利用函数的单调性比较式子大小，难点在于判断的范围，属基础题.5、D【解题分析】

过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为正切值为4在中，根据勾股定理：故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6、D【解题分析】可以是共4个，选D.7、A【解题分析】试题分析：由程序框图可知该算法是计算数列的前2016项和，根据，所以。考点：1.程序框图；2.数列求和。8、D【解题分析】取，则，但，故；取，则，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要条件，选D.9、C【解题分析】

先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间．【题目详解】函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．故选C【题目点拨】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题．10、A【解题分析】

根据三角形面积公式可得,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【题目详解】因为，，面积，所以.所以.所以，.所以.故选A.【题目点拨】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题.11、D【解题分析】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D．12、C【解题分析】

观察上面各式,,,,类比推理即可得到结果.【题目详解】由题,观察上面各式可得,,,则,所以,故选:C【题目点拨】本题考查类比推理,考查理解分析能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（2），（4）【解题分析】

由新定义逐一核对四个命题得答案．【题目详解】解：对于（1），当时，，命题（1）错误；

对于（2），设，则，则，命题（2）正确；

对于（3），若，则错误，如，满足，但；

对于（4），设，

则，

，

，

由，

得恒成立，（4）正确．

∴正确的命题是（2）（4）．

故答案为（2），（4）．【题目点拨】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．14、甲【解题分析】

分别假设说对的是甲，乙，丙，由此分析三个人的话，能求出结果.【题目详解】若甲对，则乙丙可能都对，可能都错，可能丙对，乙错，符合；若乙对，则甲丙可能都对，可能都错，不符；若丙对，则甲乙可能都对，可能甲对，乙错，符合，综上，甲丙对，乙错，则这三人中成绩最高的是甲.故答案为：甲.【题目点拨】本题考查合情推理的问题，考查分类与讨论思想，是基础题.15、【解题分析】

利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值，最后利用方差的计算公式可求出的值。【题目详解】由题意可得，解得，因此，，故答案为：。【题目点拨】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题。16、【解题分析】

根据已知将x=x+2代入等式可得，可知为周期T=4的周期函数，化简，再由奇函数的性质可得其值．【题目详解】由题得，则有，因为为定义在R上的奇函数，那么，则，故.【题目点拨】本题考查奇函数的性质和周期函数，属于常见考题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）f（x）的最大值为f（1）=1．（2）见解析（3）见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（Ⅱ）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（Ⅲ）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，当a=1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；当a＞1时，x∈（1，）时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；x∈（，+∞）时，g'（x）＜1，g（x）单调递减；当a＜1时，g'（x）＞1，g（x）单调递增；（Ⅲ）当a=2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，则由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在区间（1，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正实数x1，x2，∴．18、（1）大致为55人（2）分布列见解析，【解题分析】分析：（1）根据题意求得，代入公式求得回归直线方程，令代入方程可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；（2）由题意．的所有可能取值为．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．详解：（1）由题意可知，代入公式可得，，，所以线性回归方程为，令可得，，故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人.（2）由题意可知的所有可能取值为，其相应概率为：，，，，，所以的分布列为：X23456P.点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（1）；（2）个零点.【解题分析】

解：（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4]（a＞0）∴f（x）min＝﹣4a＝﹣4∴a＝1故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3（2）g（x）4lnx﹣2（x＞0），∴g′（x）x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：x（0，1）1（1，3）3（3，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）单调增加极大值单调减少极小值单调增加当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0；又g（e5）20﹣2＞25﹣1﹣22＝9＞0故函数g（x）只有1个零点，且零点【题目点拨】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．20、（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为【解题分析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.【题目详解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，，设平面的法向量，则，即则，又平面的法向量为，∴解得：或（舍），，平面的法向量为，设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算，解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．21、（1），（2），【解题分析】试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以，S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．（Ⅱ）由（2）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．试题解析：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则