甘肃省岷县二中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

甘肃省岷县二中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（）A．77种 B．144种 C．35种 D．72种2．已知集合，，则A． B． C． D．3．已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）．A． B．C． D．5．展开式中的系数为（）A． B． C． D．606．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.A． B． C． D．7．已知椭圆C:x225+y2m2=1 (m>0)的左、右焦点分别为FA．2 B．3 C．23 D．8．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．0B．-1C．-129．的外接圆的圆心为，，，则等于（）A． B． C． D．10．已知满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C．3 D．-311．若a>b>c,ac<0，则下列不等式一定成立的是A．ab>0 B．bc<0 C．ab>ac D．b(a-c)>012．若x∈0,2π，则不等式x+A．0,π B．π4,5π4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________．14．已知某市社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．15．小明玩填数游戏：将1，2，3，4四个数填到的表格中，要求每一行每一列都无重复数字。小明刚填了一格就走开了（如右图所示），剩下的表格由爸爸完成，则爸爸共有_______种不同的填法.（结果用数字作答）116．如果，且为第四象限角，那么的值是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）当时，，求的取值范围.19．（12分）证明下列不等式：（1）用分析法证明：；（2）已知是正实数，且.求证：.20．（12分）已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．21．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.22．（10分）已知z是复数，z+2i与z2-i（1）求复数z；（2）复数z+ai2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1)只选一名老队员;(2)没有选老队员,分类计数再相加可得.【题目详解】按照老队员的人数分两类:(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.故选A.【题目点拨】本题考查了分类计数原理,属基础题.2、C【解题分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可．【题目详解】因为，，所以，故选C．【题目点拨】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3、D【解题分析】

对进行变形，得到，令，，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【题目详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，，单调递减，，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是①当解集包含时，时，所以需要满足即，解得②当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由①②得，的范围为故选D项.【题目点拨】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.4、C【解题分析】

设可得:.因为复数与的乘积为复数的“旋转复数,可得,的“旋转复数”对应的点,由坐标变换,即可得的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【题目详解】复数对应的点在曲线上设可得:复数与的乘积为复数的“旋转复数┄①设的“旋转复数”对应的点可得:即┄②将②代入①得:即:故选:C.【题目点拨】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.5、A【解题分析】分析：先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案.详解：展开式的通项公式，可得展开式中含项：即展开式中含的系数为.故选A.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.6、B【解题分析】分析：利用乘法分步计数原理解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有种.故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．7、D【解题分析】

由椭圆的定义知ΔPF1F2的周长为2a+2c=16，可求出c的值，再结合a、b、c的关系求出【题目详解】设椭圆C的长轴长为2a，焦距为2c，则2a=10，c=a由椭圆定义可知，ΔPF1F2的周长为∵m>0，解得m=4，故选：D。【题目点拨】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题。8、A【解题分析】试题分析：模拟法：S=0,n=1S=12S=-12S=0,n=7,n>5，输出S=0，故选A．考点：程序框图．9、C【解题分析】

，选C10、B【解题分析】

画出可行域，通过截距式可求得最大值.【题目详解】作出可行域，求得，，,通过截距式可知在点C取得最大值，于是.【题目点拨】本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果.11、C【解题分析】

取特殊值a=1,b=0,c=-1进行验证即可。【题目详解】取a=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故选：C。【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。12、D【解题分析】

由绝对值三角不等式的性质得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【题目详解】因为x+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故选：D【题目点拨】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.【题目详解】当时，，可理解为函数与直线的交点问题（如图）令，有，设切点的坐标为，则过点的切线方程为，将点坐标代入可得：，整理为：，解得：或，得或，故，而，两点之间的斜率为，故.【题目点拨】本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.14、【解题分析】根据题意可得抽样比为则这次抽样调查抽取的人数是即答案为140.15、144【解题分析】分析：依据题意已经放好一个数字，为了满足要求进行列举出结果详解：第一行将数字填入表格有种可能，然后将数字填入表格有种可能；那么第二行每个数字分别有、、、种可能；根据题意每一行每一列都无重复数字，所以第三行只有种可能，第四行每个数字都只有一种情况，所以一共有点睛：本题考查了排列组合，在解答题目时按照题意采取了列举法，分别考虑每一行的情况，然后再进行排列，在解题时注意是否存在重复的情况。16、【解题分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范围确定三角函数值的符号.【题目详解】由题,因为,且,则或,因为为第四象限角,所以,则,所以,故答案为:【题目点拨】本题考查利用同角的三角函数关系求三角函数值,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，然后算出和即可（2）由题意得，然后利用导数求出右边的最大值即可【题目详解】（1）切线方程为即（2）由题意令则只需，从而在上为增函数，在上为减函数.，实数的取值范围为【题目点拨】恒成立问题或存在性问题，通常是通过分离变量，转化为最值问题.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出的导数，把代入导数得斜率，把代入即可得时的坐标。根据点斜式即可得切线方程。（2）转化成，令，当时的最大值为0，求的取值范围即可。【题目详解】（1）当时在处的切线方程为：（2）由题意得令则再令，则由，所以在上为减函数。且【题目点拨】本题主要考查了求函数在某一点的切线方程以及利用导数解决函数恒成立求参数范围的问题。属于中等题。19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】分析：⑴两边同时平方即可证明不等式⑵构造同理得到其他形式，然后运用不等式证明详解：（1）证明：要证成立，只需证，即证，只需证，即证显然为真，故原式成立.（2）证明：∵，∴.点睛：本题主要考查的是不等式的证明，着重考查了基本不等式的变形与应用，考查了综合法和推理论证的能力，属于中档题。20、（I）；（II）最大值为，最小值为.【解题分析】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．（II）曲线C上任意一点到的距离为．则．其中为锐角，且．当时，取到最大值，最大值为．当时，取到最小值，最小值为．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．21、（1）（2）（3）【解题分析】

解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ

0

2

4

P

随机变量ξ的数学期望考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立