北京市大兴区市级名校2024届数学高二下期末检测模拟试题含解析

北京市大兴区市级名校2024届数学高二下期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（）A． B． C． D．2．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．3．已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有6个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A．5 B．7 C．9 D．115．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2015)＋f(2016)＝()A．0B．2C．3D．46．从A，B，C，D，E5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24 B．48C．72 D．1207．已知变量，满足回归方程，其散点图如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，8．离散型随机变量X的分布列为，，2，3，则（）A．14a B．6a C． D．69．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，则阅读过《西游记》的学生人数为（）A． B． C． D．10．若实数满足，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有A．5种 B．10种C．20种 D．120种12．已知，，，则它们的大小关系是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．14．已知函数，其中，若只有一个零点，则的取值范围是__________．15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.16．正项等差数列中的，是函数的极值点，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为25（1）求tan(α-β)的值；（2）求α+β19．（12分）某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）（1）试估计该市市民的平均购房面积（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为，求的分布列与数学期望；（3）根据散点图选择和两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示：0.0054590.0058860.006050请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.参考数据：，，，，，参考公式：20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）设M，N分别为，上的动点，求的取值范围.21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（Ⅰ）写出的直角坐标方程；（Ⅱ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．22．（10分）已知空间向量a与b的夹角为arccos66，且|a|=2，|(1)求a，b为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m,n的夹角

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算（A）、的值，从而求得的值．【题目详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则（A），，．故选：B．【题目点拨】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.2、B【解题分析】

由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可．【题目详解】解：∵双曲线的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0）的距离为1，∴a＝1；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是yx，而抛物线的准线方程为x，因此﹣1（﹣2），﹣2，联立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．故双曲线的标准方程为：．故选：B．【题目点拨】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．3、D【解题分析】

函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点等价于当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，即可即m=f（x）有3个不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范围．【题目详解】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①当0<x＜2时，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时有最大值，即为f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域为（﹣2，]，②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m＜0时，当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，故当﹣＜m＜0时，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D.【题目点拨】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法.4、B【解题分析】

设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an，则a【题目详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以aa1=1，故a2【题目点拨】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.5、B【解题分析】

根据条件判断函数f（x）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【题目详解】y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），则函数的周期是2，又f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．6、C【解题分析】

根据题意,分2种情况讨论:①不参加任何竞赛,此时只需要将四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②参加竞赛,依次分析与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论.【题目详解】参加时参赛方案有(种)，不参加时参赛方案有(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.【题目点拨】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.7、D【解题分析】

由散点图知变量负相关，回归直线方程的斜率小于1；回归直线在y轴上的截距大于1．可得答案.【题目详解】由散点图可知，变量之间具有负相关关系．

回归直线的方程的斜率．

回归直线在轴上的截距是正数．

故选：D【题目点拨】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．8、C【解题分析】

由离散型随机变量X的分布列得a+2a+3a＝1，从而，由此能求出E（X）．【题目详解】解：∵离散型随机变量X的分布列为，，∴，解得，∴．故选：C．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9、B【解题分析】

根据题意画出韦恩图即可得到答案．【题目详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为人故选B.【题目点拨】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．10、B【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【题目详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即，代入目标函数得．即目标函数的最大值为1．故选B．【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．11、B【解题分析】

根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【题目详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.【题目点拨】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.12、A【解题分析】由指数函数的性质可得，而，因此，即。选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、18【解题分析】

画出满足题意的三棱锥P-ABC图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．【题目详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长PD=1，DF=3所以PF=2，则这个棱锥的侧面积S=3×故答案为：18。【题目点拨】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和。14、【解题分析】

把表示成分段函数，将一个零点问题转化成一个交点问题，作出图形，从而得到答案.【题目详解】由题意，当时，，当时，；而的只有一个零点可转化为与直线只有一个交点，作出图形，，此时，斜率越来越小时，无交点，斜率越来越大时，有一个交点，故的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查分段函数的图像，零点问题，将零点问题转化成交点问题是解决本题的关键，意在考查学生的作图能力，分析能力，难度中等.15、1【解题分析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．16、4【解题分析】

先对函数求导，得到，根据题意，得到，根据等差数列性质，得到，进而可求出结果.【题目详解】因为，所以，又，是函数的极值点，所以，是方程的两实根，因此，因为数列是正项等差数列，所以，解得，因此.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由函数极值点求参数，以及等差数列的性质，熟记函数极值点的定义，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析.（2）.【解题分析】分析：（1）推导出是的斜边上的中线，从而是的中点，由此能证明平面；（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．详解：（1）因为，所以，又，，所以，又因为，所以是的斜边上的中线，所以是的中点，又因为是的中点．所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且，分别是，的中点，所以，，所以，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，所以，令，则，设直线与平面所成角的大小为，则．故直线与平面所成角的正切值为．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、(1)17;（2）α+β=【解题分析】（1）先运用三角函数定义与同角三角函数之间的关系求得两个锐角α,β的正切，再代入求tan(α-β)的值；（2）先求tan(α+β)(1)由条件得cosα=255,cosβ=31010（2）因为tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα19、（1）；（2）1.2；（3）模型的拟合效果更好，预测2019年8月份的二手房购房均价万元/平方米.【解题分析】

（1）求解每一段的组中值与频率的乘积，然后相加得出结果；（2）分析可知随机变量服从二项分布，利用二项分布