2024届重庆市江津巴县长寿等七校联盟高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届重庆市江津巴县长寿等七校联盟高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．802．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，焦距为，C的一条渐近线被以F为圆心，OF为半径的圆F所截得的弦长为2，则C的方程是（）A． B． C． D．3．命题：的否定为（）A． B．C． D．4．的展开式中的常数项是（）A．192 B． C．160 D．5．对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A．三角形及其内部 B．矩形及其内部 C．圆及其内部 D．椭圆及其内部6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（）A．36π B．64π C．100π D．104π7．若实数满足，则的取值范围为()A． B． C． D．8．已知的边，的长分别为20,18，，则的角平分线的长为（）A． B． C． D．9．下列运算正确的为（）A．（为常数） B．C． D．10．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（）A．函数的周期为 B．函数图象关于点对称C．函数图象关于直线对称 D．函数在上单调11．2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（）A．720 B．360 C．270 D．18012．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如8455用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若正实数满足，则的最小值为______．14．设每门高射炮命中飞机的概率为，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少的概率命中它．15．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。16．的展开式中的系数为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．18．（12分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.天数12345678910空气质量指数天数11121314151617181920空气质量指数(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.19．（12分）如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段AOB可视为抛物线的一部分，坐标原点O为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，灯杆BC可视为线段，其所在直线与曲线AOB所在的抛物线相切于点B．已知AB=2分米，直线轴，点C到直线AB的距离为8分米.灯杆BC部分的造价为10元/分米；若顶点O到直线AB的距离为t分米，则曲线段AOB部分的造价为元.设直线BC的倾斜角为，以上两部分的总造价为S元.（1）①求t关于的函数关系式；②求S关于的函数关系式；（2）求总造价S的最小值.20．（12分）已知复数为虚数单位.（1）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数.21．（12分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有1个，分别编号为1，2，3，1．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．22．（10分）请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得：，化简得等式：．利用上述的想法，结合等式（,正整数）（1）求的值；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,则所以故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。2、A【解题分析】

根据点到直线的距离公式，可求出点F到渐近线的距离刚好为，由圆的知识列出方程，通过焦距为，求出，即可得到双曲线方程．【题目详解】为坐标原点，双曲线的右焦点为，焦距为，可得，的一条渐近线被以为圆心，为半径的圆所截得的弦长为2，因为点F到渐近线的距离刚好为，所以可得即有，则，所以双曲线方程为：．故选．【题目点拨】本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力．3、C【解题分析】分析：由题意，对特称命题进行否定即可确定.详解：特称命题的否定为全称命题，结合题中命题可知：命题：的否定为.本题选择C选项.点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．4、D【解题分析】分析：利用二项展开式的通项公式令的幂指数为0，求得的值，从而可得的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为，

则令得：，

∴展开式中的常数项为故选D．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．5、B【解题分析】

由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【题目详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【题目点拨】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．6、C【解题分析】分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：，，∴三角形的外接圆直径，，平面，，∴该三棱柱的外接球的半径，∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.7、C【解题分析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：设，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，为，当直线经过点时，直线的截距最大，此时时z最大，为，即.故选：C.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.8、C【解题分析】

利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.【题目详解】如图，因为是的角平分线，所以，所以，即.两边平方得，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.9、C【解题分析】分析：由基本初等函数的导数公式可得．详解：，，，．故选C．点睛：本题考查基本初等函数的导数，牢记基本初等函数的导数公式是解题关键．10、D【解题分析】

根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。【题目详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为所以周期，则所以函数函数的图象向左平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k∈Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D【题目点拨】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。11、D【解题分析】

由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.【题目详解】解：根据题意，分两步进行：①在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有中情况；②将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，则一共有种不同的安排方案，故选：D.【题目点拨】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.12、D【解题分析】

根据题意直接判断即可.【题目详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D符合，故选D.【题目点拨】本题主要考查合情推理，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解题分析】

根据，展开后利用基本不等式求最值.【题目详解】等号成立的条件是，即，，解得：的最小值是9.【题目点拨】本题考查了基本不等式求最值的问题，属于简单题型.基本不等式求最值，需满足“一正，二定，三相等”，这三个要素缺一不可.14、【解题分析】

设需要门高射炮，由题意得出，解出的取值范围，可得出正整数的最小值.【题目详解】设需要门高射炮，则命不中的概率为，由题意得出，得，解得，而，因此，至少需要门高射炮.故答案为：.【题目点拨】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15、【解题分析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．16、70.【解题分析】试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为．考点：二项式定理．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)；(3)【解题分析】

（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.【题目详解】（1）设圆锥高为，母线长为由圆锥体积得：圆锥的侧面积：（2）作交圆锥底面圆于点，连接，则即为异面直线与所成角由题意知：，，又即异面直线与所成角为：（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为又，即为边长为的等边三角形设为的中心，连接，则三棱锥为正三棱锥平面即为侧棱与底面所成角即侧棱与底面所成角为：【题目点拨】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.18、（1）；（2）见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；

（2）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望．试题解析：(1)解：由表中数据可知，空气质量指数不低于的天数是12天，即空气质量为优良的天数是12天.记“至少有2天空气质量为优良”为事件，方法1：；方法2：.(2)20天中优良天数的概率为.于是估计我市总体空气质量优良天数的概率为，因此服从参数为，的二项分布.即.所有可能取值为0，1，2，3.所以，，，.故的分布列为：0123所以的数学期望为：.19、(1)①.②.(2)元.【解题分析】分析：（1）①先设曲线段所在的抛物线的方程为，代入点B可得a的值，然后求出切线BC的斜率,转化为倾斜角从建立t与的等式关系；②根据t与的关系得出曲线段部分的造价为元，然后求出BC段的造价，故两段的造价之和；（2）由S的表达式根据导数确定函数的单调性，即可求得最小值.详解：（1）①设曲线段所在的抛物线的方程为，将代入得，故抛物线的方程为，求导得，故切线的斜率为，而直线的倾斜角为，故，t关于的函数关系为.②因为，所以曲线段部分的造价为元，因为点到直线的距离为8分米，直线的倾斜角为，故，部分的造价为，得两部分的总造价为，.（2），，其中恒成立，令得，设且为锐角，列表如下：0极小故当时有最小值，此时，，，故总造价S的最小值为元.点睛：函数的实际应用题，做题时一定要有耐心将题意理解清楚，多读两遍题，然后根据条件建立等式关系，结合函数分析思维求解即可，属于较难题.20、（1）；（2）【解题分析】试题分析：（1）求出复数的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出的范围；（2）由已知得出，代入的值，求出．试题解析;（I）=，由题意得解得（2）