2024届江苏南京市数学高二第二学期期末经典试题含解析

2024届江苏南京市数学高二第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．观察下列各式：3272112152……据此规律.所得的结果都是8的倍数.由此推测可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．2．已知-1，a，b，-5成等差数列，-1，c，-4成等比数列，则a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-43．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A． B． C． D．5．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：月份12345广告投入（万元）9.59.39.18.99.7利润（万元）9289898793由此所得回归方程为，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）A．97万元 B．96.5万元 C．95.25万元 D．97.25万元6．两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是，则相对应于点（11，5）的残差为（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.27．外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．38．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四10．如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．200种 B．160种 C．240种 D．180种11．若幂函数的图象经过点，则其解析式为（）A． B． C． D．12．若且，且，则实数的取值范围（）A． B．C．或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线被圆截得的弦长为________.14．已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，设集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，则S中至少有4个元素；③S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S．其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）15．已知球的半径为，为球面上两点，若之间的球面距离是，则这两点间的距离等于_________16．设，则等于___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，斜率为k的动直线l过点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）若直线l与曲线C有两个交点，求这两个交点的中点P的轨迹关于参数k的参数方程；（2）在条件（1）下，求曲线的长度.18．（12分）设函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，对任意恒成立，求整数的最大值.19．（12分）已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最值．20．（12分）某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等：（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；（2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大?21．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）求函数的最大值.22．（10分）在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.（1）求椭圆的离心率及标准方程；（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解.【题目详解】数列3,7,11,15，……的通项为an当n=26时，a26故选：A【题目点拨】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、D【解题分析】

根据等差数列的性质可得出a+b的值，利用等比中项的性质求出c的值，于此可得出a+b+c的值。【题目详解】由于-1、a、b、-5成等差数列，则a+b=-1又-1、c、-4成等比数列，则c2=-1当c=-2时，a+b+c=-8；当c=2时，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故选：D。【题目点拨】本题考查等差数列和等比数列的性质，在处理等差数列和等比数列相关问题时，可以充分利用与下标相关的性质，可以简化计算，考查计算能力，属于中等题。3、A【解题分析】

分析两个命题的真假即得，即命题和．【题目详解】为真，但时．所以命题为假．故应为充分不必要条件．故选：A．【题目点拨】本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：为真，则是的充分条件，是的必要条件．4、B【解题分析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题.5、C【解题分析】

首先求出的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出的值，然后写出回归方程，然后将代入求解即可【题目详解】代入到回归方程为，解得将代入，解得故选【题目点拨】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。6、B【解题分析】

求出样本中心，代入回归直线的方程，求得，得出回归直线的方程，令，解得，进而求解相应点的残差，得到答案.【题目详解】由题意，根据表中的数据，可得，把样本中心代入回归方程，即，解得，即回归直线的方程为，令，解得，所以相应点的残差为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中正确求解回归直线的方程，利用回归直线的方程得出预测值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7、C【解题分析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.8、D【解题分析】因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.9、D【解题分析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则复数对应的点为，该点位于第四象限，即复数对应复平面上的点在第四象限.本题选择D选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、D【解题分析】

根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案．【题目详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．11、C【解题分析】

设幂函数，代入点，即可求得解析式.【题目详解】设幂函数，代入点，，解得，.故选C.【题目点拨】本题考查了幂函数解析式的求法.12、C【解题分析】试题分析：根据题意，由于且，且成立，当0<a<1时，根据对数函数递减性质可知，，故可知范围是，综上可知实数的取值范围C考点：不等式点评：主要是考查了对数不等式的求解，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式，运用勾股定理即可求出截得的弦长【题目详解】由圆可得则圆心坐标为，半径圆心到直线的距离直线被圆截得的弦长为故答案为【题目点拨】本题主要考查了求直线被圆所截的弦长，由弦长公式，分别求出半径和圆心到直线的距离，然后运用勾股定理求出弦长14、①②④【解题分析】

结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可．【题目详解】①若（1，2）∈S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）∈S，关于x轴对称的点（2，-1）∈S，关于y轴对称的点（-2，-1）∈S；故①正确，②若（0，2）∈S，关于x轴对称的点（0，-2）∈S，关于y=x对称的点（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此时S中至少有4个元素；故②正确，③若（0，0）∈S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则关于y对称的集合为{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，从而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S关于y=x对称的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S，故④正确，故答案为：①②④【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题．15、【解题分析】

根据球面距离计算出的大小，根据的大小即可计算出之间的距离.【题目详解】因为，，所以为等边三角形，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据球面距离计算球面上两点间的距离，难度较易.计算球面上两点间的距离，可通过求解两点与球心的夹角，根据角度直接写出或者利用余弦定理计算出两点间的距离.16、【解题分析】

根据微积分基本定理可得，再结合函数解析式，根据牛顿莱布尼茨定理计算可得；【题目详解】解：因为所以故答案为：【题目点拨】本题考查利用定积分求曲边形的面积，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）把两边同时乘以，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，设直线的方程为，与曲线联立，利用根与系数的关系可得两个交点的中点的轨迹关于参数的参数方程；（2）化参数方程为普通方程，作出图形，数形结合即可求得曲线的长度．【题目详解】解：（1）曲线C的直角坐标方程为.设直线l的方程为，设直线l与曲线C的交点为，，联立直线l与曲线C的方程得解得，，，，设P的坐标为，则，代入l的方程得.故的参数方程为.（2）由的参数方程得即.如图，圆C：圆心为，半径为2，圆D：圆心为，半径为2，曲线为劣弧，显然，所以的长度为.【题目点拨】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查圆与圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．18、（Ⅰ）当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）2【解题分析】

（Ⅰ）根据解析式求得导函数，讨论与两种情况，结合一元二次方程的根即可由导函数符号判断函数的单调性；（Ⅱ）将代入解析式，并代入不等式分离参数，构造函数，求得，在令，由即可证明在单调递增，再根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，进而由单调性求得，整理化简后可得，即可得整数的最大值.【题目详解】（Ⅰ）函数的定义域为，，当时，恒成立，所以在内单调递增.当时，由得，，，且在区间内，在区间内.综上可得，当时，在内单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减.（Ⅱ）将代入函数解析式，可求得，代入不等式可得，即对任意恒成立，令，只需.，令，，所以在单调递增，显然有，，所以存在唯一的，使得.在，，，单调递减；在，，，单调递增.所以，此时，可得，所以，因为，所以，所以整数的最大值为.【题目点拨】本题考查了由导数判断含参数的函数单调性，分类讨论思想的综合应用，分离参数并构造函数分析函数的单调性与最值，零点存在定理的应用，综合性强，化简过程较为繁琐，属于难题.19、(Ⅰ)增区间为（1，），(-)，减区间为（-1,1）；(Ⅱ)最小值为，最大值为【解题分析】试题分析：（Ⅰ）首先求函数的导数，然后解和的解集；（Ⅱ）根据上一问的单调区间，确定函数的端点值域极值，其中最大值就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.试题解析：（Ⅰ）根据题意，由于因为>0,得到x>1,x<-1,故可知在上是增函数，在上是增函数，而则，故在上是减函数（Ⅱ）当时，在区间取到最小值为．当时，在区间取到最大值为.考点：导数的基本运用20、（1）；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大【解题分析】

（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润；

（2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的的值．【题目详解】解：