福建省三明市普通高中2024届数学高二下期末监测试题含解析

福建省三明市普通高中2024届数学高二下期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=4A．4πr4 B．3πr43．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（）A． B． C． D．4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A． B． C．1 D．5．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．6．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）A． B． C． D．7．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A． B． C． D．8．已知．则（）A． B． C． D．9．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．410．设在定义在上的偶函数，且，若在区间单调递减，则（）A．在区间单调递减 B．在区间单调递增C．在区间单调递减 D．在区间单调递增11．欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（）A． B． C． D．12．已知随机变量服从的分布列为123…nP…则的值为（）A．1 B．2 C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．高二（1）班有男生18人，女生12人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生人数为____.14．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.15．复数z=2-i16．袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（且，e为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的值.18．（12分）某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.19．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．22．（10分）第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日至日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解中学生对冰壶运动的兴趣，随机从某中学学生中抽取人进行了问卷调查，其中男、女生各人，将问卷得分情况制成茎叶图如右图：（Ⅰ）将得分不低于分的称为“A类”调查对象，某研究机构想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，从“A类”调查对象中抽取人，设被抽到的女生人数为，求的分布列及数学期望；（Ⅱ）通过问卷调查，得到如下列联表.完成列联表，并说明能否有的把握认为是否为“A类”调查对象与性别有关？不是“A类”调查对象是“A类”调查对象总计男女总计附参考公式与数据：，其中.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.【题目详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件故选：A【题目点拨】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.2、B【解题分析】

根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W'【题目详解】由题知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故选【题目点拨】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。3、B【解题分析】

直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可．【题目详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时是否成立，即不等式为：；故选：．【题目点拨】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．4、B【解题分析】抛物线的焦点为：，双曲线的渐近线为：.点到渐近线的距离为：.故选B.5、C【解题分析】

先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间.【题目详解】依题意，函数的定义域为，，故当时，，所以函数的单调递增区间为，故选C.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.6、D【解题分析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．详解：由题意，得，因为，，，，故选D．点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．7、C【解题分析】分析：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出的值，由条件概率公式可得结果.详解：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，，，在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为，故选C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.8、C【解题分析】

由二项式定理及利用赋值法即令和，两式相加可得，结合最高次系数的值即可得结果.【题目详解】中，取，得，取，得，所以，即，又，则，故选C．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.9、C【解题分析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10、D【解题分析】

根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数，同时关于对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【题目详解】由函数满足，所以是周期为2的周期函数，由函数在区间单调递减，可得单调递减，所以B不正确；由函数在定义在上的偶函数，在区间单调递减，可得在区间单调递增，所以A不正确；又由函数在定义在上的偶函数，则，即，所以函数的图象关于对称，可得在区间单调递增，在在区间单调递增，所以C不正确，D正确，故选D．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、A【解题分析】

根据欧拉公式求出，再计算的值.【题目详解】∵，∴.故选：A.【题目点拨】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.12、A【解题分析】

由概率之和为1，列出等式，即可求得k值.【题目详解】由概率和等于1可得：，即.故选A.【题目点拨】本题考查分布列中概率和为1，由知识点列式即可得出结论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

根据分层抽样的比例求得.【题目详解】由分层抽样得抽取男生的人数为5×18故得解.【题目点拨】本题考查分层抽样，属于基础题.14、【解题分析】

由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【题目详解】不妨设椭圆方程为：，由题意可得，解得，则椭圆的短轴长度为：.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、2-【解题分析】试题分析：：z=2-i3=考点：复数代数形式的乘除运算．16、.【解题分析】分析：结合古典概型概率公式，直接利用条件概率公式求解即可详解：设甲摸到黑球为事件，则，乙摸到白球为事件，则，设甲摸到黑球的条件下，乙摸到球的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及独立事件的概率公式，条件概率公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直线方程的点斜式，即可得到切线方程；（2）分和两种情况，考虑函数的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【题目详解】解：（1）当时，，，，∴切线方程为;（2），，令，得，1）当时，，x－0＋极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即，因为当时，，所以此方程无解.2）当时，，x－0＋极小值所以当时，有最小值，.因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*），设（），则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解.综上，时函数只有一个零点.【题目点拨】本题主要考查在曲线上一点的切线方程的求法，以及利用导数研究含参函数的零点问题，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.18、（1）；（2）见解析.【解题分析】分析：（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X的可能取值，求出相应的概率值，得到的分布列，进而得到数学期望详解：（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B，则所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为（2）X的可能取值为：0,10,20,30，则，，，的分布列为X0102030P的数学期望为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19、(1)；(2)【解题分析】

（1）根据两个集合的交集为，可知，即充要条件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要条件，即是在找一个值，都是符合题意的值.【题目详解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．【题目点拨】本小题主要考查利用集合的交集来求解参数的取值范围，考查找充分不必要条件的方法，属于中档题.20、（1）；（2）见解析.【解题分析】分析：（1）由题意得，求解即可；（2）假设存在点满足条件，则，设，，，联立方程，从而可得，又由，得，从而求得答案.详解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，则有，解得，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．设，，，联立方程，得，，，由，得，即，综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得结果．21、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．【题目详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于