2024届吉林省吉林市朝鲜族四校高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届吉林省吉林市朝鲜族四校高二数学第二学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（）(参考数据：，，）A．12 B．24 C．48 D．962．函数在点处的切线方程为（）A． B．C． D．3．函数在区间上的图象如图所示，，则下列结论正确的是（）A．在区间上，先减后增且B．在区间上，先减后增且C．在区间上，递减且D．在区间上，递减且4．已知命题，.则命题为（）A．， B．，C．， D．，5．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的的值为（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知函数g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12 C．2 D．7．函数的定义域为，且，当时，；当时，，则A．672 B．673 C．1345 D．13468．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A． B．C． D．9．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（）A． B． C． D．10．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．一个算法的程序框图如图所示，如果输出的值是1，那么输入的值是（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-212．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且14．已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.15．已知复数，且是实数，则实数__________.16．在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为_____．（用最简分数作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（学年安徽省六安市第一中学高三上学期第二次月考）已知函数f(x)=log4(1)求k的值;(2)若函数y=fx的图象与直线y=12x+a没有交点,(3)若函数hx=4fx+12x+m⋅2x-1,x∈0,log2318．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）的内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）当取得最小值时，求的值.21．（12分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0.①求证：直线经过定点，并求出定点坐标；②求面积的最大值.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【题目详解】解：模拟执行程序，可得：

，

不满足条件，

不满足条件，

满足条件，退出循环，输出的值为.

故选：B.【题目点拨】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.2、B【解题分析】

首先求出函数在点处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【题目详解】∵，∴切线斜率，又∵，∴切点为，∴切线方程为，即．故选B．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，属于基础题.3、D【解题分析】

由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，得解．【题目详解】由题意g（x）f（t）dt，因为x∈（0，4），所以t∈（0，4），故f（t）<0，故f（t）dt的相反数表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x增大时，面积增大，减小，g（x）减小，故g（x）递减且g（x）＜0，故选：D．【题目点拨】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．4、D【解题分析】

利用全称命题的否定解答.【题目详解】命题，.命题为，.故选D【题目点拨】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、B【解题分析】

模拟程序运行，依次计算可得所求结果【题目详解】当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；故选B【题目点拨】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意所在位置6、B【解题分析】

由对数函数的性质得到点M（4，2）在幂函数f（x）=xα的图象上，由此先求出幂函数f（x），从而能求出α的值．【题目详解】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12故选B．【题目点拨】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、幂函数的性质的合理运用．7、D【解题分析】

根据函数周期的定义，得到函数是周期为3的周期函数，进而求得的值，进而得到，即可求解.【题目详解】根据题意，函数的定义域为，且，则函数是周期为3的周期函数，又由当时，，则，当时，，则，由函数是周期为3的周期函数，则则，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了函数周期性的应用，以及函数值的计算，其中解答中根据函数周期性的定义，求得函数是周期为3的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、B【解题分析】

函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，再将所得图像向左平移个单位，得，选B.9、B【解题分析】

直接利用条件概率公式求解即可.【题目详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，则，，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为，故选B.【题目点拨】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式.10、A【解题分析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立.详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意；若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意；故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.11、C【解题分析】

根据条件结构，分，两类情况讨论求解.【题目详解】当时，因为输出的是1，所以，解得.当时，因为输出的是1，所以，解得.综上：或.故选：C【题目点拨】本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.12、D【解题分析】

由导数的几何意义，结合题设，找到倍数关系，即得解.【题目详解】由导数的几何意义，可知：故选：D【题目点拨】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、π【解题分析】依题意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=1214、【解题分析】

将问题转化为当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围，并作出函数的图象，考查当直线与曲线相切以及直线与直线平行这两种临界位置情况，结合斜率的变化得出实数的取值范围．【题目详解】问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围．作出函数的图象如下图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得.由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为.【题目点拨】本题考查函数的零点个数问题，一般转化为两个函数图象的交点个数问题，或者利用参变量分离转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，若转化为直线（不恒与轴垂直）与定函数图象的交点个数问题，则需抓住直线与曲线相切这些临界位置，利用数形结合思想来进行分析，考查分析问题的能力和数形结合数学思想的应用，属于难题．15、【解题分析】复数z1=2+3i,z2=t−i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i，由是实数,得3t+2=0,即.16、【解题分析】

用列举法列出所有基本事件，从中得到所求事件包含的基本事件的个数，再用古典概型的概率公式可得答案.【题目详解】设3名男生为，2名女生为，从中抽出3名学生的情况有：，，，，共10种，其中全是男生的情况有1种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了用古典概型概率公式求概率，关键是用列举法列出所有基本事件，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（4）k=-12；（4）(-∞,  0].（4）存在【解题分析】试题分析：（4）根据偶函数定义f(-x)=f(-x)化简可得2kx=log44-x+14x+1，∴2kx=-x即可求得；（4）即f(x)=12x+a没有解，整理可得方程a=log4(4x+1)-x令t=2x∈[1,3]φ(t)=t2+mt,t∈[1.3]，转化为轴动区间定求二次函数最值的问题，∵开口向上，对称轴t=-m试题解析：（4）∵f(-x)=f(-x)，即log4(4∴2kx=∴k=-（4）由题意知方程log4(4令g(x)=log4(4x∵g(x)=任取x1、x2∈R，且x1<∴g(x∴g(x)在(-∞,  ∵1+14x∴a的取值范围是(-∞,（4）由题意,x∈[0,log令t=φ(t)=∵开口向上，对称轴t=-当-mφ(t)min当1<-mφ(t)min=φ(-当-m2≥3φ(t)∴存在m=-1得h(x)最小值为0考点：4．利用奇偶性求参数；4．证明函数的单调性；4．二次函数求最值18、（1）；（2）．【解题分析】

直接利用递推关系式，构造等比数列，求出数列的通项公式；

利用的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【题目详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，又所以是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，即．（2）因为，所以．【题目点拨】本题考查了利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）以分别为轴建立空间直角坐标系，计算直线对应向量，根据向量夹角公式得到答案.（2）分别计算两个平面的法向量，利用法向量的夹角计算二面角余弦值.【题目详解】（1）如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，,异面直线与所成角的余弦值为.（2）平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为,由得,，不妨取则，,,二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了空间直角坐标系的应用，求异面直线夹角和二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、（1）见解析；（2）.【解题分析】分析：（1）由正弦定理和余弦定理化简即可；（2），当且仅当，即时，取等号.从而即可得到答案.详解：（1）∵，∴即∵，∴.（2）当且仅当，即时，取等号.∵，∴点睛：解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．21、（1）；（2）①证明见解析；②1【解题分析】

(1)由条件有，将点代入椭圆方程结合，可求解椭圆方程.

(2)①设点，，设直线，，的斜率分别为，由条件有，将直线方程与椭圆方程联立，将，代入化简可得，得到直线过定点.

②由①利用弦长公式可求出，再求出原点到直线的距离，则的面积可表示出来，从而可求其最大值