第八章 §8.6 习题课 异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法 课时练（含答案）

习题课异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与CD所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(6),3)2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF与C1D所成角的大小是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)3．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为eq\f(\r(2),6)πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(2),2)4．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(6),3)6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．27.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，则异面直线BD与AC所成的角为________．8.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的大小为________；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的大小为________．9.如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝eq\f(π,2)，M，N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成角的余弦值．10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值．11．(多选)如图，在四面体A－BCD中，AC＝BD＝a，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为()A.eq\f(a,3) B.eq\f(a,2)C.eq\f(\r(3)a,2) D.eq\f(3a,2)12.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为eq\o(BC,\s\up9(︵))的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6)D.eq\f(\r(6),6)13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)14.如图，正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE和平面PAC所成的角为________．15.(多选)《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥，如图，在直角梯形ABCS中，∠ABC＝∠BCS＝90°，SC＝2BC＝2AB＝2，过点A作AD⊥SC交SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD为阳马时，下列四个命题正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成角的大小等于45°D．AB与SC所成角的大小等于30°16.如图，点P为平面ABC外一点，AP，AB，AC两两互相垂直，过AC的中点D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，连接BP，BE，BD，多面体B－PADE的体积是eq\f(\r(3),3).(1)画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明理由；(2)求BE和平面PADE所成角的正切值．习题课异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法1．B2.D3.A4.A5．D[如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，则cos∠O1OD1＝eq\f(O1O,OD1)＝eq\f(1,\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(6),3).]6．A[如图，延长D1E与直线DC的延长线相交于F，连接AF，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).]7．60°8.45°45°9．解如图所示，连接CM，设Q为CM的中点，连接QN，则QN∥SM.∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角．连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，BN＝eq\f(\r(5),2)a，NQ＝eq\f(1,2)SM＝eq\f(\r(2),4)a，BQ＝eq\f(\r(14),4)a，∴cos∠QNB＝eq\f(BN2＋NQ2－BQ2,2BN·NQ)＝eq\f(\f(5,4)a2＋\f(1,8)a2－\f(7,8)a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(\r(2),4)a)＝eq\f(\r(10),5).即异面直线SM与BN所成角的余弦值为eq\f(\r(10),5).10．解如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2a，则EM＝AD＝2a，BE＝eq\r(2a2＋2a2＋a2)＝3a.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为eq\f(2,3).11．BC[取BC的中点E，连接EN，EM，如图所示．因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(a,2)，同理得EN∥BD，且EN＝eq\f(a,2)，所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，则△MEN为等边三角形，所以MN＝eq\f(a,2).若∠MEN＝120°，可得MN＝eq\f(\r(3)a,2).]12．D[如图，取BC的中点H，连接EH，AH，则∠EHA＝90°.设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝eq\r(5)，所以AE＝eq\r(6).连接ED，则ED＝eq\r(6).因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(AE2＋AD2－DE2,2AE·AD)＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).]13．D[如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1.因为E为CC1的中点，所以EF∥BC1∥AD1，故∠OEF或其补角即为异面直线OE与AD1所成的角，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF＝eq\r(2)，OE＝eq\r(3)，OF＝1，故∠OFE＝90°，故cos∠OEF＝eq\f(EF,OE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).]14．60°解析如图，在正四棱锥P－ABCD中，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平面PAC.连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成的角．∵正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，∴V＝eq\f(1,3)×6×PO＝2，则PO＝1，BC＝eq\r(6)，则OC＝OB＝eq\r(3)，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，连接EH，则EH⊥OC，EH＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)，OH＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，则OE＝eq\r(EH2＋OH2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝eq\f(OB,OE)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，则∠BEO＝60°.15．AB[如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，因为SA＝eq\r(2)，OA＝eq\f(\r(2),2)，所以∠ASO＝30°，故C不正确；对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确．]16．解(1)如图，延长PE交AC于点F，连接BF，∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC.∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(DE,PA)＝eq\f(1,2)，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE与平面ABC的公共点．又B是平面PBE与平面ABC的公共点，∴BC是平面PBE与平面ABC的交线．(2)如图，连接AE.∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE和平面PAD