考点11 平行线与全等三角形-2021年中考数学高频考点专题突破(全国通用)(原卷版)

考点11.平行线与全等三角形知识框架：基础知识点：知识点1-1、相交线与平行线1．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．2．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．3．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．4．对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．5．平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．6．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．7．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补．4）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：8．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．知识点1-2、三角形的相关概念1．三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．2．三角形的三边关系1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．3．三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．4．三角形中的重要线段1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．知识点1-3全等三角形1．三角形全等的判定定理：1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；2）全等三角形的周长相等，面积相等；3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．知识点1--4等腰（等边）三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3.等边三角形1）．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2）．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3）．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．重难点题型题型1对顶角和余角、（邻）补角【解题技巧】1）．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2）．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．1．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是()A．B．C．D．2．（2020·陕西中考真题）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（）A．57° B．67° C．77° D．157°3．（2020·甘肃金昌市·中考真题）若，则的补角的度数是（）A． B． C． D．4．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．5．（2020·广东广州市·中考真题）已知，则的补角等于________．6．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数____．7．（2020·四川南充市·中考真题）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．题型2平行线的性质【解题技巧】解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解．1．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（）A．60° B．70° C．80° D．100°2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（）A．66° B．56° C．68° D．58°3．（2020·广东深圳市·中考真题）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=（）A．50° B．60° C．70° D．80°4．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为()A． B． C． D．5．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（）A． B． C． D．6．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°7．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．8．（2020·河南中考真题）如图，，若，则的度数为（）A．B．C．D．题型3平行线的判定【解题技巧】平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行．1．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．2．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（）A．B．C．D．3．（2020·江西中考真题）如图，，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．4．（2020·湖南岳阳市·中考真题）如图，，，，则的度数是（）A． B． C． D．5．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行6．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．题型4平行线有关的辅助线问题【解题技巧】除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：1．（2020·湖南中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°2．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（）A． B． C． D．3．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（）A．1 B． C．2 D．无法确定4．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（）A．120° B．100° C．150° D．160°5．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16° B．28° C．44° D．45°6．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36° B．34° C．32° D．30°题型5三角形的三边关系【解题技巧】在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2 B．4 C．5 D．62．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（）A． B． C． D．3．（2020·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A． B． C． D．4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（2020·江苏徐州市·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（）A． B． C． D．6．（2020·山东滨州市·中考真题）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．7．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．8．（2020·山东济宁市·中考真题）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，题型6三角形的内角和与外角【解题技巧】三角形的内角和为180°，三角形的一个外角等于两个不相邻的内角之和。1．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，是的外角，若，，则（）A． B． C． D．2．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，，，，则的度数是（）A． B． C． D．4.（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（）A． B． C． D．6．（2020·内蒙古）如图，是的外角，．若，，则的度数为（）A． B． C． D．7．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠58．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（）A． B． C． D．题型7三角形中的三条重要线段【解题技巧】三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.1．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（）A．1 B． C． D．2．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.43．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c24．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．5．（2021·四川绵阳市·中考模拟）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O，则AB=______.

6．（2020·湖南湘潭市·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．①若正方形的边长为4，求的长度；②若，求正方形的面积．7．（2020·四川攀枝花市·中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．题型8全等三角形【解题技巧】1）．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边（2）已知一边、一角（3）已知两角2）．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．1）SSS证全等1．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．2．（2020·云南中考真题）如图，已知，．求证：．3．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，在和中，，，，则________º．2）SAS证全等1．（2020·山东淄博市·中考真题）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．2．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接．求证：．3．（2020·广东广州市·中考真题）如图，，，．求的度数．4．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．（1）求证：（2）若的面积为5，求的面积．3）ASA证全等1．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（）A． B． C． D．2．（2020·江苏南京市·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，ABAC，BC，求证：BDCE．3．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．求证：．4．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，．（1）求的度数；（2）若，求证：．4）AAS证全等1．（2020·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．2．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．3．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．4．（2020·湖南衡阳市·中考真题）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．（1）求证：；（2）若，求的度数．5）HL1．（2019·内蒙古巴彦淖尔市·中考真题）如图，在正方形中，，点分别在边和上，，，则的长是（）A． B． C． D．2．（2021·陕西师大附中九年级其他模拟）如图，在中，垂直平分，垂足为E，平分于点M，的延长线于点N，己知，则（）A．5 B． C．4 D．3．（2019·江苏南通市·中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．6．（2021·河北九年级一模）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：ΔOPA≌ΔOPB；（2）若AB＝6，求AE的长．6）全等综合问题1．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分其中正确的结论个数有（）个．A．4 B．3 C．2 D．12．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型9等腰三角形的性质【解题技巧】1)．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．2)．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3)．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．4)．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a．5)．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9 B．17或22 C．17 D．222．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2或43．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于()A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．64．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____．5．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°6．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．7．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．8．（2020·湖北荆门市·中考真题）中，，D为的中点，，则的面积为（）A． B． C． D．9．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA=3，则外接圆的面积为（）A． B． C． D．10．（2020·福建中考真题）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（）A．10 B．5 C．4 D．3题型10等腰三角形的判定【解题技巧】1)．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2)．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里2．（2020·四川南充市·中考真题）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（）A． B． C．a-b D．b-a3．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．4．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

5．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．6．（2020·广东中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．7．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．8．（2020·黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接．则下列结论中：①；②；③；④；⑤若平分，则；⑥，正确的有___________．（只填序号）题型11等边三角形的性质【解题技巧】1)．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2)．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3)．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．1．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为（）A． B． C． D．2．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（）A．1 B． C． D．3．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．2 B． C． D．4．（2020·海南中考真题）如图，在