概率论数理统计期望

汇报人：AA2024-01-20概率论数理统计期望延时符Contents目录概率论基本概念数理统计基础期望性质及应用方差、协方差和相关系数大数定律与中心极限定理参数假设检验非参数假设检验延时符01概率论基本概念事件01在一定条件下，并不总是发生（或说不可能一定发生）的现象称为随机事件，简称事件。概率02是用来量化随机事件发生可能性的数学工具。对于任意事件A，其发生的概率P(A)是一个介于0和1之间的实数。等可能概型03若一个试验有n个等可能的结果，而事件A包含其中的m个结果，则事件A发生的概率为P(A)=m/n。事件与概率独立性若两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。乘法公式对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。条件概率在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。条件概率与独立性若事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式的应用在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]，其中i,j=1,2,...,n。用于在已知某些条件下，更新某一假设的概率。全概率公式与贝叶斯公式延时符02数理统计基础总体研究对象的全体个体所构成的集合，通常用一个概率分布来描述。样本从总体中随机抽取的一部分个体所构成的集合，用于推断总体的性质。样本容量样本中所包含的个体数目，通常记为$n$。总体与样本030201样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量抽样分布常见抽样分布统计量的概率分布，描述了在不同样本下统计量的取值情况。正态分布、$t$分布、$chi^2$分布、$F$分布等。030201统计量与抽样分布点估计区间估计评价标准常见估计方法参数估计方法用一个具体的数值来估计总体参数，如样本均值估计总体均值。无偏性、有效性、一致性等。根据样本信息构造一个置信区间，用于估计总体参数的可能取值范围。矩估计法、最大似然估计法等。延时符03期望性质及应用期望定义及计算期望定义在概率论和数理统计中，期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。期望计算对于离散型随机变量，期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，期望则是通过定积分进行计算。期望具有线性性质，即对于任意两个随机变量X和Y，以及任意实数a和b，有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。线性性质期望与常数相乘不改变其期望值，即对于任意实数c，有E(cX)=cE(X)。常数性质如果两个随机变量相互独立，则它们的期望等于各自期望的乘积，即E(XY)=E(X)E(Y)。独立性010203期望性质风险决策在风险决策中，期望被用来衡量各种可能结果的平均值或预期值。通过计算不同方案的期望值，决策者可以评估每个方案的风险和潜在收益，从而做出更明智的决策。投资组合优化在投资组合优化中，期望被用来计算投资组合的预期收益率。通过调整不同资产的投资比例，投资者可以最大化投资组合的预期收益率，同时降低风险。保险精算在保险精算中，期望被用来计算保险产品的预期赔付额和预期收益。通过合理设定保费和赔付条件，保险公司可以实现盈利并为客户提供风险保障。期望在决策分析中应用延时符04方差、协方差和相关系数方差的定义方差是衡量随机变量取值分散程度的一个数字特征，用随机变量各取值与其均值之差的平方的均值来定义。方差的计算对于离散型随机变量，方差计算公式为D(X)=E{[X-E(X)]^2}；对于连续型随机变量，方差计算公式为D(X)=∫[x-E(X)]^2f(x)dx，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。方差定义及计算协方差与相关系数概念相关系数定义相关系数是反映两个随机变量之间线性相关程度的一个数字特征，用协方差除以两个随机变量标准差的乘积来定义。协方差定义协方差是衡量两个随机变量变化趋势相似程度的一个数字特征，用两个随机变量各自与其均值之差的乘积的均值来定义。相关系数的性质相关系数的取值范围为[-1,1]，当相关系数为1时，表示两个随机变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个随机变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个随机变量不相关。多元正态分布及其性质多元正态分布定义：多元正态分布是指多个随机变量组成的向量服从正态分布的一种概率分布。多元正态分布的性质多元正态分布的密度函数具有对称性；若两个多元正态分布的协方差矩阵相同，则它们的联合分布也相同；多元正态分布的条件分布仍为多元正态分布。多元正态分布的边缘分布仍为正态分布；延时符05大数定律与中心极限定理含义大数定律是描述随机事件在大量重复试验中呈现出的稳定性规律，即当试验次数足够多时，随机事件的频率趋于一个稳定值。种类包括伯努利大数定律、辛钦大数定律等。应用条件要求随机事件独立同分布，且试验次数足够多。大数定律含义中心极限定理是描述大量独立随机变量的和或平均值的分布规律，即当随机变量的数量足够多时，其和或平均值的分布趋于正态分布。种类包括独立同分布的中心极限定理、德莫弗-拉普拉斯定理等。应用条件要求随机变量独立同分布，且数量足够多。010203中心极限定理在统计分析中，大数定律可用于估计未知参数或检验假设。例如，在抽样调查中，可以利用大数定律估计总体参数。大数定律的应用中心极限定理在统计分析中具有重要的应用价值。首先，它提供了正态分布作为许多统计推断的基础。其次，它允许我们使用标准正态分布的性质来近似处理复杂分布的问题。最后，中心极限定理还为我们提供了一种评估样本大小是否足够的方法，以确保统计推断的准确性。中心极限定理的应用两者在统计分析中应用延时符06参数假设检验010203原假设与备择假设在假设检验中，原假设（$H_0$）通常表示没有差异或没有效应，而备择假设（$H_1$）则表示存在差异或有效应。检验统计量与拒绝域检验统计量是根据样本数据计算出的一个数值，用于决定是否拒绝原假设。拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。显著性水平与P值显著性水平（$alpha$）是事先设定的一个概率值，表示当原假设为真时，错误地拒绝原假设的概率。P值是观察到的数据与原假设不一致的程度，当P值小于或等于显著性水平时，我们拒绝原假设。假设检验基本原理单个正态总体均值检验当总体标准差已知时，可以使用Z检验对单个正态总体均值进行检验。Z检验统计量服从标准正态分布。Z检验当总体标准差未知时，可以使用t检验对单个正态总体均值进行检验。t检验统计量服从t分布，其自由度等于样本量减1。t检验VS当两个样本相互独立时，可以使用独立样本t检验对两个正态总体均值进行比较。独立样本t检验要求两个样本分别来自方差相等的正态分布。配对样本t检验当两个样本存在配对关系时（如同一受试对象在不同条件下的观测值），可以使用配对样本t检验对两个正态总体均值进行比较。配对样本t检验要求差值服从正态分布。独立样本t检验两个正态总体均值比较检验延时符07非参数假设检验当总体分布形式未知或数据不满足参数检验的前提条件时，可以采用非参数假设检验。非参数假设检验的适用场景不依赖于总体分布的具体形式，通过样本数据本身的性质进行推断。非参数假设检验的特点包括单样本非参数检验、两独立样本非参数检验和多独立样本非参数检验等。非参数假设检验的常用方法非参数假设检验概述符号检验用于检验单个样本中位数是否与某个已知值相等。单样本游程检验用于检验单个样本是否来自一个随机过程，即观测值之间是否相互独立。符号秩次检验在符号检验的基础上，进一步考虑观测值之间的差异大小，提高了检验的效