初等数论及应用课后答案 冯克勤

未知驱动探索，专注成就专业初等数论及应用课后答案第一章素数和素因子分解1.1素数的定义和性质1.素数的定义是什么？答：素数是只能被1和它本身整除的正整数。2.2是一个素数吗？为什么？答：是素数。因为它只能被1和它本身（2）整除。3.写出10以内的所有素数。答：2、3、5、7。1.2素因子分解1.什么是素因子分解？答：素因子分解是将一个正整数表示为素数的乘积的形式。2.将24进行素因子分解。答：24=2*2*2*3=2^3*3。3.用指数法表示素因子分解的优势是什么？答：用指数法表示素因子分解可以简洁地表示一个数的因式分解，方便进行计算和推导。第二章同余与模运算2.1同余的定义和性质1.同余的定义是什么？答：对于给定的正整数m，若两个整数a和b满足a与b除以m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(modm)。2.什么是模运算？答：模运算是指对于给定的正整数m，将一个整数除以m所得的余数。3.同余的性质有哪些？答：同余的性质包括：-自反性：a≡a(modm)；-对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；-传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；-同余的加法和乘法运算：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，ac≡bd(modm)。2.2模运算的性质1.模运算的运算规则有哪些？答：模运算的运算规则包括：-同余的加法和乘法运算：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，ac≡bd(modm)。-模运算的分配律：若a≡b(modm)，则ac≡bc(modm)。2.如果a≡b(modm)，那么是否一定有a+m≡b+m(modm)？为什么？答：是的，因为a+m≡b+m(modm)可以转化为a≡b(modm)，根据同余的传递性，a≡b(modm)成立。3.如果a≡b(modm)，那么是否一定有a*m≡b*m(modm)？为什么？答：是的，因为a*m≡b*m(modm)可以转化为a≡b(modm)，根据同余的传递性，a≡b(modm)成立。第三章算术基本定理3.1素数的性质1.素数的性质有哪些？答：素数的性质包括：-每个大于1的数都可以表示为素数的乘积；-每个大于1的数都可以唯一地表示为素数的乘积（除了乘积中素数的顺序可以变化）。2.若p是一个素数，那么2p是素数吗？为什么？答：不一定是素数。例如，当p=2时，2p=4=2*2，不是素数。3.若p是一个素数，那么p²是素数吗？为什么？答：不是素数。因为p²可以写成p*p的形式，其中p和p都是素数。3.2算术基本定理1.算术基本定理是什么？答：算术基本定理（也称为唯一分解定理）是指每个大于1的数都可以表示为素数的乘积，并且这个表示方式是唯一的（除了乘积中素数的顺序可以变化）。2.用素因子分解的方法验证算术基本定理。答：可以通过将一个数进行素因子分解，然后将素因子相乘，验证结果与原数是否相等来验证算术基本定理。3.将245进行素因子分解，验证算术基本定理。答：245=5*7*7=5*7²。通过素因子分解得到的表达式与原数相等，因此验证了算术基本定理。结论初等数论是研究正整数的基本理论，包括素数、同余、模运算以及算术