苏教版-6.7-用相似三角形解决问题-同步练习

6.7用相似三角形解决问题一．选择题（共12小题）1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m2．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米3．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m4．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）A．210 B．25 C．13 D．2135．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm26．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A．B．C．D．7．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4m B．245m C．5m D．168．如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（）A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米29．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．16013mm C．20mm D．24010．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步11．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（）A．2.4米 B．8米 C．3米 D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为25；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝42-A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤二．填空题（共12小题）13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为m．14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EF的长应为cm．15．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为．16．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．17．如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是．18．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门二十步有木，出西门四十五步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走20步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走45步后正好看到树木，则正方形城池的边长为步．19．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．20．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为m．21．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD＝2，则AB的长是．22．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为m．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：①△AFD∽△DCE∽△EGB；②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；③点C的坐标为（3.2，2.4）；④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这些结论中正确的有（只填序号）24．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是2．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）三．解答题（共6小题）25．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长．27．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．28．AD是△ABC的中线，G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于E，交射线AC于点F，设AE＝xAB，AF＝yAC（x、y≠0）．（1）如图1，若点G与D重合，△ABC为等边三角形，且∠BDE＝30°，证明：△AEF∽△DEA；（2）如图2，若点G与D重合，证明：1x（3）如图3，若AG＝nAD，x=12，y=329．已知不等臂跷跷板AB长为3米．跷跷板AB的支撑点O到地面的点H的距离OH＝0.6米．当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时（如图1），AB与直线AH的夹角∠OAH的度数为30°．（1）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），跷跷板AB与直线BH的夹角∠ABH的正弦值是多少？（2）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），点A到直线BH的距离是多少米？30．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．一．选择题（共12小题）1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米 B．28米 C．24米 D．16米【分析】因同学和大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．即CD故CD=PDBP×那么该大厦的高度是32米．故选：A．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．3．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BCEF∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF=BC⋅ANAM=故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解答时利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比解题．4．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）A．210 B．25 C．13 D．213【分析】直接利用等腰三角形的性质得出AD＝DC，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形中位线的性质得出答案．【解答】解：∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6m，∴AB=AD2+BD∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴BEAB∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，∴DF=12AB=13故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确得出AB的长是解题关键．5．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积=12×125×65-45×故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；B：两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故C选项符合要求；D：两个正五边形形状相同，符合相似形的定义，故D选项不符合要求；故选：C．【点评】本题考查的是相似图形的概念，把形状相同的图形称为相似形．7．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4m B．245m C．5m D．16【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴BHHC∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴MHAB∴MH8解得MH=24故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．8．如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（）A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米2【分析】两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．【解答】解：∵DG∥BC∴△ADG∽△ABC它们的对应高线比等于对应线段的比，即AMAH=DGBC，设AM＝x，那么DE＝MH＝AH﹣∴x80∴DG=5∴S四边形DEFG＝DG•DE＝（80﹣x）•54x=54（﹣x2+80x﹣1600）=-54当x＝40时，S取最大值，最大值为2000，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的应用、二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．16013mm C．20mm D．240【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴PMBC∴3k120解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）你的计算结果是：出南门几何步而见木（）A．300步 B．315步 C．400步 D．415步【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：由题意得，AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里，△ACB∽△DEC，∴DEAC=DC解得，DE＝1.05里＝315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形三边关系，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（）A．2.4米 B．8米 C．3米 D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离【分析】作PE⊥BNC于E，易得△APB∽△CDP，可得对应高CE与BE之比，易得CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：作PE⊥BC于E．∵CD∥AB，∴△APB∽△CDP，∴ABCD∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴PECD∴PE4解得PE＝2.4．故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到CE与BE的比．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为25；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝42-A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤【分析】①正确，只要证明∠APM＝90°即可解决问题．②正确，设PB＝x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．③错误，设ND＝NE＝y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=MG2+AG2=16+AG2，所以AG⑤正确，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，列出方程即可解决问题．【解答】解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴PBCM∴CM=14x（4﹣∴S四边形AMCB=12[4+14x（4﹣x）]×4=-12x2+2x+8∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，设ND＝NE＝y，在RT△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y=4∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∵AM=MG∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4-14x（4﹣x）=14（x∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM的最小值=16+9=5，故∵△ABP≌△ADN时，∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KPA+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK=2z∴z+2z∴z＝42-∴PB＝42-4，故⑤故选：B．【点评】本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．二．填空题（共12小题）13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为15m．【分析】根据同一时刻物高和影长成正比列出比例式即可求解．【解答】解：根据题意得：A'B'AB即：1.5AB解得：AB＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是找出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答．14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EF的长应为15cm．【分析】此题为二次函数的应用类试题，设EG＝xcm，先根据相似求出EF，然后根据矩形面积公式求出S与x之间的解析式，运用公式求抛物线顶点的横坐标即可．【解答】解：设EG＝xcm，∵四边形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AMAD∴20-x20解得EF=32（20﹣∴S矩形EFHG＝EG•EF=32（20﹣x）•即S=-32x2∴当x=-b2a此时EF=32（20﹣x）＝15故答案为15．【点评】本题由相似三角形的实际问题，矩形EGHF的面积的表达，把问题转化为二次函数；利用二次函数的性质解决题目的问题．具有一定的综合性．15．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为100cm2．【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积=12×125×65-45×故答案为：100cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压32cm．【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【解答】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知：△APM∽△BPN；∴ACBC∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN=41，即∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．故答案为：32．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．17．如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是3．【分析】根据相似三角形对应边成比例可得DFBD=EF【解答】解：∵两根电线杆AB、CD都竖直，EF垂直于地面，∴△ABD∽△EFD，△BCD∽△BEF，∴DFBD=EF∴DFBD即EF12解得EF＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，利用EF1218．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门二十步有木，出西门四十五步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走20步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走45步后正好看到树木，则正方形城池的边长为60步．【分析】根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．【解答】解：设正方形城池的边长为x步，由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，∴ABCE即201解得，x1＝60，x2＝﹣60（不合题意，舍去），答：正方形城池的边长为60步，故答案为：60．【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．19．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为13.5米．【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CDAB=ED∴AB＝13.5（米）．故答案为：13.5【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．20．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为5.5m．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴DEDC∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴0.48∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．故答案为：5.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．21．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴ABDC=AO∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．22．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为5m．【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，AMAM+OA即AMAM+20解得：AM＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：①△AFD∽△DCE∽△EGB；②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；③点C的坐标为（3.2，2.4）；④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这些结论中正确的有①③⑤（只填序号）【分析】①正确，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；②错误．根据斜边不相等即可判断；③正确．先利用面积求出CH，再利用勾股定理求出AH，即可判断；④错误．先判断出点C是BB1的中点，求出点B1即可判断；⑤正确．首先证明四边形DEGF是矩形，推出DF＝EG，DE＝FG，设DF＝EG＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断；【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，∴∠AFD＝∠DCE＝∠EGB＝90°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠DAF，∠CED＝∠EBG，∴△AFD∽△DCE∽△EGB；故①正确；当AD＝CD时，∵DE＞CD，∴DE＞AD，∴△AFD与△DCE不全等，故②错误，在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴CH=AC⋅BC∴AH=A∴C（3.2，2.4），故③正确，将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1，设B1为（m，n），则有m+52=3.2，n+02=2.4，∴B1（1.4，4.8），故④错误；∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，∴DF∥EG，∵DE∥AB，∴四边形DEGF是平行四边形，∵∠DFG＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴DF＝EG，DE＝FG，设DF＝EG＝x，则AF=43x，BG=∴DE＝FG＝5-43x-34x∵S矩形DEGF＝x（5-2512x）=-2512∵-25∴S最大值=-254×(-25综上所述，正确的有：①③⑤，故答案为①③⑤．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定、矩形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考压轴题．24．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是2．其中正确的是②③④．（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】由特殊值法可判断①，由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP＝CP，由矩形的性质可得EF＝PC＝AP，由“SSS”可证△APD≌△CPD，可得∠DAP＝∠DCP，由平行线的性质可得∠DCP＝∠H，由“SAS”可证△PEC≌△FCE，可得∠PCE＝∠FEC，由余角的性质可得AH⊥EF；通过证明△CPM∽△HPC，可得CPPH=PMCP，可得AP2＝PM•PH；由AP＝EF，可得【解答】解：①因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①不合题意；②如图，连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，且BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS）∴AP＝CP，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC＝AP，∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，∴△APD≌△CPD（SSS）∴∠DAP＝∠DCP，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠DCP＝∠H，∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，∴△PEC≌△FCE（SAS）∴∠PCE＝∠FEC，∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，∴∠H+∠FEC＝90°，∴∠EGH＝90°，∴AH⊥EF，故②符合题意；③∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴CPPH∴CP2＝PM•PH，且AP＝PC，∴AP2＝PM•PH；故③符合题意；④∵EF＝AP，∴AP取最小值时，EF有最小值，∴当AP⊥BD时，AP有最小值，此时：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，∴BD＝22，AP=12BD∴EF的最小值为2，故④符合题意，故答案为②③④．【点评】本题是相似综合题，考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．三．解答题（共6小题）25．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）【分析】直接利用已知进而得出△ECD∽△BCA，即可得到EDAB【解答】解：∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴EDAB∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，∴1.5AB解得：AB＝16，答：旗杆AB的高度为16m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长．【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝6﹣x，根据EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解答】解：（1）∵正方形EGHF，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，（2）设EG＝EF＝x∵△AEF∽△ABC∴EFBC∴x13∴x=78∴正方形零件的边长为7819cm【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△AEF∽△ABC．27．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．【分析】首先利用勾股定理计算出EF长，再证明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性质可得CBEF=DC【解答】解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，即：402+EF2＝502，∴EF＝30，由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴CBEF∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，∴BC0.3解得：BC＝9米，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例．28．AD是△ABC的中线，G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于E，交射线AC于点F，设AE＝xAB，AF＝yAC（x、y≠0）．（1）如图1，若点G与D重合，△ABC为等边三角形，且∠BDE＝30°，证明：△AEF∽△DEA；（2）如图2，若点G与D重合，证明：1x（3）如图3，若AG＝nAD，x=12，y=3【分析】（1）先判断出∠BAD＝30°，再判断出∠F＝30°＝∠BAD，即可得出结论；（2）先判断出△DEB≌△DHC，得出CH＝BE，再判断出△FCH∽△FAE，即可得出结论；（3）先判断出点E是AB的中点，进而得出DE是△ABC的中位线，得出DE=12AC，DE∥AC，进而得出△DGE∽△【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD是△ABC的中线，∴∠BAD=12∠BAC＝30∵∠BDE＝30°，∴∠EF⊥AB，∴∠F＝30°＝∠BAD，∵∠AED＝∠FEA＝90°，∴△AEF∽△DEA；（2）如图2，过C作CH∥AB交EF于H，∴∠B＝∠DCH，∠BED＝∠CHD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△DEB≌△DHC（AAS），∴CH＝BE，∵CH∥AB，∴△FCH∽△FAE，∴CFAF∴CFAF∵ABAE=1∴CFAF=1-ACAF=1-∴1-1∴1x（3）如图3，∵y=3∴AF=32∴AC=23∵x=1∴AE=12∴点E是AB的中点，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DE=12AC=12•23AF=1∴△DGE∽△AGF，∴DGAG∴DG=13∴AD＝AG+DG＝AG+13AG=∴AG=34AD＝∴n=3【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质