高考数学一轮复习课件定积与微积分基本定理

高考数学一轮复习课件定积与微积分基本定理(理)汇报人：AA2024-01-24定积分的概念与性质微积分基本定理定积分的计算定积分的应用典型例题解析练习题与答案目录01定积分的概念与性质定积分的定义定积分是函数在一个区间上的积分和，表示函数图像与x轴所围成的面积。定积分的表示方法：∫[a,b]f(x)dx，其中a和b分别为积分的下限和上限。定积分的计算可以通过求原函数（不定积分）在区间[a,b]上的差值来实现。定积分的几何意义是函数图像与x轴所围成的面积，可以用来求解一些与面积、体积相关的实际问题。当函数图像在x轴上方时，定积分为正；当函数图像在x轴下方时，定积分为负。通过定积分的计算，可以得到函数在某个区间上的平均值。010203定积分的几何意义定积分具有线性性质，即∫[a,b](k1f1(x)+k2f2(x))dx=k1∫[a,b]f1(x)dx+k2∫[a,b]f2(x)dx。定积分具有区间可加性，即∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx。当函数在某个区间上恒等于零时，该区间上的定积分为零。定积分的值与被积函数的表示方式无关，即只要两个函数在区间[a,b]上相等，则它们的定积分也相等。定积分的性质02微积分基本定理微积分基本定理的表述表述一如果函数$f$在$[a,b]$上连续，且存在原函数$F$，那么$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。表述二设$f$为$[a,b]$上的连续函数，$F$为$f$在$[a,b]$上的一个原函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$。01证明思路：通过构造辅助函数，利用罗尔定理或拉格朗日中值定理证明。02具体步骤031.构造辅助函数$G(x)=int_{a}^{x}f(t)dt-F(x)$。042.求导得到$G'(x)=f(x)-F'(x)=0$。053.由罗尔定理或拉格朗日中值定理可知，存在$xiin(a,b)$，使得$G'(xi)=0$。064.代入$G'(xi)=0$，得到$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。微积分基本定理的证明证明等式通过构造适当的函数，利用微积分基本定理证明与定积分相关的等式。在物理、工程等领域的应用微积分基本定理在物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算物体的质心、求解变力做功等问题。求解微分方程通过微分方程与定积分的联系，利用微积分基本定理求解微分方程的解。计算定积分通过找到被积函数的原函数，直接利用微积分基本定理计算定积分的值。微积分基本定理的应用03定积分的计算定义牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的基本公式，它将定积分转化为被积函数在积分区间上的原函数之差。使用条件在使用牛顿-莱布尼兹公式时，需要确保被积函数在积分区间上是连续的，且原函数存在。计算步骤首先求出被积函数的原函数，然后将原函数在积分区间的两个端点处的函数值相减，即可得到定积分的值。牛顿-莱布尼兹公式换元积分法换元积分法是一种通过变量代换将复杂的定积分转化为简单的定积分的方法。使用条件当被积函数中含有根号、三角函数、指数函数等复杂表达式时，可以考虑使用换元积分法。计算步骤首先根据被积函数的表达式选择合适的变量代换，然后将原定积分转化为新变量的定积分，最后利用牛顿-莱布尼兹公式计算新变量的定积分的值。定义分部积分法首先将被积函数拆分为两个函数的乘积，然后选择一个函数进行求导，另一个函数进行积分，得到一个新的表达式。接着将新的表达式进行整理，得到最终的结果。计算步骤分部积分法是一种通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，然后利用乘积的求导法则和积分法则进行计算的方法。定义当被积函数是两个函数的乘积，且其中一个函数求导后能使得整个表达式简化时，可以考虑使用分部积分法。使用条件04定积分的应用123通过定积分求解矩形、三角形、梯形等规则图形的面积。规则图形面积计算利用定积分的可加性，将不规则图形划分为多个小规则图形，分别计算面积后再求和。不规则图形面积计算在极坐标系中，通过定积分求解扇形、圆环等图形的面积。极坐标下图形面积计算平面图形的面积平行截面面积为已知的立体体积计算利用定积分的物理应用，求解平行截面面积为已知的立体体积，如长方体、正方体等。其他立体体积计算对于其他类型的立体，可以通过间接方式利用定积分求解其体积，如利用间接法求解球体、长方体的体积等。旋转体体积计算通过定积分求解绕x轴或y轴旋转的旋转体体积，如圆柱、圆锥、圆台等。空间立体的体积变力做功问题通过定积分求解变力在直线上的做功问题，如弹簧弹力、电场力等。液体压力问题利用定积分求解液体对容器底部的压力或压强问题，如水坝、液压机等。交流电的有效值和平均值问题通过定积分求解交流电在一个周期内的有效值和平均值问题，如正弦交流电、余弦交流电等。物理应用举例03020105典型例题解析求由曲线$y=x^2$和直线$y=2x$所围成的平面图形的面积。题目首先，我们需要找到曲线和直线的交点，即解方程组$begin{cases}y=x^2y=2xend{cases}$，得到交点坐标为$(0,0)$和$(2,4)$。然后，我们可以使用定积分来求解面积，即$S=int_{0}^{2}(2x-x^2)dx=left[x^2-frac{1}{3}x^3right]_{0}^{2}=frac{8}{3}$。解析例题一：求平面图形的面积VS求由曲线$y=x^2$和直线$y=2x$绕$x$轴旋转一周所生成的空间立体的体积。解析首先，我们需要确定被积函数和积分区间。由于曲线和直线交于点$(0,0)$和$(2,4)$，因此被积函数为$f(x)=pi(2x-x^2)^2$，积分区间为$[0,2]$。然后，我们可以使用定积分来求解体积，即$V=int_{0}^{2}pi(2x-x^2)^2dx=piint_{0}^{2}(4x^2-4x^3+x^4)dx=pileft[frac{4}{3}x^3-x^4+frac{1}{5}x^5right]_{0}^{2}=frac{64pi}{15}$。题目例题二：求空间立体的体积一质点沿直线运动，其速度$v(t)=t^2-4t+3$（单位：m/s），求质点在$t=1s$到$t=4s$时间内所经过的路程。首先，我们需要确定被积函数和积分区间。由于速度函数为$v(t)=t^2-4t+3$，因此被积函数为$v(t)$，积分区间为$[1,4]$。然后，我们可以使用定积分来求解路程，即$s=int_{1}^{4}(t^2-4t+3)dt=left[frac{1}{3}t^3-2t^2+3tright]_{1}^{4}=frac{1}{3}times64-2times16+3times4-(frac{1}{3}-2+3)=10$（单位：m）。题目解析例题三：物理应用问题06练习题与答案ABCD练习题若函数f(x)=sinx，求其在区间[0,π]上的定积分。求函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。求函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的定积分，并计算其近似值（使用梯形法则）。计算定积分∫(上限2,下限1)(x+1/x)dx。函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分为∫(上限2,下限0)x^2dx=[x^3/3](上限2,下限0)=8/3。定积分∫(上限2,下限1)(x+1/x)dx=[x^2/2+ln|x|](上限2,下限1)=3/2+ln2。函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的定积分为∫