2023-2024学年湘教版必修第二册 4-4-2平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定 学案

第1课时平面与平面垂直的判定教材要点要点一二面角二面角的定义从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角二面角的相关概念这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面二面角的画法二面角的记法二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q二面角的平面角定义在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角图形范围∠AOB的范围是状元随笔（1）二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量．（2）二面角的平面角的大小与O点选取无关．要点二两个平面互相垂直的定义1.两个平面相交，如果它们所成的二面角是角，就说这两个平面互相垂直．2.平面α，β互相垂直，记作Ｗ．3.画法：要点三平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直a⊥βa⊂状元随笔（1）两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．（2）两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．（3）判定定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直．（）（2）对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关．（）（3）已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．（）（4）平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.（）2.在二面角α­l­β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α­l­β的平面角，则必须具有的条件是（）A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β3.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有对．题型1二面角及其平面角的概念例1（多选）下列命题正确的是（）A．两个相交平面组成的图形叫做二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系方法归纳（1）要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．（2）要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．（3）可利用实物模型，作图帮助判断．跟踪训练1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定题型2求二面角的大小例2如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中：（1）求二面角D′­AB­D的大小；（2）求二面角A′­AB­D的大小．方法归纳（1）求二面角的关键是要找出二面角的平面角，而找平面角的关键是要找到二面角的棱上一点并分别在两个面内与棱垂直的两条射线．（2）由于二面角的平面角的大小与棱上一点的位置无关，所以在具体问题中，这个点经常选在一些特殊的位置，如线段的中点．跟踪训练2在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V­AB­C的余弦值的大小为（）A．23B．C．73D．题型3平面与平面垂直的证明角度1利用面面垂直的定义证明例3如图，四面体A­BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.证明：平面ACD⊥平面ABC.方法归纳证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：（1）找出两相关平面的平面角；（2）证明这个平面角是直角；（3）根据定义，这两个相交平面互相垂直．角度2利用面面垂直的判定定理证明例4如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1.方法归纳利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决．跟踪训练3如图，在四棱锥S­ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al(易错辨析)判断面面位置关系时主观臆断例5如图所示，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由．解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC⊂截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.易错警示易错原因纠错心得选错直线D1B1，推导出D1B1与平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D与平面ACB1不垂直．判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质．课堂十分钟1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（）A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在2.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ACDB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面BCD3.从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝30°，则二面角α­l­β的平面角的大小是（）A．30°B．150°C．30°或150°D．不确定4.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是．5.如图，四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，E，F分别为PC和BD的中点，且EF⊥CD.证明：平面PCD⊥平面PAD.第1课时平面与平面垂直的判定新知初探·课前预习要点一两个半平面[0°，180°]要点二1．直二面2．α⊥β要点三垂线[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由二面角的平面角的定义可知．答案：D3．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．答案：5题型探究·课堂解透例1解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以A不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；由定义知D正确．答案：BD跟踪训练1解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H­DG­F的大小不确定．答案：D例2解析：(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°.跟踪训练2解析：如图所示，取AB的中点E，连接VE，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE.根据题意可知，∠VEO是二面角V­AB­C的平面角．因为OE＝1，VE＝32-1＝22，所以cos∠VEO＝OEVE＝答案：B例3证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D­AC­B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例4证明：连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点，∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又M为CC1的中点，AC＝CC1＝6，∴AM＝32+6同理可得B1M＝35.∴MO⊥AB1.连接MB，同理可得A1M＝BM＝35.∴MO⊥A1B，又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1∴MO⊥平面ABB1A1，又MO⊂平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面ABB1A1.跟踪训练3证明：如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF.∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.[课堂十分钟]1．解析：由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．答案：C2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD答案：D3．解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为150°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为30°.答案：C4．解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC