陕西省宝鸡市陈仓区2022届高考模拟检测（二）数学（理）试卷

2022年陈仓区高考模拟检测试题(二)

数学(理科)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={x|%(2-X)>0},集合B={%|y=—2}，则AU8=()

A.(-oo,0)U[2,4-oo)B.(0,2]C.(0,2)D.(0,4-oo)

2.若z(l+i)=1-i,则z=()

A.1—iB.1+iC.—iD.i

3.已知a,be(0,1),则函数f(x)=a/—4bx+1在［l,+8)上是增函数的概率为()

4.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围

绕天心石的是扇环形的石板，从内到外各圈的石板数组成等差数列{即},

它的前几项和为Sn,且a?=18,a5+a7=108,则S21=()

A.2079B.2059C.2022D.1890

5.设点不共线，则丽+时>近一前I”是“魂与屈的夹角是锐角”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知某圆锥的母线长为2,其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是

()

A.圆锥的体积为言兀B.圆锥的表面积为2a兀

C.圆锥的侧面展开图是圆心角为夜兀的扇形D.圆锥的内切球表面积为(24-16或)兀

7.若a£(0,5,tan2a=端，则tma=()

A.四B・匹C.立D.叵

15533

8.如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定》

每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为()

A.72B.48C.36D.24

9.若函数f(%)同时满足：①对于定义域上的任意％，恒有/(%)+/(-X)=0②对于定义域

上的任意％1，%2，当%1时，恒有等乎2<0,则称函数f(x)为''理想函数”.下列四个

函数中，能被称为“理想函数”的有()

①f(%)=3②f(x)=ln(«T^+x),③/'(%)=W,④/'(')=｛工:'3。

A.①②B.②③C.③④D.①④

10.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙

寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，

然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推.今年是壬寅年，也是中国社会主

义青年团成立100周年，则中国社会主义青年团成立的那一年是()

A.辛酉年B.辛戊年C.壬午年D.壬戌年

11.设抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，准线为，，点4为抛物线C上一点，以尸为

圆心，14为半径的圆交”于5、O两点，若N5FO=12()。，A45。的面积为2石，则。=

()

A.1B.后C.当D,2

10%—m,x<-

21(e是自然对数的底数)在定义域R上有三个零点，

(xex—2mx+m,x>-

则实数TH的取值范围是()

A.(e,+oo)B.(e,5]C.(e,5)D.[e,5]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.(%+衰)6的展开式中％3项的系数为.(用数字作答)

14.已知数列｛斯｝是等比数列，若2al=a3a4,且6^是与2的等差中项，则q的值是.

15.已知F是双曲线C：/-y2=i的右焦点，p是c的左支上一点，/(0,g).当^4>?周长最

小时，该三角形的面积为.

16.如图，是半圆。的直径，点C在半圆上运动(不与4B重合),

PA_L平面4BC,若4B=2,二面角A-BC—P等于60。，则三棱锥

P-ABC体积的最大值为

三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，第

22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分

17.(本小题满分12分)心理学家发现空间立体感和逻辑思维能力与性别有关，某数学兴趣

小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和

代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：(单位：人)

几何题代数题总计

男同学22830

女同学81220

总计302050

(1)能否据此判断有97.5%的把握认为空间立体感和逻辑思维能力与性别有关？

(2)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被

抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望。

附表及公式：

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

*2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be)2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

18.(本小题满分12分)设a,b,c分别为钝角三角形ABC内角A,B,C的对边，已知

3acosA=bcosC+ccosB.

(1)求cos(/+》

(2)若b=2,c>b,求c的取值范围.

19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A/iG中，四边形A41GC

是边长为4的正方形,AB=3.再从条件①:BC=5；条件②:AB1；

条件③：平面ABC_L平面/L41cle中选择两个能解决下面问题的条件

作为已知，并作答.

(1)求证：ABJ_平面441GC；

(2)求直线与平面&8的所成角的正弦值.

22

20.(本小题满分12分)已知椭圆C:£+方一ig>。〉。)的右焦点为F,长半轴长为逐，过焦点尸且

垂直于x轴的直线/交椭圆于AB,|阴=".

(1)求椭圆C的方程：

(2)直线机是圆0d2+,2=1的一条切线，且直线m与椭圆C相交于点M,N,求△MON面积的最大值.

21.(本小题满分12分)已知函数f(%)=%ln%—一%+1,aeR.

(1)若函数y=/'(久)的图象在点(1J(l))处的切线方程为y=-2x+1,求实数a的值；

(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的极值点与，%2.

⑴求实数a的取值范围；

(ii)当0<mW2时,证明:力+心吟

(二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，若多选，则按所做的第一题计

分.作答时先涂题号.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

Y=/Cl.

在直角坐标系xOy中，曲线G：1一(/为参数，f，0),其中04a<〃，在以。为

[y=fsina

极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。2：0=2sin8,C3：p=2y[3cos00

(1)求。2与C3交点的直角坐标；

(2)若C]与相交于点A,&与C3相交于点5,求|A3|的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设a、b、c、d均为正数，且a+〃=c+d,证明：

(1)若ab>cd；则五+界>6+；

(2)>Vc+4d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

2022年陈仓区高考模拟检测试题（二）

理科数学参考答案

一、选择题:

题号123456789101112

答案DCDACBAACDAB

二'填空题：

13.60；14.1；15.-；16.-.

29

三、解答题：

17.解：(1)由表中数据得丹2的观测值［2=50x(22X12-8X8)-5.556>5.024,

30x20x30x20

・・・根据统计有97.5%的把握认为空间立体感和逻辑思维能力与性别有关.（6分）

（2）由题可知X可能取值为0、1、2,

15123「2「o1

P(X=0)=-^=P(X=1)=A?*=2,P(X=2)=^^=—

28C；287Cl28

故X的分布列为:

X012

p1531

28728

1531

二E(X)=0x—+lx-+2x—=(12分)

287282

18.解：(1)因为3acosA=bcosC+ccosB,所以由正弦定理可得：3sinAcos4=sinBcosC+sinCcosB,

即3sin力cos4=sin(B+C)=sinA,又sin4>0,所以cosA=g,且sin4=竽，

故cos(4+*)=乎(cos4—sinA)=(6分)

(2)因为cos4=g>0，所以4为锐角，又c>b,所以C>B,因为△ABC为钝角三角形，

所以C为钝角.因为a2=炉+c?—2bccosA=©2-+4,所以a?+廿—©2=8-1c<0,

解得c>6.(12分)

19.解：选择①②：

（1）因为力C=4,4B=3,BC=5,所以4B1AC.又因为力B•L44,

ACnAAt=A,

AC,AA1u平面441clC.所以4B_L平面441clC.（5分）

(2)由(1)知48_L4C,ABLAAr.因为四边形441cle是正方形，所以4cly14.

如图，以4为原点建立空间直角坐标系力-xyz,则4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),

4i(0,4,0),Q(0,4,4),A^B=(3,—4,0),=(0,0,4)，BC=(-3,0,4).

设平面AiBCi的一个法向量元=(x,y,z),则1元•9:0,即｛普二^丫二仇

令y=3,则％=4,z=0,所以元=(4,3,0).设直线BC与平面为BC1所成角为氏

则sin8=|cos(元，五＞|=暮普=】•所以直线BC与平面4BC1所成角的正弦值为芜(12分)

|DC||71|25N5

选择①③：(1)因为AC=4,AB=3,BC=5,所以4B_L力C.又因为平面ABC_L平面441GC,

平面力Ben平面4A1C1C=AC,ABU平面48c.所以AB1平面441clC.（5分）

(2)由(1)知4B_L4C,ABLAA1.因为四边形A&GC是正方形，所以aCJ.44「

如图，以4为原点建立空间直角坐标系4一xyz,则4(0,0,0),B(3,0,0),C(0,0,4),

41(0,4,0),G(0,4,4),A^B=(3,-4,0),=(0,0,4).BC=(-3,0,4).

设平面&BC］的一个法向量元=(x,y,z),则］元•9:0,即｛:;二；y=°'

(元.&G=o,z

令y=3,贝改=4,z=0,所以记=(4,3,0).设直线BC与平面&BC1所成角为。，

贝Usin8=|cos＜而，亢＞|=酷=2所以直线BC与平面&BG所成角的正弦值为(12分)

|DC||R|25Z5

20.解：⑴由题意知：a=&①,"-=-7^②

①®联立，解得片=6,6=3.所以椭圆的方程为：+1=1；(4分)

⑵①当直线的斜率不存在时，直线x=l或x=-l,

当》=±1时，y=土®，则S欣亚；②当斜率存在，设直线方程为丫="+机，

/2A/WCZ/V2

因为直线与圆相切，则*=^=1,即加2=1+公

J1+公

2

直线与椭圆联立:",6得（1+2公卜2+4kmx+2m-6=0,

A>0,即16公布-4（1+2公）（2机2-6）>0,

将1=1+二代入得40k2+6>。恒成立，且占+三=-普7,用x=型二,

1+2&1+2女之

所以|MN|=Ex、仁丝]14x网==.迈夫”哈£

11YU+2/J1+2/1+2公

22

”11,^,1,Jl+k2XJ10-2+4'（l+Jt）（10A;+4）

所以=卅凶X1=----——^-----

22

乙1।乙K（1+2A:）

令f=1+2公（d1）,即5-=0©+2（胃+|=/需2）+为＜河,

所以当』=1时，与“次取得最大值，且最大值为2.

综上，AWON面积的最大值为2（12分）

21.解:(I)因为f(x)=Inx-ax,则尸(1)=-a,

又/"⑴=一会所以在点(1,/(1))处的切线方程为y+：-a(xT)，即y=-ax+],

又该切线为y=-2x+1,则-a=-2且]=1,所以a=2；(4分)

(11)0)函数/(%)定义域为(0,+8),因为函数f(x)在(0,+8)内有两个不同的极值点与，x2,

即等价于函数r。)=伍x-ax在(0,+8)内有两个不同的零点%],x2.

设/i(x)-Inx—ax,由h'(x)=

当aW0时,/i'(x)>0,九(久)在(0,+8)上单调递增，至多只有一个零点；

当a>0时，在(0,*上/i'(x)>0,h(x)单调递增；在(；,+8)上"(%)<0,九(%)单调递减，

所以，当X时，f'(X)max=/'(》=Tna-l,函数r(x)有两个零点，则必有r(X)max>0，

即—，na—1>0,解得0<a<：,又尸(劫=In"=0(易证Inx<V^),/1(l)=—a<0>

所以/''(%)在(1,*和。粉上各有一个零点，故/’(%)有两个零点时，a的范围为0<a<£.(8分)

(ii)法1：由(i)可知％i，%2是九(%)=①工一QX的两个零点，不防设0V/V5V%2，

ax

由仇—axr=0且"'2—2=0，得Q=]詈.

因为Xl+X]>受竺山辿一小>0。其善噎一7n>0(*)

a%1-％2--1

令£=葭£(0,1),则(*)=Int-冷巾V0(**)，记g(t)=ln£一吊巾V0,tE(0,1),

由d⑴=t-；禽，+1，令p(t)=产一2(?n-l)t+1,0<m<2.

又4=4(m—l)2—4=4m(m-2)<0,则p(t)>0,即g'(t)>0,

所以g©在(0,1)上单调递增，故g(t)Vga)=0,即(**)成立.所以不等式/:成立.(12分)

法2：欲证第1+%1>:，由0〈7nW2,0<a<1,则只需证：

不防设0V/<^<%2>则伉与—a%i=0且m％2-ax2=0，

g=g=122M所以三0任3!3西一2>00驾哇一2>0(*)

117

X2Xr-x2axt-x2葭-1'

令”董6(0,1),贝i」(*)=int-^5？<0(**),记9«)=1区一^^」€(0,1),由/。=熟20,即

g(t)在(0,1)上单调递增，故g(t)Vga)=0,即(**)成立.故%i+%2>:.(12分)

22。解：(1)由曲线。2：p=2smG1化为p1=2psinG'x2+y2=2y9

同理由。3：2=2j5cos6,可得直角坐标方程：x2+j2=243x,

旦

2X=

联立｛X+/-2JL=0，解得4(X=0或4^T，

x2+y2-2V3x=0J=03

J=—