机械工程控制基础 第五章 系统的稳定性

机械工程控制基础华中科技大学材料学院机械工程控制基础第一章自动控制的一般概念第二章控制系统的数学模型第三章控制系统的时域分析法第四章频域分析法第五章控制系统的稳定性第六章控制系统的校正第五章系统的稳定性5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh稳定判据5.3Nyquist稳定判据5.4Bode稳定判据5.5系统的相对稳定性5.1系统稳定性的初步概念稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。1稳定性的初步概念

如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。小球的稳定性稳定性的初步概念工程实例稳定性的初步概念-正反馈加力

线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移,是逐渐收敛的,即系统的时域响应能最终收敛到一个稳定状态,则称该线性定常系统是稳定的;反之，如果时域响应发散,则该线性定常系统就是不稳定的。线性定常系统稳定的充分必要条件系统的特征方程式为

经过研究得出如下结论：线性定常系统稳定的充分必要条件是,特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根,即特征方程的根均在复平面的左半平面。由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点,因此也可以说,线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传函的极点均在复平面的左半平面。线性定常系统传递函数的通式为

若线性定常系统在复平面右半平面没有极点,但虚轴上存在极点,则称系统为临界稳定。在工程上,临界稳定属于不稳定,因为参数的微小变化就会使极点具有正实部,从而导致系统不稳定。线性定常系统的临界稳定条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。反馈系统稳定的充要条件对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：

设输入信号为单位脉冲信号，则有：从上式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s，全部具有负实部。

综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。线性系统稳定的充要条件线性系统稳定充要条件的例子控制系统李亚普诺夫稳定性

对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。

A.M.Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。李亚普诺夫意义下稳定性的定义稳定的定义则非线性时变系统——表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）李亚普诺夫稳定的定义≤定义对于任意给定的实数，都对应存在实数满足，使的任意初始状态出发的轨线有≤ε

（对所有

t≥t0）成立，则称为Lyapunov意义下是稳定的。渐近稳定如果系统的平衡状态是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线，当时，收敛于，则称为渐近稳定。Lyapunov意义下稳定渐进稳定渐进稳定5.2Routh稳定判据稳定判据Routh稳定判据:系统的特征方程为必要条件：（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。充分条件：劳斯阵列第一列所有元素为正。劳斯阵列符号改变一次符号改变一次Routh判据的特殊情况-方法一改变一次改变一次1某行第一个元素为零，其余均不为零。方法一:Routh判据的特殊情况-方法二改变一次改变一次劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。改变一次在这两种情况下,

两个大小相等符号相反的实根表明系统在复平面内可能存在两个共轭虚根

以虚轴对称的两对共轭复根,此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。

下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到第一种情况,可用一个任意小的正数ε代替为零的元素,然后继续进行计算,完成劳斯表。例考虑图所示的系统,确定使系统稳定的K的取值范围。控制系统框图解由图可知,系统的闭环传递函数为所以系统的特征方程为列劳斯表如下：根据劳斯判据,系统稳定必须满足因此,使闭环系统稳定的K值范围为当K=14/9时,系统处于临界稳定状态。

需要指出,在运用劳斯稳定判据分析系统稳定性时,有时会遇到下列两种特殊情况：

(1)在劳斯表的某一行中,第一列元素为零,而其余各列元素均不为零,或部分不为零;(2)劳斯表的某一行元素全部为零。Routh判据的应用Y(S)X(S)-5.3Nyquist稳定判据幅角定理在s平面上任选一封闭曲线，并使上每个点不包含的零点与极点，则映射到平面上也是一条封闭曲线。当s顺时针沿变化一周时，向量端点轨迹按顺时针围绕原点总圈数等于封闭曲线内包围的零点数目与极点数目之差，其中，与是指在内的零点数与极点数。幅角定理[s][F(s)]乃氏判剧-形式Ⅰ

闭环系统稳定的充要条件是，当由变到时，系统的开环频率特性按逆时针方向包围（-1，j0）点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目。否则，系统不稳定。1形式Ⅰ形式Ⅰ形式Ⅰ[F(s)][GH(s)][s][GH(s)]乃氏图负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于）段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；乃氏图负穿越实例1乃氏图负穿越实例2综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的情况为：（Ⅰ）不包围（-1，j0）点，若则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（Ⅱ）逆时针包围（-1，j0）点次，若则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（Ⅲ）顺时针包围（-1，j0）点，闭环系统不稳定。乃氏图负穿越实例2乃氏判剧-形式Ⅱ闭环系统稳定的充要条件是，当角频率由0变化到＋∞时，开环频率特性正、负穿越平面负实轴上（-1，-∞）段的次数差为，这里是开环传递函数极点中处于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不稳定。乃氏判剧-形式Ⅱ例子：如图所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。解：所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定系统稳定系统不稳定系统稳定设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。的轨迹如图所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围的值，该系统都是稳定的。，所以对于任何设系统具有下列开环传递函数:试确定以下两种情况下，系统的稳定性：

增益K较小增益K较大。小K值时是稳定的大K值时是不稳定的¥平面GHReIm-¥=w¥=w+=0w-=0w1-´000===ZRP¥平面GHReIm-¥=w¥=w+=0w-=0w1-´220===ZRP设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性。开环传递函数：表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故系统是不稳定的。开环传递函数在s右半平面内有一个极点()，奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针方向包围点一次,因此问题讨论1在引入Nyquist判剧时，为什么只就开环极点在虚轴上的分布情况进行讨论而没有就开环零点的情况进行讨论？2原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，虚线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那一个环节有关系，在给出的Nyquist判剧形式Ⅰ与形式Ⅱ中的具体关系是什么？3根据Nyquist判剧给出如下情况的分析：对于P=0的开环系统，若其开环频率响应通过（-1，j0）点，则系统处于什么状态？对于最小相位系统，闭环系统稳定的充要条件是，；否则不稳定。

乃氏判剧-形式Ⅴ乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内容如下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放在系统开环频率特性即将包围（-1，j0）点的最里层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）点，则该闭环系统稳定，否则不稳定。乃氏判剧-形式Ⅵ乃氏判剧-形式Ⅴ实例在伯特图上，在幅值的区域内，当角频率增加时，相频特性曲线从下向上穿越线称为正穿越；相频特性曲线从上向下穿越线称为负穿越；伯特图负穿越形式Ⅲ闭环系统稳定的充要条件是，在开环对数幅频特性不为负值的所有频段内，对数相频特性与线的正穿越与负穿越次数差为，这里是开环传递函数位于s平面右半部的极点数目。否则，闭环系统不稳定。

形式Ⅳ闭环系统稳定的充要条件是，在BODE图0dB线上方，开环频率响应的对数幅相特性对线的正、负穿越次数差应等于，其中为s平面右半部含有的开环传递函数极点的数目。否则，闭环系统不稳定。若系统不稳定，系统的开环增益增加大于原来倍，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。

乃氏判剧-形式Ⅶ若系统不稳定，系统对频率为的信号的相角增加大于，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。乃氏判剧-形式Ⅷ5.5系统的相对稳定性设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳定。相对稳定性（b）（a）-1基于Nyquist判剧，当开环传递函数在s平面右半部无极点时，其开环频率响应若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包围点（-1，j0），从而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist图上，开环频率响应与点（-1，j0）的接近程度可直接表征控制系统的稳定程度。相对稳定性的概念

图(a)和(b)所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图(a)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点A距离点较远，图(b)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点B距离

点较近。

（b）（a）-1假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了50%，则图(a)中的A点移动到点,仍在点右侧，系统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到的左侧点，系统便不稳定了。可见前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。（b）（a）-1

通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。（1）相角裕度

我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足：所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移与角的差值，即稳定裕度

对于最小相位系统，如果相角度系统是稳定的(下图)且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度,系统则不稳定(下图右)。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。（2）幅值裕度

把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率，显然它应满足

对于最小相位系统，当幅值裕度Kg>1,系统稳定，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果则系统不稳定.

所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值增大(对应稳定系统)或缩小(不稳定系统)的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。

分贝因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同时考虑相角和幅角裕度。通常要求相角裕度=～,幅值裕度(6分贝)幅值裕度的含义稳定裕度与系统的稳定性

前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。

例：已知最小相位系统的开环传递函数为:试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图(a)(当时)和图(b)(当时)所示。由图(a)可知，当时,系统的相角裕度，由图(b)可知,当时，系统的相角裕度。系统的幅频特性和相频特性分别为时，，有,该系统不稳定；时，，该系统是稳定的。)()(1¥==gggjHjGKww令,则有，故或。对应S平面的坐标原点，舍去。由，求出系统的幅值裕度为由Bode图判断系统的稳定性稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。的轨迹越接近于包围点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示．§５－４乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性剪切频率—对应于的频率，记为相角裕量—在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量．为使系统稳定，相角裕量必须为正值．增益裕度—在相角特性等于的频率处，开环幅频特性的倒数若系统增益Ｋ增大到，则系统达到临界稳定状态。或§５－４乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性稳定的系统，