2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第五章　一元函数的导数及其应用培优课恒成立能成立问题

培优课——恒成立、能成立问题必备知识基础练1.若函数f(x)=x2+4x+blnx在(0,+∞)上是减函数,则b的取值范围是()A.(∞,2] B.(∞,2)C.(2,+∞) D.[2,+∞)2.已知函数f(x)=lnxax存在最大值0,则a的值为()A.1 B.2 C.e D.13.已知函数f(x)=exx+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞) B.(∞,1)C.[1,+∞) D.(∞,1]4.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[2,1]都成立,则实数a的取值范围是.

5.已知函数f(x)=x+aex,其中a∈R,e(1)当a=1时,求函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数;(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.6.已知函数f(x)=ex2ax(a∈R).(1)若a=12,求函数f(x)的单调区间(2)当x∈[2,3]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.关键能力提升练7.(多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且(x+1)f'(x)f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是()A.2f(2)3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+12x+C.f(3)2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+12x+8.若存在x∈1e,e,使得不等式2xlnx+x2mx+3≥0成立,则实数m的最大值为()A.1e+3e2 B.3e+eC.4 D.e219.已知函数f(x)=sin2x+π6x22mx在0,π6上是减函数,则实数m的最小值是()A.3 B.32 C.32 D10.已知函数f(x)=lnx,x>0,kx,x≤0.若∃x0∈R且x0≠0,使得f(x0)=f(xA.(∞,1] B.∞,1e C.[1,+∞) D.1e,+∞11.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnxaxa>12,当x∈(2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为.

12.设函数f(x)=ax33x+1(a>1),若对于任意的x∈[1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.

13.已知函数f(x)=aexx,x∈[1,3],且∀x1,x2∈[1,3],x1≠x2,f(x1)-f(x14.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax1,求实数a的取值范围.学科素养创新练15.已知函数f(x)=(x+a)ex,其中a为常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若f(x)≥e3xex在x∈[0,1]时恒成立,求实数a的取值范围.参考答案培优课——恒成立、能成立问题1.A∵f(x)=x2+4x+blnx在(0,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,即f'(x)=2x+4+bx≤0,即b≤2x24x∵2x24x=2(x1)22≥2,∴b≤2.2.D∵f'(x)=1xa,x>0,∴当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故函数f(x)单调递增,不存在最大值;当a>0时,令f'(x)=0,得x=1a∴当x∈0,1a时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈1a,+∞时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)max=f1a=ln1a1=0,解得a=1e3.Af'(x)=ex1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故f(x)min=f(0)=1+a.若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>1,故选A.4.(∞,15]设f(x)=4x3+4x2+1,x∈[2,1],则f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=23.所以在区间2,23上,f'(x)>0,f(x)为增函数,在区间23,0上,f'(x)<0,f(x)为减函数,在区间(0,1)上,f'(x)>0,f(x)为增函数,因此在闭区间[2,1]上,函数f(x)在x=23处取得极大值f23,在x=0时函数取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(2)=15,所以f(2)=15是最小值,所以实数a≤15.5.解(1)当a=1时,f(x)=x1e则f'(x)=1+1ex∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,又f(0)=1<0,f(1)=11e>故∃x0∈(0,1),使得f(x0)=0,∴函数f(x)在区间[0,+∞)上有1个零点.(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立,即a>ex(2x)恒成立,令g(x)=ex(2x),则g'(x)=ex(1x),令g'(x)>0,得x<1;令g'(x)<0,得x>1,∴g(x)在(∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,∴g(x)max=g(1)=e,∴a的取值范围为(e,+∞).6.解(1)当a=12时,f(x)=exx,f'(x)=ex令f'(x)=0,得x=0;令f'(x)>0,得x>0;令f'(x)<0,得x<0.所以函数f(x)=exx的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(∞,0).(2)当x∈[2,3]时,f(x)=ex2ax≥0恒成立,等价于2a≤exx对任意的x∈[2,3]即2a≤exxmin,设g(x)=exx,则g'(x)=ex(x-1)x2,显然当x∈[2,3]∴g(x)在[2,3]上是增函数,∴g(x)min=g(2)=e2∴2a≤e22,即a≤故实数a的取值范围为∞,e24.7.CD设函数g(x)=f(则g'(x)=[=(x因为(x+1)f'(x)f(x)<x2+2x,所以g'(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上是减函数,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)3f(1)<5,f(3)2f(1)<7,故A错误,C正确;当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上是减函数,所以g(x)>g(1)=12,即f即f(x)>x2+12x+12,故D正确,B8.A∵2xlnx+x2mx+3≥0,∴m≤2lnx+x+3x设h(x)=2lnx+x+3x则h'(x)=2x+13当1e≤x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减当1<x≤e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∵存在x∈1e,e,m≤2lnx+x+3x成立,∴m≤h(x)max.∵h1e=2+1e+3e,h(e)=2+e+3e∴h1e>h(e).∴m≤1e+3e∴m的最大值是1e+3e29.D由f(x)=sin2x+π6x22mx在0,π6上是减函数,得f'(x)=2cos2x+π6xm≤0x∈0,π6,即2cos2x+π6x≤mx∈0,π6,令g(x)=2cos2x+π6xx∈0,π6,则g'(x)=4sin2x+π61x∈0,π6,当x∈0,π6时,π6≤2x+π6则2≤4sin2x+π6≤4,所以5≤4sin2x+π61≤3,即g'(x)<0,所以g(x)在x∈0,π6上是减函数,g(x)max=g(0)=3,所以m≥3,m的最小值为3.10.D由题意可得,存在实数x0≠0,使得f(x0)=f(x0)成立,假设x0>0,则x0<0,所以有kx0=lnx0,则k=ln令h(x)=lnxx,则h'(x)=令h'(x)>0,即lnx>1,解得x>e,令h'(x)<0,即lnx<1,解得0<x<e,则h(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,所以h(x)≥h(x)min=h(e)=lnee所以k≥1e11.1由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1.令f'(x)=1xa=0,得x=1∵a>12,∴0<1a<当0<x<1a时,f'(x)>当1a<x<2时,f'(x)<0∴f(x)max=f1a=lna1=1.解得a=1.12.4由题意得,f'(x)=3ax23,当a>1时,令f'(x)=3ax23=0,解得x=±aa,±aa∈(①当1≤x<aa时,f'(x)>0,f(x)单调递增②当aa<x<aa时,f'(x)<0,f(x)③当aa<x≤1时,f'(x)>0,f(x)单调递增所以只需faa≥0,且f(1)≥0即可,由faa≥0,得a·aa33·aa+1≥0,解得a≥4,由f(1)≥0,可得a≤4.综上可得a=4.13.∞,9e3设x1>x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<2可化为f(x可得函数g(x)=f(x)2x=aexx2x在x∈∴g'(x)=aex(x-1)x2即a≤2x2ex(x令h(x)=2x2ex则h'(x)=-2x[(x-1)2∴函数h(x)在x∈(1,3]内单调递减,∴a≤h(3)=9e则实数a的取值范围是∞,9e3.14.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+lnx,令f'(x)>0,解得x>1e,令f'(x)<0,解得0<x<1所以当x=1e时,f(x)取得最小值,最小值为f1e=1e(2)依题意知,f(x)≥ax1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤lnx+1x对于x∈[1,+∞)恒成立令g(x)=lnx+1x,则g'(x)=1当x>1时,g'(x)>0,故g(x)在(1,+∞)内单调递增,所以g(x)的最小值是g(1)=1.因此a≤g(x)min=g(1)=1,故a的取值范围为(∞,1].15.解(1)由f(x)=(x+a)ex,得f'(x)=(x+a+1)ex,∵函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴f'(x)=(x+a+1)ex≥0在区间[1,+∞)上恒成立,即a≥x1在区间[1,