中考数学各地模拟卷-必考几何探究类压轴题详解20例

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中考数学各地模拟卷-必考几何探究类压轴题详解20例

口如图,在△A8C中.=〃、E分别是边AB、上的动点,且见)

=BE,连接CD,AE点M、N、P分别是CD,AE、•。的中点.设/8=a.

(1)观察猜想

在求器的值时小明运用从特殊到一般的方法，先令a=60?解题思路如下：

如图①，先由A8=4C,BD=BE.得到C£=A。再由中位线的性质得到

PM=PN、NNPM=60。,进而得出是等边三角形，，黑=黑=/

②如图②,当a=90时,仿照小明的思路求整的值.

CE

(2)探究证明

如图③,试猜想瞿的值是否与a(00<a<180°)的度数有关,若有关，请

用含a的式子表示出瞿，若无关,请说明理由；

(3)拓展应用

如图④.AC=2.N8=36：点。、E分别是射线人及射线CB上的动点，

且AD=CE点M,N.P分别是线段CD.AE.AC的中点,当8£>=1时.

请直接写出的长.

国问题提出：

(1)如图1,在四边形A8CD中，连接AC、BD,AB=AD,/BAD;NBCD

二90。，将△A8C绕点4逆时针旋转90。，得到A4OE,点8的对应点落在

点。点C的对应点为点E可知点C、D、E在一条直线上，则AACE为

三角形.BC、CD、AC的数量关系为；

探究发现：

(2)如图2,在。。中，A6为直径，点C为定的中点.点D为圆上一个点.

连接A。、CD、AC、BC、BD,4D<BD,请求出CD、AD、8。间的数

量关系.

拓展延伸：

(3)如图3.在等腰直角三角形A8C中,点尸为A8的中点，若4C=13.

平面内存在一点瓦且AE=10,CE=13,当点。为AE中点时,.

9(1)问题发现

如图①,在Rl&lBC中，NA=90。，八8=。。，点£)是八8上一点.DE//

BC.

填空：BD.CE的数量关系为；位置关系为；

(2)类比探究

如图②,将"OE绕着点A顺时针旋转.旋转角为a(00<a<90°),连接

BD.CE,请问(])中的结论还成立吗？若成立,请给出证明,若不成立.

请说明理由.

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AADE绕点八顺时针旋转，旋转角为a,直线BD,

CE交于点F,若八。=1,八8=6，当NACE=15时，请直接写出8”的长.

□正方形ABCD中，点P为直线A3上一个动点(不与点4B重合)，连接

0P,将DP绕点尸旋转90得到EP,连接过点E作CQ的垂线，交

射线DC于M,交射线AB于M

问题出现：(1)当点。在线段上时,如图I,线段A"AP.DM之间

的数量关系为；

题探究(2)①当点。在线段8A的延长线上时,如图2,线段A"AP.

DM之间的数量关系为；

②当点尸在线段A8的延长线上时，如图3,请写出线段人O.AP.DM之

间的数量关系并证明；

问题拓展：⑶在①@的条件下,若AP=6,4DEM=15。,则DM=.

目下面是数学王老师布置的一到课后思考题.已知：如图1.在中,Z

84c=90。，AB=AC,点。为线段BC上一动点(不与端点8、C重合)，

以AD为边作正方形ADEF,连接请判断C/\BC和CD的数量关

系.«»BB2BB3

小明思考了一会儿了,认为可以先证明AA8。gZUC尸(SAS),从而可得出

CF、8C和CD的数量关系为.(请把正确答案填在横线上)

(2)类比探究

如图2.当点。在线段8C延长线上时,其他条件不变,请判断CE8c和

CD三条线段之间的关系,并说明理由.

(3)解决问题

如图3,当D在线段反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两

侧,正方形ADEF边长为2&,对角线八E、OF相交于点O并连接OC

并求OC的长.

立如图所示，在AABC中，。、E分别是"、AC上的点，DE//BC,如图①,

然后将AIDE绕人点顺时针旋转一定角度，得到图②,然后将6。、CE分

别延长至例、N,使。知=劳。,EN=1CE,得到图③，请解答下列问题：

(1)若八6=AC,请探究下列数量关系:

①在图②中.双>与CE的数量关系是；

②在图③中.猜想AM与AN的数量关系、NAMN与NR4C的数量关系，

并证明你的猜想；

(2)若人8=A・AC(&>1),按上述操作方法，得到图④,请继续探究：AW

与AN的数量关系、NM4N与NB4C的数量关系，直接写出你的猜想，不

必证明.

口已知：A48C,是等边三角形，点、D是MBC(包含边界)平面内一点.连

接CD,将线段CD绕C逆时针旋转60得到线段连接DE,AD,

并延长A。交于点P.

(1)观察填空：当点。在图1所示的位置时，填空：

①与"CD全等的三角形是.

②NAP8的度数为.

(2)猜想证明：在图1中，猜想线段POPE.PC之间有什么数量关系？

并证明你的猜想.

(3)拓展应用：如图2,当A4BC边长为4.A£>=2时,请直接写出线段

CE的最大值.

口(1)探索发现

如图1,在△48C中.点。在边8c上.3双)与△AZJC的面积分别记为

Si与S2.试判断言与黑的数量关系，并说明理由.

(2)阅读分析

小东遇到这样一个问题：如图2.在RlZkABC中.AB=AC,ZBAC=90°,

射线AM交8c于点"点£、尸在AM上.且/CEM=/8FM=90。，试判

断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形.经过推理使问题得以解决.

填空：①图2中的一对全等三角形为；

②8F、CE、EF三条线段之间的数量关系为.

(3)类比探究

如图3,在四边形相6中,AB=AD,人C与8。交于点。点£「在射

线AC上，且NBCF=NDEF=NBAD.

①判断8C、DE、CE三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若00=308,的面积为2,直接写出四边形A8C。的面积.

Q(1)探究发现

下面是一道例题及其解答过程.请补充完整.

如图1.在等边三角形43c内部有一点P,雨=3,PB=4,PC=5.求NAPB

的度数.

解：将A4PC绕点八逆时针旋转60。，得到△APB,连接“'，则A4P产为

等边三角形.

"；P'P=M=3,PB=4,PB=PC=5,

:.FfAPB'P'B2

△BPP,为三角形

・・・NAPB的度数为.

(2)类比延伸

如图2.在正方形人3。内部有一点P,若NAP。=135。，试判断线段必、

PB、PO之间的数量关系，并说明理由.

(3)联想拓展

如图3.在△ABC中,/R4C=I2O。,AB=AC点P在直线AB上方且

=60°,试判断是否存在常数k,满足(&出)OP犷MPC2.若存在,求出k

的值；若不存在.请说明理由.

皿如图I所示，边长为4的正方形人8C力与边长为。(1<«<4)的正方形

CFEG的顶点C重合,点E在对角线AC上.

K»K

【问题发现】如图1所示.AE与8F的数量关系为

【类比探究】如图2所示,将正方形CTEG绕点C旋转,旋转角为a(0<

a<30%请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程,如不成立.

说明理由；

【拓展延伸】若点F为8c的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中,有

点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为.

[Q问题发现：

如图1,在△48。中，AB=AC.//MC=60。，。为8c边上一点(不与点

B.C重合)，将线段A。绕点A逆时针旋转60鸭到从£连接EC,贝I」：

(I)①NACE的度数是；②线段AC,CD,CE之间的数量关系

是.

拓展探究.

(2)如图2,在zMSC中，AB=AC,Z«AC=90°,。为8c边上一点(不

与点仇C重合)，将线段4。绕点A逆时针旋转90得到A£连接EC,请

写出/ACE的度数及线段A£>.BD.CO之间的数量关系，并说明理由；

解决问题：

(3)如图3,在RtZSDBC中,。8=3,DC=5.ZfiDC=90°,若点人满足

AB^AC.Z«AC=900,请直接写出线段A4的长度.

庭【问题提出】在AAAC中,AB=AC/BC,点。和点A在直线8c的同侧.

BD=BC,ZBAC=a.NO8C=0,且a+B=l20。，连接AQ,求NAD8的

度数.(不必解答)

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究.当a=90-0=30对，利用轴

对称知识,以人B为对称轴构造AIBO的轴对称图形连接C。'(如

图2).然后利用a=90。，口=30以及等边三角形等相关知识便可解决这个

问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△O8C的形

状是三角形；NAD8的度数为.

【问题解决】

在原问题中，当N/MCY/A5C(如图1)时，请计算/A/阴的度数；

【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE_L82交直线8。于E.其他

条件不变若8C=7,AO=2.请直接写出线段的长为.

国如图1,点8在直线/上,过点8构建等腰直角三角形A8C,使/8AC

二90。，且人B=AC,过点。作CDJ_直线/于点2连接人D

(1)小亮在研究这个图形时发现,N8AC=N8OC=90。，点儿D应该在

以8C为直径的圆上,则N/1QB的度数为。,将射线人。顺时针旋转

90咬直线/于点£可求出线段AD,BD,CD的数量关系为；

(2)小亮将等腰直角三角形A8C绕点H在平面内旋转,当旋转到图2位

置时,线段AD,B"。。的数量关系是否变化，请说明理由；

(3)在旋转过程中，若CD长为1,当“以)面积取得最大值时，请直接

写AO的长.

[fl如图】,将三角板放在正方形A8CO上，使三角板的直角顶点£与正方

形ABCD的顶点A重合.三角板的一边交CD于点E另一边交CB的延长

线于点G.如■-圆

(1)观察猜想：线段"与线段EG的数量关系是；

(2)探究证明：如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形AB8的对

角线AC上，其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立？着成立,请给予

证明：若不成立.请说明理由：

(3)拓展延伸：如图3,将(2)中的任方形A6CD”改为“矩形A6CZT,

且使三角板的一边经过点从其他条件不变.若A6=a、BC=b,求器的值.

版如图I.在RtAABC中,ZB=90c,AB=2,BC=1,点D,E分别是边

BCAC的中点，连接DE将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为

a.

(1)问题发现

①当a=0用，f=；

②当a=180对.普=.

(2)拓展探究

试判断：当0。&<360对.等的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证

明.

(3)问题解决

当△EOC旋转至八、8、E三点共线时，直接写出线段8。的长.

D0(1)问题发现

如图1.A4CH和均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上，连

接BE.

填空：

①NAE8的度数为；

②线段AD、8E之间的数量关系为.

(2)拓展探究

如图2,A4C8和△£>(7£：均为等腰直角三角形，N4C8=NUCE=90嘀人、

在同一直线上，CM为△。点中。七边上的高，连接BE.请判断NAE8

的度数及线段CM、AE.之间的数量关系，并说明理由.

(3)解决问题

如图3.在正方形A6CD中，CD=2,若点、P满足PD=l,且/BPD=90。,

请直接写出点4到8P的距离.

[B问题发现：

(1)如图L在Rt"8r中,Z4=90°,AB=bAC伙>1),。是AB上一

点,DE//BC,则82EC的数量关系为.

类比探究

(2)如图2,将A4EO绕着点人顺时针旋转.旋转角为a(0。<〃<90,

连接C£,BD,请问(1)中8。EC的数量关系还成立吗？说明理由

拓展延伸：

(3)如图3,在(2)的条件下，将A4ED绕点A继续旋转，旋转角为a(a

>9(尸.直线8。CE交于F点、,若AC=1.AB=43,则当NAC£=15时

BF・CF的值为.

[Q(1)【问题发现】如图1,28C和2公^均为等边三角形,点机D.

E在同一直线上.填空：①线段82CE之间的数量关系为®NBEC

(2)【类比探究】如图2,A48C和A4DE均为等腰直角三角形,NACB=

ZA£D=90°,AC^BC,AE=DE,点B,D,E在同一直线上.请判断线段

BD.CE之间的数量关系及NBEC的度数,并给出证明.

(3)【解决问题】如图3,在△48C中，ZACfi=90°,/A=30。，A8=5,

点。在A3边上，DE_LAC于点E,A£=3.将绕点A旋转，当。后所

在直线经过点8时，点C到直线。石的距离是多少？(要求画出示意图并

直接写出答案)

回如图L在AABC中,48=AC=2.ZB4C=120°,点D、£分别是4C、

8。的中点.连接/)£

定理：在直角三角形中.如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于

斜边的一半.

探索发现：

图1中，黄的值为；带的值为.

(2)拓展探完

若将ACDE绕点C逆时针方向旋转一周.在旋转过程中著的大小有无变化？

请仅就图2的情形给出证明.

(3)问题解决

当旋转至A.D,E三点共线时,直接写出线段的长.

SQ(1)【问题发现】

如图①,正方形AEFG的两边分别在正方形A8C7)的边AB和AQ上，连接

CF.

填空：①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为.

(2)【拓展探究】

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的

结论是否仍然成立，请利用图②进行说明.

(3【解决问题】

如图③，AA6C和八4。石都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB

=AC=4,。为AC的中点.若点。在直线8c上运动，连接0E,则在点。

的运动过程中，线段0石长的最小值为(直接写出结果).

参考答案

1•【解答】(1)②如图②中，作于

21

图②

'：BA=BC,BD=BE,

：.AD=EC,

■:AN二NE,AP=PC,

C.PN//EC,PN=1EC,

'：CM=MD.CP=PA,

C.PM//AD,PM=1AD,

2

:,PM=PN,

'：AB±BC,PM//AB,PN//BC,

:.PM1PN,

，/MPN=9。。,

...△PMN是等腰直角三角形,

■:PH工MN,

：.NH=MH,22

HN-NHsin45°,

ECPN=

MN-V2

*'EC~2~'

(2)如图3中，结论：=sin-^.

CD乙

理由：如图③中，

"：BA=BC,BD=BE,

：.AD=EC,

'：AN=NE,AP=PC,

：.PN//EC,PN=±EC,

•；CM=MD.CP=a,

P—。,

：.PM=PN,

'：PM//AB,PN//BC,

：,ZABC=ZMPN=a

YPHLMN,

：,NH=MH,

・嚏嚼=si吟,23

.・菅si吟.

(3)如图⑤中，AA3C中，ZB=36°,BA=BC,AC=2,在BC上取一点

K,使得8K=AK,则N5=N3AK=36。，ZAKC=ZC=12°,

图⑤

：.AK=AC=BK=2,ZCAK=36°,

"：ZC=ZC,ZCAK=ZB,

：.ACAK^/\CBA,

：.CA2=CK>CB,

：.22=CK(CK+2),

：.CK2+2CK-4=0,

解得CK=-1+V5(负根已经舍弃),

.,.BC=2+-1+V5=l+Vs,

如图④中，

A

D

BEC

图④

'：BD=BE=1,

:.EC=A,

"：PN=1EC,

2

:.PM=PN=叵、

2

VZMPN=ZB,PM=PN,BA=BC,

，XABCsXMPN、

•AC=BC

■.而PN*

...2二曜

MNV5

224

:.MN;咨,

4

市+3

当。E分别在AB,C8的延长线时，同法可得"N=J

综上所述，MN的长为学或客竺.

44

2•【解答】(1)由旋转变换的性质可知，ZCAE=90°,AC=AE,

・•・△ACE为等腰直角三角形，

；.CE=V2AC,

CE=CD+DE=CD+BC,

：.BC+CD=y[?AC,

故答案为：等腰直角；BC+CD=^AC,

(2)延长CO交。。于E,连接AE、BE、DE,

则NCQE=90。，

•・•点C为窟的中点,

•••点E为M的中点，

：.EA=EB,

♦.N8为。。的直径，

二.ZADB=90°,

由⑴得，DE=^(AD+BD).

由勾股定理得，CD2=CE2-DE1=AD2+BD2-1{AD+BD)2=1{AD-BD)

2

i

:.CD=*(BD-AD)；

(3)如图3,当点七在直线AC的左侧时，连接CQ、PC,

•.•CA=CB,点尸为AB的中点，

C.CPLAB,

・「C4=CE,点。为AE中点，

ACQLAE,AQ=QE=1AE=5,

六由勾股定理得，CQ=C?/=12,

由⑴得，AQ+CQ=^Q,

・•.画Q=5+12=17,

解得，PQ=苧，

如图4,当点£在直线AC的，右侧时，连接C。、PC,

由⑵得，尸。=夸(CQ-AQ)=7.

解得，PQ:噜、

故答案为：芥或当M

26

3.【解答】（1）问题发现：

解：'JDE//BC,

,BD-CE

..而AC'

'：AB=MC,

:.BD=k・CE,

'：ZA=90°,

：.AB±AC,

：.BD±CE,

故答案为：BD=k・CE；BDLCE,

（2）类比探究:

解：（1）中的结论还成立，理由如下:

延长CE交6。于尸，如图②所示：

由旋转的性质可知，ZBAD=ZCAE,

'CDE//BC,

・二迫二空

ABAC

,AD-AB

**AEAC'

AABD^AACE,

.•地=岖=左/ABD=NACE,

CEAC'

：.BD=k»EC,

"：ZCBF+ZBCF=ZABD+ZABC+ZBCF=ZACE+ZBCF+ZABC=Z

ACB+ZABC=90°,

：.ZBFC=90°,

：.BDLCE,

(3)拓展延伸：

解：由旋转的性质可知：ZBAD=ZCAE27

,,AD=AB

•AEAC'

/.AABD^/XACE,

：.ZACE=15。=ZABD,

"：乙钻C+NACB=90。，

ZFBC+ZFCB=90°,

.*.ZBFC=90°,

,：ZBAC=90°,AC=1,AB=43,

...tan/ABC=返，

3，

ZABC=30°,

ZACB=60°,

分两种情况：

①0。＜心90。时，如图②所示：

.•.在RtABAC中，ZABC=30°,AC=\,

：.BC=2AC=2,

•.•在RC3FC中，ZCBF=30%15°=45°,BC=2,

：.BF=CF=42；

②a>90附，如图③所示：

设CE=a,在8/上取点G,使NBCG=15。

VZBCF=60%15°=75°,NCBF=ZABC-ZABD=30°-15°=15°,

ZCFB=90°,

：.ZGCF=60°,ZCBF=ABCG,

：.CG=BG=2a,GF=W.

：.BF=BG+GF=(2+Vs)a,

CF2+BF2=BC228

a2+(2a+Vsa)2=22,

解得:标=2-Vs,

••Q=V2-V3,

:・BF=(2+73)际1一(2班)2(2/)=小"吗反

即：5尸的长为血或返署.

4•【解答】（1）DM=AD+AP,理由如下：

•••正方形ABC。，

：,DC=AB,ZDAP=90°,

•••将。尸绕点尸旋转90猾到七尸，连接。石，过点石作。的垂线，交射线

0c于"，交射线A8于N,

：.DP=PE,ZPNE=90°NOPE=90°,

\*ZADP+ZDPA=90°,ZDPA+ZEPN=90°,

ZDAP=ZEPN,

在44。夕与ANPE中，

"ZADP=ZNPE

•ZDAP=ZPNE=90",

DP=PE

/.AADP^ANPE(A4S),

：.AD=PN,AP=EN,29

:.AN=DM=AP+PN=AD+AP；

(2)®DM=AD-AP,理由如下：

•.•正方形ABC。

：.DC=AB,ZDAP=90°,

;将。尸绕点P旋转90得到£尸，连接OE,过点£作8的垂线，交射线

0c于"，交射线A8于N,

：.DP=PE,N尸NE=90°,NOPE=90°,

ZADP+ZDPA=90°,ZDPA+ZEPN=90°,

：.ZDAP=ZEPN,

在八4。尸与ANPE中，

'NADP=NNPE

■ZDAP=ZPNE=90°,

DP=PE

A^ADP^/\NPE(AAS),

：.AD=PN,AP=EN.

：.AN=DM=PN-AP=AD-AP：

@DM^AP-AD,理由如下：

ZDAP+ZEPN=90°,ZEPN+ZPEN=90°,

ZDAP=/PEN,30

又,：/A=/PNEHDP=PE,

:ADAP安APEN,

：.AD=PN,

?.DM^AN=AP-PN=AP-AD；

(3)有两种情况，如图2,DM=33,如图3,DM=«-1；

①如图2：VZDEM=15°,

Z.ZPDA=/PDE-ZADE=45°-15°=30°,

在Rt△雨。中A尸二返A。=高野嚼=3,

：.DM=AD-AP=3-43；

②如图3：VZDEM=15°,

ZPDA=/PDE-ZADE=450-15°=30°,

在Rt△雨。中AP=炎，AO=AP・tan3()o=y/=i,

：.DM=AP-AD=^-1.

故答案为：DM=AD+AP；DM^AD-AP,3-m或«-l.

5.【解答】(1)VZ5AC=90°,ZABC=45°,

ZACB=ZABC=45°,

：.AB=AC,

•••四边形ADEb是正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=900-ADAC,ZCAF=90°-ZDAC,31

/./BAD=NCAF,

则在△BAO和△CAR中，

'AB=AC

■ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：,/\BAD^ACAF(SAS),

：.BD=CF,

■:BD+CD=BC,

：.CF+CD=BC；

故答案为：CF+CD=BC,

(2)•・•四边形4OEE为正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°

,：NBAC=90°,

ZBAC+ZDAC=ZDAF+ZDAC,

即/CAF,

AB=AC

在△ABO和△AC/7中，ZBAD=ZCAF,

AD=AF

/\ABD^/\ACF(SAS),

：.BD=CF,

：.CF=BC+CD；

(3)VZBAC=90°,NABC=45。，

ZACB=ZABC=45°,

：.AB=AC,32

•••四边形AQEF是正方形，

：.AD=AF,ZDAF=90°,

VZBAD=90°-ZBAF,ZCAF=900-ZBAF,

：.ZBAD=ZCAF,

•.•在△A4Z)和△CAF中，

，AB=AC

ZBAD=ZCAF,

AD=AF

：./\BAD^/\CAF(SAS),

ZACF=/ABD,

,/ZABC=45°,

ZABD=135°,

Z.ZACF=ZABD=135°,

：.ZFCD=90°,

...△FCQ是直角三角形.

•.•正方形A3EE的边长为2正且对角线AE、。尸相交于点O.

：.DF=^AD=4,。为。尸中点.

：.OC=1DF=2.

2

6.【解答】解：（1）①BD=CE；

®AM=AN,/MAN:/BAC,

VZDAE=ABAC,

：,ZCAE=ZBAD,

在△BAD和△CAE中

'AE=AD

V.ZCAE=ZBAD.*.^CAE^ABAD(SAS),

AC=AB33

ZACE=/ABD,

■:DM=工BD,ENTICE,

22

：.BM=CN,

在/MBM和△ACN中，

jBll=CN

VZACN=ZABM

AB=AC

:.△ABMQXkCN(SAS),

：.AM=AN,

/.ZBAM=/CAN、即/MAN=ZBAC；

(2)结论：AM=k・AN、NMAN=NA4C理由如下:

'：ABC^ADE,

・・.他=坐，

ABAC

,AB=AD

*'ACAE'

ZCAE=ZDAE+ZCAD,ZBAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZCAE=ABAD,

:.△ADBS/\AEC、

Z.BD=AB=/C,

CEAC'

，：DM二工BD,EN=±CE,

2234

:.DM：EN=K,

'：AB：AC=AD：AE,

：.AD：AE=K,

'：ZADM=ZABD+ZBAD,ZAEN=ZACE+ZCAE,

：.ZADM=ZAEN,

：.^ADM^AAEN,

AN=AD：AE=K,

：.ZDAM=ZEAN,

：.ZNAE+ZMAE=ZDAN+ZMAE,

：.ZMAN=ZDAE,

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZMAN=ABAC.

AM=k,AN,

/MAN=ABAC.

7•【解答】解：（1）①如图1中，:•△ABC是等边三角形,

.\AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=ZABC=60°,

,/将线段。。绕C顺时针旋转60得到线段CE,

：.CE=CD,ZDCE=60°,

是等边三角形，

ZDCE=60°,

VZACD+ZDCB=60°/BCE+/DCB=60。,

：.ZACD=ZBCE,

：./XACD^ABCE(SAS).35

故答案为：ABCE.

②如图1中，VAACD^ABCE,

ZEBC=ZDAC,

ZDAC+ZBAD=ABAC=60°,

ZPBC+ZBAD=6G°,

ZAPB=\S00-ZABC+ZPBC+ZBAP=\SO0-60°-60°=60

故答案为602

(2)结论：PD+PE=PC.

理由：如图1中在尸。上取一点a使得EP=EH,

NAPB=60°,

ZDPE=120°,

：.ZDPE+ZDCE=180°,

AC,D,P,E四点共圆，

：.ZCPE=ZCDE=6G°,

•：EP=EH,

••.△E尸”是等边三角形，

：.PH=EP=EH,/PEH=/DEC=6。。,

：.ZPED=ZHEC,

'：EP=EH,ED=EC,

：./\PED^/\HEC(SAS),36

：.PD=CH,

：.PC=PH+CH=PE+PD.

(3)如图2中，•・FC=4,AD=2,

A4-2<CD<4+2,

：.2<CD<6.

由(1)可知，EC=CD,

•,.EC的最大值为6.

即当点。在CA的延长线上时，CE取最大值为6.

8.【解答】解：⑴结论：？=露

CD

理由：如图1中，作于

37

51=1・BD・AH,Si=工・CD・AH,

2,2，

.•s曰7--B-D»-A-H=BD.

S2-1-DC-AHCD

(2)如图2中，

/CEM=/BFM=ZBAC=90°,

ZAEC=ZAFB=90°,

AZBAF+ZCAE=90°,ZCAE+ZACE=90°,

：.ZBAF=ZACE,

'：AB=AC,

：./\AFB^/\CEA(44S),

：.AF=CE,BF=EF,

'：CE=AF=AE+EF=BF+EF,

故答案为：AAFBACEA,CE=EF+BF.

(3)①如图3中，结论：DE=BC+CE.

38

理由：•:NBCF=NDEF,

：.ZACB=ZDEA,

"：ZBCF=ZBAD,ZBCF=ZABC+ZBAC,ZBAD=ZBAC+ZDAE,

：.ZABC=ZDAE,

'：AB=AD,

：.AABC^ADAE{ASA],

：.BC=AE,AC=DE,

"：AC=AE+CE,

：.DE=BC+CE.

②•.,00=308,

SMOD-3SMBO、S^ODC-3s△OBC,

SAACD=3sA48C,

AABC^ADAE,

••S/\ABC=SMDE—2,

S^ACD-6,

••S四边形ABCZ)—2+6=8.

9•【解答】(1)如图1,将A4PC绕点4逆时针旋转60。，得到A4P6,连

接PP,则A4PP为等边三角形.

'：PP'=PA=?>,P5=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P'B2.

.•.△8P尸为直角三角形.

・•・ZAPB的度数为90460。=150°39

故答案为：直角；150°；

(2)2出2+尸02=082.理由如下：

如图2,把尸绕点A顺时针旋转90得到八4BP,连结PP1

贝IJP§=PO,P'A=PA,N勿P'=90°,

••・△APP是等腰直角三角形，

PP'2=FA2+P'A2=2B42,ZPP'A=45°,

Zv4PD=135°,

ZAP'B=ZAPD=\35°,

：.ZPP'B=\35°-45°=90°,

在RtAPPB中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB)

：.2R\2+PD2=PB2.

⑶k=±V3.

证明：如图③

将八4尸。绕A点顺时针旋转120得到八4尸6,连接PP1过点A作

可得NAPP'=30。，PP'=43PA,PC=P'B,

,：ZAPB=6G°,

：.NBPP=90°,

：.P'P2+BP2=P'B2,

：.(V§E4)2+PB2=PC2

,/伏山)2+PB2=PC2,

.,.k=dV3.40

10•【解答】【问题发现】

解：AE=42BF,理由如下：

,/四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，

AZB=ZCFE=90°,NFCE=NBCA=45。,CE二'F、CELGF,

：.AB//EF,

.,.蛙=出=加，

BFCF

：.AE=y[2BF；

故答案为：AE=V2BF；

【类比探究】

解：上述结论还成立，理由如下:

连接CE,如图2所示：

：.ZBCF=NACE=45ZACF,

在RtACEG和RtACBA中，

CE=42CF,CA=®CB,

GE=CA=V2,41

CFCB

^ACE^/XBCF,

/.AE=V2,

BFCB'

：,AE=^SF,

【拓展延伸】

解：分两种情况：

①如图3所示：

图3

连接CE交GF于H,

,/四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，

：.AB=BC=4,AC=Va4B=4<2,GF=CE=^CF,HF=HE=HC,

•••点E为BC的中点，

：.CF=1BC=2,GF=CE=242,GH=HF=HE=HC=近,

A"=7AC2-HC2=V（W2）2-（V2）2二屈，

.,.AG=AH+HG=V30+V2；

②如图4所示：连接CE交GF于"，

同①得：GH=HF=HE二HC二a,

,,A"=VAC2-HC2-V（W2）2-（V2）2-百，42

:.AG=AH-HG=4^-a；

故答案为：同行或倔-加•

11.【解答】解：（1）.••在A48C中，AB=AC,NA4C=60。,

：.ZBAC=ZDAE=60°

：.ZBAC-/DAC=ZDAE-ZDAC,即/BAD=ACAE,

rAB=AC

在△BAD和△CAE中，,ZBAD=ZCAE,

AD=AE

ABAD^ACAE（SAS）,

/.AZACE=ZB=60°,BD=CE,

/.BC=BD+CD=EC+CD,

：.AC=BC=EC+CD；

故答案为：60°,AC=DC+EC-,

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下：

由(1)得，

：.BD=CE,AACE=ZB=45°,

，ZDCE=90°,

：,CE2+CD2=ED2,

在RtAAOE中，AD2+AE2=ED2,^AD=AE,43

：.BD2+CD2=2AD2；

(3)如图3,作AKLCD于旦连接AO,

•.•在RtZkOBC中，DB=3,DC=5,NBDC=90°,

••BC—49+25=V34,

VZ5AC=90°,AB=AC,

：.AB=AC=^7,ZABC=ZACB=45°,

'：ZBDC=ZBAC=90°,

.•.点8,C,A,。四点共圆，

ZADE=45°,

J△AZ)石是等腰直角三角形，

：.AE=DE,

：.CE=5-DE,

":AE2+CE2=AC1,

：.AE2+(5-AE)2=17,

：.AE=1,AE=4,

.,.AD=&或AD=4V2.

12•【解答】解：【特例探究】①如图2中，作乙48。=NAB。，BD'=BD,

连接C。,AD',

\'AB^AC,ZBAC=90°,

：.ZABC=45°,

'：ZDBC=30°,

/./ABD=ZABC-/DBC=15°,

"AB=AB44

在△ABD和△AB。'中，ZABD=ZABDZ

BD=BDZ

AABD^/\ABD',

：.ZABD=ZABD'=15°,ZADB=ZAD'B,

：.ZD'BC=ZABD'+ZABC=60°,

*：BD=BD',BD=BC,

：.BD'=BC,

•••△O5C是等边三角形,

②•••△O5C是等边三角形，

：.D'B=D'C,ZBD'C=60°,

rAD=ADz

在AAOB和△ADC中，3B二D，c

AB=AC45

/\AD'B^AAD'C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

：,ZAD'B=IZBD'C=30°,

2，

，NADB=30°

故答案为：等边，30°；

【问题解决】解：•.•NOBC<NABC,

.•.60°<a<120°,

如图3中，作NA80=NAB。，BD'=BD,连接C。，AD',

"：AB=AC,

ZABC=ZACB,

,：ZBAC=a,

：.ZABC=1(180°-a)=90°-1a,

ZABD=ZABC-ZDBC=900-la-B,

2r，

同⑴①可证人480名△A5。'，

AZABD=ZABD'=90°-la-P,BD=BD\ZADB=ZAD'B

：.ZD'BC=ZABD'+ZABC=90°-la-0+90°-Aa=180°-（a+0）,

Va+P=120°,

ZD'BC=60°,

由（1）②可知，AAD'B^AAD'C,

：.ZAD'B=ZAD'C,

：.ZAD'B=1ZBD'C=^,

ZADB=30°

【拓展应用】第①情况：当60。<0(<120的，如图3-1,46

D'

图3-1

由（2）知，ZADB=30°,

作AE_L3£）,

在RtAAOE中，ZADB=30°,AD=2,

:.DE=M,

是等边三角形,

：.BD=BC=7,

：.BD=BD'=7,

/.BE-BD-DE=7-Vs；

第②情况：当0°<a<60的，

如图4中，^ZABD'=ZABD,BD'=BD,连接C。，AD'.

同理可得：ZABC=1(180°-a)=90°-1a,

ZABD=ZDBC-ZABC=p-(90°-la),

同(1)①可证人48。^443。，

/.ZABD=ZABD'=p-(90°-la),BD=BD\ZADB=ZAD'B,

：.ZD'BC=ZABC-ZABD'=900-|a-[p-(900-la)]=180°-(a+p),

：.D'B=D'C,ZBD'C=60°.

同(1)②可证△AO归之△AQ'C,47

ZAD'B=ZAD'C,

'：ZAD'B+ZAD'C+ZBD'C=360°,

ZADB=ZAD'B=150°,

在RtAADE中，ZADE=30°,AD=2,

:.DE=g

：.BE=BD+DE=7+43,

故答案为：7+加或7-迎

13•【解答】（1）①如图，在图1中.

VZBAC=90°,且AB=AC,

ZACB=ZABC=45°,

"：ZBAC=ZBDC=9G0,

二.A、B、C、。四点共圆，

二.ZADB=ZACB=45^48

②由题意可知，ZEAD=ZBAC=90°,

ZEAB=ZDAC,

^AE=AD,AB=AC,

/.△EAB^ADAC(SAS),

：.BE=CD,

'：AE=AD,ZEAD=90°,

...△AOE是等腰直角三角形，

：.DE=^AD,

'：CD+DB=EB+BD=DE,

：.CD+DB=Va4£＞；

故答案为45。，CD+DB=^D,

(2)线段AO,BD,CO的数量关系会变化，数量关系为80-CO

理由如下：

如图2,将AO绕点A顺时针旋转90咬直线/于点E

c

则ZCAB=90°,

，ZDAC=ZEAB,

XAD=AE,AC=AB,

：.AEAB^/\DAC(SAS),

：.BE=CD,

\'AE=AD,ZEAD=90°,

...△AQE是等腰直角三角形，

：.DE=^D,49

'：BD-CD=BD-BE=DE,

：.BD-CD=42AD,

(3)由(2)知，ACDA^ABEA,

ACDA=ZAEB,

"：ZDEA=45°,

ZAEB=180°-45°=135°,

：.ZCDA=ZAEB=135°,

ZCDA+ZABC=135%45。=180°,

.\A、B、C、。四点共圆，

于是作A、B、C、。外接圆。O,如图3.

当点。在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，AABD的面积最大.

作OGJ_A3,则。G平分NAOB,DB=DA,在D4上截取一点H,使得。。

=DH=1,

,：NADB=ZACB=45°,

/.ZGDB=22.5°,/DBG=67.5°,

ZDBC=61.5°-45°=22.5°,

ZHCB=ZDHC-ZHBC=45°-22.5°=22.5°,

ZHCB=ZHBC,

：.HB=CH=42,

：.AD=BD=DH+BH=I+V2.

14•【解答】(1)I•四边形ABC。为正方形,50

：.AB=AD,/BAD=90°,

：.ZGAF=ZBAD,

：.ZGAF-ZBAF=ZBAD-ZBAF,即

在△G4B和△心。中，

'NGAB=NFAD

■AB=AD,

,ZABG=ZADF

：./\GAB^/\FAD(ASA),

：.AG=AF,即EF=EG,

故答案为：EF=EG；

(2)成立，

证明如下：如图2,过点E分别作BC、8的垂线，垂足分别为〃、/,

则EH=E/,/HEl=90°,

,/ZGEH+ZHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

二.Z1EF=NGEH,

在AFEI和△GE”中，

"ZIEF=ZHEG

■EI=EH,

,ZEIF=ZEHG51

：./\FEI^/\GEH{ASA),

：.EF=EG；

(3)如图，过点E分别作3C、8的垂线，垂足分别为M、N,

贝IJNMEN=9O。，

：.EM//AB,EN//AD,

/.△CE^ACAD,4CEMs/\CAB,

NE_CEEM_CE

**AD'CA'AB'CA'

,NEEMBFINE_AD.b

**AD=AB'闪而而7，

ZNEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

：.ZGEM=ZFEN,又/GME=NFNE=9。。,

:.AGMEsAFNE,

EF-EN-b,

**EGEM7"

D

15•【解答】解：⑴①当a=0田寸,

在RtAABC中，AB=2,6C=1,根据勾股定理得，AC7AB2+BC2-^5'

•••点D,E是BC,AC的中点，

：.BD=1BC=1,AE=1AC=^-,

2222

故答案为：V5；

②当a=180时,如图2,

・••点E在AC的延长线上，点。在6c的延长线上，

由题意知，CD=1BC,CE=1AC,52

，BD=BC+CD=IBC=1,AE=AC+CE=1AC=亚,

221