广东省清远市2024届数学高二第二学期期末联考试题含解析

广东省清远市2024届数学高二第二学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“指数函数是增函数，函数是指数函数，所以函数是增函数”，以上推理（）A．大前提不正确 B．小前提不正确 C．结论不正确 D．正确3．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（）A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位4．抛物线的焦点坐标为A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）5．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．下列命题中真命题的个数是（）①若样本数据，，…，的方差为16，则数据，，…，的方差为64；②“平面向量，夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；③命题“，”的否定是“，”；④若：，：，则是的充分不必要条件.A．1 B．2 C．3 D．47．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A． B．2 C．或2 D．或8．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（）A．12种 B．24种 C．48种 D．60种9．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．10．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．已知向量，，则（）A． B． C． D．12．已知点P是双曲线上一点，若，则△的面积为（）A． B． C．5 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中含项的系数是__________．14．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有__________种．15．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.16．下图所示的算法流程图中，输出的表达式为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C:的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由18．（12分）“蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败.（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望.19．（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式大于2000仅使用18人9人3人仅使用10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；20．（12分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.22．（10分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（Ⅰ）求证：平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由题先解出，再利用来判断位置【题目详解】，在复平面对应的点为，即在第一象限，故选A【题目点拨】本题考查复数的除法，复数的概念及几何意义，是基础题.2、A【解题分析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平.3、A【解题分析】

由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．【题目详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．故选A．【题目点拨】本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．4、A【解题分析】

根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【题目详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【题目点拨】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．5、D【解题分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大单调增，所以又因为所以b<a所以b<a<c.故选D．6、C【解题分析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于①，由方差的性质得：则数据，，…，的方差为，故正确；对于②，逆命题为平面向量，满足，则向量，夹角为锐角，是假命题，故错误；对于③，命题“，”的否定是“，”，正确；对于④，，，是的充分不必要条件，故正确.故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大.7、A【解题分析】

由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±1．当m=1时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣1时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【题目详解】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±1．当m=1时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣1时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．【题目点拨】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．8、D【解题分析】

直接根据乘法原理得到答案.【题目详解】根据乘法原理，一共有种选法.故选：.【题目点拨】本题考查了乘法原理，属于简单题.9、C【解题分析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【题目详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【题目点拨】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.10、C【解题分析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．11、C【解题分析】

由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【题目详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【题目点拨】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.12、C【解题分析】设，则：，则：，由勾股定理可得：，综上可得：则△的面积为：.本题选择C选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】分析：先求展开式的通项公式，即可求含项的系数.详解：展开式的通项公式，可得展开式中含项，即，解得，展开式中含项的系数为.故答案为5.点睛：本题考查了二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.14、9506【解题分析】分析：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.详解：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为种.故答案为：9506.点睛：本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力.15、【解题分析】分析：根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.详解：的展开式中各项系数之和为0,令，则，解得.的展开式中通项公式为，令时，展开式中含的项为.故答案为：.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．16、【解题分析】

根据流程图知当，满足条件，执行循环体，，依此类推，当，不满足条件，退出循环体，从而得到结论．【题目详解】，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，…依此类推，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环体，输出，故答案为．【题目点拨】本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）定值1【解题分析】

（1）由已知求得，又点在椭圆上，代入求得，即可得到椭圆的方程；（2）设，联立方程组，求得，又由直线的斜率之积等于，化简求得，再由弦长公式和面积公式，即可求解.【题目详解】（1）由已知，即，又点在椭圆上，所以，所以，故椭圆方程为.（2）设，由，得，则，即，且，因为直线的斜率之积等于，，所以，即，又到直线MN的距离为，所以.【题目点拨】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.18、（1）；（2）；（3）分布列见解析，.【解题分析】

（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；（2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有种情况；（3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【题目详解】（1）记至少两次试验成功为事件A，则，答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为.（2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B，则，答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为.（3）X的所有可能取值为0，1，2，3，4.，，，，，所以X的概率分布为：X01234P数学期望.【题目点拨】本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，1【解题分析】

（Ⅰ）根据题意先计算出上个月，两种支付方式都使用的学生人数，再结合古典概型公式计算即可；（Ⅱ）由题求出使用两种支付方式金额不大于1000的人数和金额大于1000的人数所占概率，再结合相互独立事件的概率公式计算即可【题目详解】（Ⅰ）由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：人，则：该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．（Ⅱ）由题意可知，仅使用支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，仅使用支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，且可能的取值为0，1，1．，，，的分布列为：011其数学期望：．【题目点拨】本题考查概率的简单计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题20、（1）（2）【解题分析】

（1）由题意知，QS的轨迹为圆的一部分，PQ的轨迹为双曲线的一部分，ST的轨迹为双曲线的一部分，分别求出对应的轨迹方程即可；（2）由题意设点M（x，y），计算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值与对应的x、y的值．【题目详解】解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0时，双曲线方程为1；③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0时，双曲线方程为1；综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；x＜0、y＞0时，曲线方程为1；x＞0、y＜0时，曲线方程为1；[注]可合并为1；（2）由题意设点M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；则|MA|2y2x2+16＝232；当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为4；此时y＝42；∴点M（﹣2，2）．【题目点拨】本题考查了圆、双曲线的定义与标准方程的应用问题，解题的关键是利用定义求出双曲线和圆的标准方程．21、（1）见解析；（2）2【解题分析】分析：（1）设，，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再