广东省东莞中学2024届高二数学第二学期期末复习检测试题含解析

广东省东莞中学2024届高二数学第二学期期末复习检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（）A．-6 B．-9 C．-11 D．-42．设数列的前项和为，若，且，则（）A．2019 B． C．2020 D．3．若对于实数x，y有1-x⩽2,y+1⩽1A．5 B．6 C．7 D．84．如图，分别为棱长为的正方体的棱的中点，点分别为面对角线和棱上的动点，则下列关于四面体的体积正确的是（）A．该四面体体积有最大值，也有最小值 B．该四面体体积为定值C．该四面体体积只有最小值 D．该四面体体积只有最大值5．设复数（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．6．设圆x2+y2+2x-2=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CDA．22 B．23 C．27．若等差数列的前项和满足，，则（）A． B．0 C．1 D．38．函数的单调增区间为（）A． B．C． D．9．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A． B． C． D．10．已知数列为单调递增的等差数列，为前项和，且满足，、、成等比数列，则()A．55 B．65 C．70 D．7511．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）①若，，且∥，则∥；②若，∥，且∥，则；③若∥，，且，则∥；④若，，且，则.其中真命题的个数是（）A． B． C． D．12．抛物线和直线所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为___.14．设是奇函数的导函数，，当时，，则使成立的的取值范围是________.15．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种.16．在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是______．（写出所有符合要求的序号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予分的降分资格；若考核为优秀，则给予分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立.（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，请写出所有可能的取值，并求的值.18．（12分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求四棱锥的侧面积.19．（12分）某种设备的使用年限(年)和维修费用(万元),有以下的统计数据:34562.5344.5（Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？（附：线性回归方程中，其中，）．20．（12分）已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，恒成立.21．（12分）设.（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.22．（10分）已知曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用函数在处有极值0，即则，解得，再利用函数的导数判断单调性，在区间上存在最大值可得，从而可得的最大值．【题目详解】由函数，则，因为在，处有极值0，则，即，解得或，当时，，此时，所以函数单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；当时，，此时，，则是函数的极值点，符合题意，所以；又因为函数在区间上存在最大值，因为，易得函数在和上单调递增，在上单调递减，则极大值为，且，所以，解得，则的最大值为：.故选C．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.2、D【解题分析】

用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.【题目详解】因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.3、C【解题分析】

将2x+3y+1【题目详解】2当x=3,y=0或x=-1,y=2是等号成立.故答案选C【题目点拨】本题考查了绝对值三角不等式，将2x+3y+14、D【解题分析】

易证，从而可推出面积为定值，则只需研究点到平面的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【题目详解】分别为棱长为的正方体的棱的中点，所以，又，故点到的距离为定值，则面积为定值，当点与点重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点，当点与点重合时，有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【题目点拨】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题5、C【解题分析】分析:先化简复数z,再求z的虚部.详解：由题得=，故复数z的虚部为-1,故答案为C.点睛：（1）本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和运算能力.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.6、C【解题分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四边形ABCD的面积.【题目详解】x2+y令y=0得x=±3-1,则令x=0得y=±2，所以|CD|=2四边形ACBD的面积S=故答案为：C【题目点拨】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、B【解题分析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.8、D【解题分析】

先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间.【题目详解】函数的定义域为，，当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为，所以当时，函数单调递增，故本题选D.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.9、C【解题分析】

先化简集合A，再求，进而求.【题目详解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由题意得，=（0,2），∴，故选C.【题目点拨】本题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，要先化简集合，明确集合的运算法则，进而求得结果．10、A【解题分析】

设公差为d，，，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.【题目详解】由题：数列为单调递增的等差数列，为前项和，且满足，、、成等比数列，设公差为d，，，解得，所以.故选：A【题目点拨】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和.11、B【解题分析】

根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【题目详解】由且，可得，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于，，所以，则，故②正确；若与平面的交线平行，则，故不一定有，故③错误；设，在平面内作直线，，则，又，所以，，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B【题目点拨】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.12、C【解题分析】

先计算抛物线和直线的交点，再用定积分计算面积.【题目详解】所围成的封闭图形的面积是：故答案为C【题目点拨】本题考查了定积分的应用，意在考查学生应用能力和计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

转化为，由于，即可得解.【题目详解】又由于即故答案为：【题目点拨】本题考查了极坐标和直角坐标的互化，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.14、【解题分析】设,则g(x)的导数为：，∵当x>0时,xf′(x)−f(x)>0，即当x>0时,g′(x)恒大于0，∴当x>0时,函数g(x)为增函数，∵f(x)为奇函数∴函数g(x)为定义域上的偶函数又∵=0，∵f(x)>0，∴当x>0时,,当x<0时,，∴当x>0时,g(x)>0=g(1),当x<0时,g(x)<0=g(−1)，∴x>1或−1<x<0故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞)，故答案为(−1,0)∪(1,+∞)．点睛：构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段．构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性．在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标．15、84【解题分析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，故有.故答案为84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.16、①③【解题分析】

根据空间点、线、面之间的位置关系,逐一判断,即可得到答案.【题目详解】对于①,根据平行公理,可知过一点有且仅有一条直线与已知直线平行,在立体几何中也正确,故①正确.对于②,在平面几何中,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.在立体几何中,过直线外一点可以做一个平面和直线垂直,即平面内所有直线和其垂直.故②错误.对于③,根据平行的传递性,平行于同一条直线的两直线平行,在立体几何中也正确,故③正确.对于④,平面几何中,垂直于同一条直线的两直线平行.在立体几何中,垂直于同一条直线的两直线可以是异面直线,故④错误.对于⑤,平面几何中两组对边分别相等的四边形是平行四边形.在立体几何中,两组对边分别相等,可构成空间四边形,故⑤错误.故答案为:①③.【题目点拨】本题考查了命题真假的判定,平面几何和立体几何中线与线位置关系,掌握点线面关系的性质是解题关键,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）所有可能的取值为、、、，.【解题分析】

（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）根据题意得出所有可能的取值为、、、，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出．【题目详解】（1）由题意知，三名同学考核均为合格的概率为，因此，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率为；（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有、、、，则，，.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）先得到平面的垂线,可得即为所求角；（2）容易证明侧面的各个面均为直角三角形,有勾股定理求出各棱长后,将面积求和即可【题目详解】解：（1）底面是正方形,,底面,底面,,平面,直线与平面所成的角为,（2）由题可知,侧面由,,,四个三角形构成由（1）知,,,即是直角三角形【题目点拨】本题考查线面角,考查侧面积,考查线面垂直,考查运算能力19、(1)详见解析;(2);(3)当时，万元.【解题分析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算，，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时，的值：【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：(1)(2)；所求的线性回归方程：(3)当时，万元20、（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解题分析】

（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.【题目详解】（1），①当时，时，；时，在上单调递增，在上单调递减②当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减③当时，在上恒成立在上单调递增④当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）对，恒成立即为：，等价于：令，则时，；时，在上单调递减，在上单调递增令，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减综上可得：，即在上恒成立对，恒成立【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中