安徽省巢湖第一中学2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

安徽省巢湖第一中学2024届数学高二第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（）A．1 B． C． D．2．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；②若开启2号或4号，则关闭1号；③禁止同时关闭5号和1号.则阀门的不同开闭方式种数为（）A．7 B．8 C．11 D．143．在ΔABC中，cosA=sinB=12A．3 B．23 C．3 D．4．随机变量，若，则为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.65．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.166．若函数，则（）A．1 B． C．27 D．7．的值是（）A．B．C．D．8．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A．月份人均用电量人数最多的一组有人B．月份人均用电量不低于度的有人C．月份人均用电量为度D．在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为9．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2410．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．11．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A． B． C． D．12．函数的极值点所在的区间为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)=_____.14．已知函数，，则的最小值是__________15．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．16．若复数是纯虚数，则实数的值为____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点作曲线的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的最小值.18．（12分）设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解；若为假，为真，求的取值范围.19．（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知．证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长．20．（12分）已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.21．（12分）已知函数，数列的前项和为，且满足．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22．（10分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数恰有四个零点，求实数的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：可得：，，即交点坐标为，，当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：，整理可得：，则，同理，当时计算可得：.本题选择D选项.点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.2、A【解题分析】

分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果.【题目详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号，此时有1种方法；第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号，此时有种3方法；综上所述，共有种方式.故选：A.【题目点拨】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.3、B【解题分析】

通过cosA=sinB=1【题目详解】由于cosA=12，A∈(0,π)，可知A=π3，而sinB=12，B=π【题目点拨】本题主要考查解三角形的综合应用，难度不大.4、B【解题分析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果.详解：故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.5、B【解题分析】

两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.【题目详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B.【题目点拨】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.6、C【解题分析】

求导后代入可构造方程求得，从而得到，代入可求得结果.【题目详解】，，解得：，，.故选：.【题目点拨】本题考查导数值的求解问题，关键是能够明确为实数，其导数为零.7、B【解题分析】试题分析：设，结合定积分的几何意义可知定积分值为圆在第一象限的面积的值是考点：定积分的几何意义8、C【解题分析】根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为，∴D正确.故选C.9、D【解题分析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题10、D【解题分析】

设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【题目详解】设点，由，知：，

化简得：，

点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，

，其中，，即可得，

故选：D．【题目点拨】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．11、C【解题分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【题目详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=10，则其与该校学生人数之比为10÷100=0.1．故选C．【题目点拨】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．12、A【解题分析】

求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【题目详解】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．【题目点拨】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．详解：∵P（X=i）=(i=1,2,3)，∴a=3，∴P（X=2）=.故答案选：C．点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)分布列的两个性质：①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．14、【解题分析】

计算导数，然后构造函数，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果.【题目详解】由题可知：令，则由，所以所以，则在递减所以，又则所以函数在递增所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.15、12【解题分析】

由题得高一学生数为，计算即得解.【题目详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、－【解题分析】

由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.【题目详解】因为复数是纯虚数，所以有，.故答案为.【题目点拨】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解题分析】

（Ⅰ）对函数进行求导，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，写出点斜式方程，把原点的坐标代入切线方程，可求出切点坐标，进而求出切线方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以转化为恒成立，构造新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，得到，再构造一个新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，由的单调性，可以求出的最小值.【题目详解】（I）设切点为，因为，所以，所以，得，因为，所以，故l的方程为即.（II）不等式恒成立，即恒成立，记，则，当时，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，则，记，则，令，得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，得的最小值为，所以的最小值为1，因为是增函数，所以的最小值为.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.18、.【解题分析】试题分析：由真可得，由真可得，为假，为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.试题解析：若正确，则，若正确，为假，为真，∴一真一假即的取值范围为.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果；（2）利用题中所给的条件，结合三角形的面积公式求得两条边长，根据三角形的周长求得第三边，之后根据，利用余弦定理得到相应的等量关系式，求得结果.【题目详解】（1）证明：，，，，又，，即.（2）解：又.，.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理，在解题的过程中，需要对题的条件灵活应用，即可求得结果.20、（1）（2）【解题分析】

（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【题目详解】（1）抛物线的焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，联立抛物线方程，消去得：，设，则，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为（2）设，，，不妨设，化简得：，圆心到直线的距离为1，故，即，不难发现，上式又可化为，同理有，所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，，，由条件：，当且仅当时取等号.∴面积的最小值为8.【题目点拨】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题.21、（1）（2）猜想．见解析【解题分析】

（1）先求得的值，然后根据已知条件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想数列的通项公式为，然后利用数学归纳法进行证明.【题目详解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．当时，；当时，；当时，．（2）由（1）猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，由（1）可知猜想成立；②假设时猜想成立，即，此时，当时，，整理得，所以当时猜想成立．综上所述，对任意成立．【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.22、（1）