2024届甘肃天水一中高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届甘肃天水一中高二数学第二学期期末统考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（）．A． B．C． D．2．已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为（）X01PA． B． C．或 D．3．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．4．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种5．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．3 D．7．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（）A．4 B．1 C． D．28．已知点在抛物线上，且为第一象限的点，过作轴的垂线，垂足为，为该抛物线的焦点，，则直线的斜率为（）A． B． C．-1 D．-29．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知复数，则（）A．4 B．6 C．8 D．1011．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．12．已知空间向量，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数对任意的都有，那么不等式的解集为_________。14．如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转.且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为________.15．化简______.16．已知点，，，，复数、在复平面内分别对应点、，若，则的最大值是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上是减函数，即在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）已知正四棱柱的底面边长为2，.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.20．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）设点为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转后得射线，其中也在圆上，求的最大值．21．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F1在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为1．（1）求椭圆C的标准方程．（1）P为椭圆C上一点，且∠F1PF1＝，求△PF1F1的面积．22．（10分）(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2、A【解题分析】

根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c的值．【题目详解】由随机变量的分布列知，，，，∴，故选A．【题目点拨】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．3、C【解题分析】

由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【题目详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．4、D【解题分析】

先排美国人和俄国人，方法数有种，剩下人任意排有种，故共有种不同的站法.5、B【解题分析】

两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④，故选B．考点：变量间的相关关系6、D【解题分析】分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：，故答案为选D.点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题.7、D【解题分析】

由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案．【题目详解】对任意的，成立.所以，，所以，故选D．【题目点拨】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．8、B【解题分析】

设，由，利用抛物线定义求得，进而得进而即可求解【题目详解】设，因为，所以，解得，代入抛物线方程得，所以，，，从而直线的斜率为.故选：B【题目点拨】本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.9、C【解题分析】

通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.【题目详解】根据题意得，所以共轭复数为，对应的点为，故在第三象限，答案为C.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.10、D【解题分析】

根据复数的模长公式进行计算即可．【题目详解】z＝8+6i，则8﹣6i，则||10，故选：D．【题目点拨】本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出是解决本题的关键．11、A【解题分析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．12、D【解题分析】

先求，再求模．【题目详解】∵，，∴，∴．故选：D．【题目点拨】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先构造函数,根据函数的单调性和特殊值解得答案.【题目详解】构造函数,则在R单调减,【题目点拨】本题考查了利用函数单调性解不等式的知识,根据等式特点熟练构造出函数是本题的关键.14、【解题分析】

在四面体中找出与垂直的面，在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.【题目详解】和都是等边三角形，取中点，易证，，即平面，所以.设在平面内的投影为，则在四面体绕着旋转时，恒有.因为平面，所以在平面内的投影为.因此，四面体在平面内的投影四边形的面积要使射影面积最小，即需最短；在中，，，且边上的高为，利用等面积法求得，边上的高，且，所以旋转时，射影的长的最小值是.所以【题目点拨】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.15、【解题分析】

利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可.【题目详解】.故答案为：【题目点拨】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力.16、【解题分析】

由题意可知，点在曲线内，点在圆上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【题目详解】由题意知，点在曲线内，点在圆上，如下图所示：由三角不等式得，当点为正方形的顶点，且点、方向相反时，取最大值，故答案为.【题目点拨】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，写出切线方程即可（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可.【题目详解】（1）当时，，所以，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为；

（2）因为函数f（x）在[1，3]上是减函数，

所以在[1，3]上恒成立，令，则，解得，故.所以实数的取值范围.【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值，导数的应用，恒成立问题，属于中档题.18、（1）见解析（2）.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．19、（1），（2）【解题分析】试题分析：⑴根据题意可得：在中，高∴⑵过作，垂足为，连结，则平面，∵平面，∴∴在中，就是与平面所成的角∵，∴，又是的中点，∴是的中位线，∴在中∴∴考点：线面角，棱柱的体积点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）先求出圆的普通方程，再，由求得极坐标方程。（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，借助两角和的余弦公式与辅助角公式化简可得，再结合角的取值范围得到答案。【题目详解】（Ⅰ）由题意知圆的普通方程为，由得，，即圆的极坐标方程为；（Ⅱ）设，则由都在圆上知且，于是，又，所以，所以当，即时，．【题目点拨】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，以及通过三角函数求最值问题，属于一般题。21、（1）；（1）【解题分析】

（1）由已知可得关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；（1）在中，由已知结合椭圆的定义及余弦定理和三角形的面积公式，即可求解．【题目详解】(1)设椭圆的标准方程为，∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆短轴长为1，∴，解得，，∴椭圆的标准方程为．（1）由椭圆定义知①又∠，由余弦定理得②联立①②解得所以三角形的面积【题目点拨】本题主要考查了