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文档简介

2024届北京市人大学附属中学数学高二下期末调研模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数满足对任意实数,都有,设,,()A.2018 B.2017 C.-2016 D.-20152.已知变量,满足约束条件,则目标函数的最大值为A.7 B.8 C.9 D.103.函数的导函数为,若不等式的解集为,且的极小值等于,则的值是()。A. B. C.5 D.44.过双曲线的一个焦点向其一条渐近线作垂线,垂足为,为坐标原点,若的面积为1,则的焦距为()A. B.3 C. D.55.世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为()A.64 B.72 C.60 D.566.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面,,,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为()A. B. C. D.7.如图是某陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的体积为()A. B.C. D.8.某班制定了数学学习方案:星期一和星期日分别解决个数学问题,且从星期二开始,每天所解决问题的个数与前一天相比,要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”,则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有()A.种 B.种 C.种 D.种9.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为,现用分层抽样的方法抽出容量为的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量().A.70 B.90 C.40 D.6010.广告投入对商品的销售额有较大影响,某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计,得到统计数据如下表(单位:万元)广告费23456销售额2941505971由上表可得回归方程为,据此模型,预测广告费为10万元时销售额约为()A.118.2万元 B.111.2万元 C.108.8万元 D.101.2万元11.设,若是的最小值,则的取值范围是()A. B. C. D.12.在中,若,,,则此三角形解的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_________.14.若关于的不等式(,且)的解集是,则的取值的集合是_________.15.设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过F116.设,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论在上的单调性;(2)若,,求正数的取值范围.18.(12分)已知在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大.(1)求含的项的系数;(2)求展开式中所有的有理项.19.(12分)已知函数,.(Ⅰ)若,求的极值;(Ⅱ)求函数的单调区间.20.(12分)已知动点M(x,y)满足,点M的轨迹为曲线E.(1)求E的标准方程;(2)过点F(1,0)作直线交曲线E于P,Q两点,交轴于R点,若,证明:为定值.21.(12分)求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=1-(1)求A;(2)若B=π2,且b=23,D是BC上的点,AD平分∠BAC,求

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

通过取特殊值,可得,进一步可得,然后经过计算可得,最后代值计算,可得结果.【题目详解】由题可知:令,可得令,则所以又由,所以又所以,由所以故选:D【题目点拨】本题考查抽象函数的应用,难点在于发现,,考验观察能力以及分析问题的能力,属中档题.2、C【解题分析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数即可得答案.【题目详解】作出可行域如图,联立,解得,化目标函数为,由图可知,当直线过时,有最大值为9,故选.【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题的解法。3、D【解题分析】

求导数,利用韦达定理,结合的极小值等于,即可求出的值,得到答案.【题目详解】依题意,函数,得的解集是,于是有,解得,∵函数在处取得极小值,∴,即,解得,故选:D.【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的极值,考查韦达定理的运用,着重考查了学生分析解决问题的能力,比较基础.4、C【解题分析】

利用点到直线的距离可求得,进而可由勾股定理求出,再由解方程即可求出结果.【题目详解】不妨设,则其到渐近线的距离,在直角中,,所以,所以,所以椭圆C的焦距为.故选:C.【题目点拨】本题主要考查双曲线的几何性质,点到直线的距离公式,同时考查方程的思想,属于基础题.5、A【解题分析】分析:先确定小组赛的场数,再确定淘汰赛的场数,最后求和.详解:因为8个小组进行单循环赛,所以小组赛的场数为因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛,所以淘汰赛的场数为因此比赛进行的总场数为48+16=64,选A.点睛:本题考查分类计数原理,考查基本求解能力.6、C【解题分析】由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.7、C【解题分析】

几何体上部分为圆柱,下部分为圆锥,代入体积公式计算即可.【题目详解】解:几何体上部分为圆柱,下部分为圆锥,

其中圆柱的底面半径为1,高为2,圆锥的底面半径为1,高为1,所以几何体的体积.

故选:C.【题目点拨】本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算,属于基础题.8、A【解题分析】分析:因为星期一和星期日分别解决4个数学问题,所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同,都是0、1、2、3天,共四种情况,利用组合知识可得结论.详解:因为星期一和星期日分别解决4个数学问题,所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同,所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天,共四种情况,所以共有=141种.故选:A.点睛:本题考查组合知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键.9、B【解题分析】

用除以甲的频率,由此求得样本容量.【题目详解】甲的频率为,故,故选B.【题目点拨】本小题主要考查分层抽样的知识,考查频率与样本容量的计算,属于基础题.10、B【解题分析】分析:平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标,代入回归方程求出,再将代入回归方程得出结论.详解:由表格中数据可得,,,解得,回归方程为,当时,,即预测广告费为10万元时销售额约为,故选B.点睛:本题考查了线性回归方程的性质与数值估计,属于基础题.回归直线过样本点中心是一条重要性质,利用线性回归方程可以估计总体,帮助我们分析两个变量的变化趋势.11、B【解题分析】

当时,可求得此时;当时,根据二次函数性质可知,若不合题意;若,此时;根据是在上的最小值可知,从而构造不等式求得结果.【题目详解】当时,(当且仅当时取等号)当时,当时,在上的最小值为,不合题意当时,在上单调递减是在上的最小值且本题正确选项:【题目点拨】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题,关键是能够确定每一段区间内最值取得的点,从而确定最小值,通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.12、C【解题分析】

判断的大小关系,即可得到三角形解的个数.【题目详解】,,即,有两个三角形.故选C.【题目点拨】本题考查判断三角形解的个数问题,属于简单题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解题分析】此几何体是一个组合体,由三视图可知上面正四棱柱的高为,其体积为.14、【解题分析】

由题意可得当x=时,4x=log2ax,由此求得a的值.【题目详解】∵关于x的不等式4x<log2ax(a>0,且a≠)的解集是{x|0<x<},则当x=时,4x=log2ax,即2=log2a,∴(2a)2=,∴2a=,∴a=,故答案为.【题目点拨】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.15、10【解题分析】

结合双曲线的定义,求出a的值,再由AF2=6,BF2【题目详解】结合双曲线的定义,AF又AF1+BF即a=6-2又AF2=6,BF2所以F1F2所以双曲线C的离心率为102故答案为:10【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质,考查离心率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.16、【解题分析】

因为,分别令和,即可求得答案.【题目详解】令.原式化为.令,得,.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解题分析】分析:(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)求出f(x)的最大值,得到关于a的函数,结合函数的单调性求出a的范围即可.详解:(1),当时,,在上单调递减;当时,若,;若,.∴在上单调递减,在上单调递增.当时,,在上单调递减;当时,若,;若,,∴在上单调递减,在上单调递增.综上可知,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,∴当时,;当时,.∴.∵,,∴,即,设,,当时,;当时,,∴,∴.点睛:这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性,用导数解决恒成立求参的问题;对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.18、(1)-16;(2).【解题分析】

(1)根据第5项的二项式系数最大可得的值.由二项式定理展开通项,即可求得含的项的系数;(2)由二项式定理展开通项,即可求得有理项.【题目详解】∵只有第5项的二项式系数最大,∴二项式的幂指数是偶数,那么其展开式的中间一项的二项式的系数最大,∴,解得.(1).其展开式的通项.令,得.∴含的项的系数为;(2)由,得,由,得(舍),由,得,由,得.∴展开式中的有理项为:.【题目点拨】本题考查了二项式定理展开的应用,有理项的求法,属于基础题.19、(Ⅰ)极大值,极小值;(Ⅱ)见解析.【解题分析】

(Ⅰ)将代入函数的解析式,求出该函数的定义域与导数,求出极值点,然后列表分析函数的单调性,可得出函数的极大值和极小值;(Ⅱ)求出函数的导数为,对分、、和四种情况讨论,分析导数在区间上的符号,可得出函数的单调区间.【题目详解】(Ⅰ)当时,,函数的定义域为,,令,或.列表如下:极大值极小值所以,函数的极大值,极小值;(Ⅱ)由题意得,(1)当时,令,解得;,解得.(2)当时,①当时,即时,令,解得或;令,解得;②当时,恒成立,函数在上为单调递增函数;③当时,即当时,令,解得或;令,解得.综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值,以及利用导数求函数的单调区间,在处理含参数的函数问题时,要弄清楚分类讨论的基本依据,结合导数分析导数符号进行求解,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.20、(1);(2)-1.【解题分析】分析:(Ⅰ)由,根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆,可求得,从而可得曲线的方程;(II)设,由,点在曲线上可得…,①同理可得…,②,由①②可得是方程的两个根,为定值.详解:(Ⅰ)由,可得点M(x,y)到定点A(﹣1,0),B(1,0)的距离等于之和等于.且AB,所以动点N的轨迹是以C(﹣1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,且长轴长为,焦距2c=2,所以,c=1,b=1,曲线E的方程为:;(Ⅱ)法1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0),由,(x1,y1﹣y0)=λ1(1﹣x1,﹣y1),∴,∵过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,∴,∴…①同理可得:…②由①②可得λ1、λ2是方程x2+

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