2024届天津耀华嘉诚国际中学数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2024届天津耀华嘉诚国际中学数学高二第二学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A． B． C． D．2．已知，且.则展开式中的系数为（）A．12 B．-12 C．4 D．-43．观察下列各式：则（）A．28B．76C．123D．1994．在长方形中，为的中点，为的中点，设则（）A． B． C． D．5．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．6．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（）A．直线与直线共面 B．C．可以是直角三角形 D．7．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．8．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（）（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其概率很接近；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；（3）计算频率通常是为了估计概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）9．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．10．函数的周期，振幅，初相分别是（）A． B． C． D．11．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f（x）由右表给出，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．312．假设如图所示的三角形数表的第行的第二个数为，则（）A．2046 B．2416 C．2347 D．2486二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有种.（用数字作答）14．若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=．15．如图，矩形的四个顶点坐标依次为，记线段以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域的概率为__________．16．若双曲线的焦点在轴上，焦距为，且过点，则双曲线的标准方程为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前项和满足，且。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。18．（12分）如图，四棱锥，底面为直角梯形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）（选修4-5.不等式选讲）已知函数的最小值为.(1)求实数的值；(2)若,且,求证:.20．（12分）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.21．（12分）已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.22．（10分）某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.【题目详解】依题意，令得，，故选D.【题目点拨】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.2、D【解题分析】

求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．【题目详解】∵，且，则展开式，故含的系数为，故选D．【题目点拨】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3、C【解题分析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即考点：归纳推理4、A【解题分析】

由平面向量线性运算及平面向量基本定理，即可化简，得到答案．【题目详解】如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得：．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则和平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、C【解题分析】试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.6、C【解题分析】

（1）通过证明是否共面，来判断直线与直线是否共面；（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立．【题目详解】，如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；沿直线折起成，位置不定，当面面，此时；取中点，连接，则，若有，则面即有，在中，明显不可能，故不符合；在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；【题目点拨】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．7、A【解题分析】

求导，根据导函数的性质解题。【题目详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【题目点拨】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。8、D【解题分析】

利用频率和概率的定义分析判断得解.【题目详解】（1）在大量随机试验中，事件出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；（2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.故选D【题目点拨】本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、D【解题分析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.10、C【解题分析】

利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.【题目详解】依题意，，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.【题目点拨】本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数.11、D【解题分析】

采用逐层求解的方式即可得到结果.【题目详解】∵，∴，则，∴，又∵，∴，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．12、B【解题分析】

由三角形数表特点可得，利用累加法可求得，进而得到结果.【题目详解】由三角形数表可知：，，，…，，，整理得：，则.故选：.【题目点拨】本题考查数列中的项的求解问题，关键是能够采用累加法准确求得数列的通项公式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、720【解题分析】试题分析：本题可以分步来做：第一步：首先从4个盒子中选取3个，共有4种取法；第二步：假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑．由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白红三色，所以我们知道，每个盒子中至少有一个白球，一个黑球和一个红球．第三步：①这样，白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共3种放法．②黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，这里有两种情况：一是两个球放入同一个盒子，有3种放法；二是两个球放入不同的两个盒子，有3种放法．综上，黑球共6种放法．③红球还剩三个可以自由支配，分三种情况：一是三个球放入同一个盒子，有3中放法．二是两个球放入同一个盒子，另外一个球放入另一个盒子，有6种放法．三是每个盒子一个球，只有1种放法．综上，红球共10种放法．所以总共有4×3×6×10=720种不同的放法．考点：排列、组合；分布乘法原理；分类加法原理．点评：本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的．对于较难问题，我们可以采取分步来做．14、【解题分析】试题分析：把直线（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程可得3x+2y7=1．再根据此直线和直线4x+ky=1垂直，可得，解得k=6，故选B.考点：参数方程.15、【解题分析】因空白处的面积，故阴影部分的面积为，故由几何概型的计算公式可得所求概率，应填答案．16、【解题分析】

设双曲线的标准方程为，利用双曲线的定义求出的值，结合焦距求出的值，从而可得出双曲线的标准方程.【题目详解】设双曲线的标准方程为，由题意知，该双曲线的左、右焦点分别为、，由双曲线的定义可得，，则，因此，双曲线的标准方程为.故答案为：.【题目点拨】本题考查过点求双曲线的方程，在双曲线的焦点已知的前提下，可以利用定义来求双曲线的标准方程，也可以利用待定系数法求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】

（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.【题目详解】解：（1）当时，，∵，∴，当时，，∴，∵，∴，∴，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴；（2）由（1）得，∴，∴。【题目点拨】本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.18、（1）见解析（2）【解题分析】分析：（1）根据题意，设法证明平面，即可证得平面平面；；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值.详解：（1）证明：因为为直角梯形，，又因为，所以，所以，所以,又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）作于，因为，所以为中点，由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设，因为，，所以，如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，，9分设平面法向量，则，取，则，所以平面一个法向量，设与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角为正弦值为.点睛：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想19、（1）3（2）见解析【解题分析】试题分析：(1)利用绝对值的三角不等式，即可求解函数的最小值，从而得到实数的值；(2)由(1)知,且,利用柯西不等式作出证明即可.试题解析：(1)因为,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为3,于是(2)由(1)知,且,由柯西不等式得.20、（1）2；（2）16.【解题分析】

（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得.（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【题目详解】（1）解：设准线与轴的交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，，所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.【题目点拨】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.21、解（1）；（2）或.【解题分析】

（1）由是面积为的等边三角形，结合性质，列出关于、的方程组，求出、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果.【题目详解】（1）由是面积为的等边三角形，得，所以，，从而，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意.所以直线的斜率存