大学附中《创新设》数学一轮复习单元能力提升训练：圆锥曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精内蒙古大学附中2014版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于抛物线C：,我们称满足条件的点M()在抛物线的内部,若点M()在抛物线C的内部，则直线与抛物线C(）A．一定没有公共点 B．恰有两个公共点C．恰有一个公共点 D．有一个或两个公共点【答案】A2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1）,则双曲线的焦距为()A．2eq\r(3）B．2eq\r(5)C．4eq\r(3）D．4eq\r（5)【答案】A3．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．—4【答案】C4．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，;则的实轴长为()A． B． C．4 D．8【答案】C5．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M,N两点，且MN的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为()A． B． C． D．【答案】D6．设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点,且AF轴，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．2【答案】B7．平面的斜线AB交于点B，斜线AB与平面成角，过定点A的动直线l与斜线AB成的角，且交于点C，则动点C的轨迹是(）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D8．抛物线的焦点坐标是（）A．（a,0） B．(0,a) C．（0，） D．（0,－）【答案】C9．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（)【答案】B10．已知是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个交点，则实数的值是()A．0 B． C．或 D．以上答案都不对【答案】C11．直线与椭圆相交于、两点，椭圆上的点使的面积等于12,这样的点共有（)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B12．是方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C第Ⅱ卷（非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．抛物线上一点M(1,m）（m〉0）到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A。若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数等于.【答案】14．已知以F为焦点的抛物物上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为。【答案】15．已知椭圆eq\f（x2，16）＋eq\f(y2，4）＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x－eq\r（3)y＋8＋2eq\r(3）＝0上.当∠F1PF2取最大值时,比eq\f（｜PF1｜，|PF2|）的值为．【答案】eq\r(3)－116．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。【答案】4三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．设点，动圆经过点且和直线:相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线.(Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设点为直线上的动点，过点作曲线的切线(为切点),证明：直线

必过定点并指出定点坐标。【答案】(Ⅰ)过点作垂直直线于点依题意得：,所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线,

即曲线的方程是

（Ⅱ)解法一：设、、，则由知，,∴，又∵切线AQ的方程为：，注意到切线AQ的方程可化为：,由在切线AQ上，∴

所以点在直线上;同理,由切线BQ的方程可得：。所以点在直线上;可知，直线AB的方程为：，即直线AB的方程为：，∴直线AB必过定点.

(Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则由知，，得切线方程:.即为：，又∵在切线上，所以可得：，解之得：.所以切点，∴。故直线AB的方程为：化简得：即直线AB的方程为：∴直线AB必过定点。18．抛物线上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,F为抛物线的焦点，并且｜FA|=2，|FB|=5，（1）求直线AB的方程。（2）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积。【答案】(1)由已知得，设点A坐标为,由得所以A(1，2)，同理B（4,-4）,所以直线AB的方程为.(4分）(2）设在抛物线AOB这段曲线上任一点，且。则点P到直线AB的距离d=所以当时，d取最大值，又所以△PAB的面积最大值为此时P点坐标为。法二：，所以△PAB的面积最大值为此时P点坐标为19．如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于,两点,直线,分别与抛物线交于点,．(Ⅰ)求的值；（Ⅱ)记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．【答案】（Ⅰ）依题意,设直线的方程为．将其代入，消去,整理得．从而．（Ⅱ）设，．则．设直线的方程为,将其代入，消去,整理得．所以．同理可得．故．由（Ⅰ）得，为定值．20．在直角坐标平面内，已知点，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程;(2）过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为，轨迹的右端点为点N,求直线MN的斜率的取值范围。【答案】（1)由椭圆的定义知,点P的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆，且，∴∴动点的轨迹的方程是。（2）解法一：依题意，直线过点且斜率不为零,故可设其方程为,由方程组消去，并整理得设,,则，∴∴，,(1)当时,;(2)当时,.。且.综合（1)、(2)可知直线MN的斜率的取值范围是：。解法二：依题意，直线过点且斜率不为零。（1） 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；（2） 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为，由方程组消去，并整理得设,，则，∴，,。且。综合(1）、(2）可知直线MN的斜率的取值范围是：.21．已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线,与直线分别交于两点。（I)求椭圆的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；(Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为?若存在，确定点的个数，若不存在,说明理由【答案】（I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为故椭圆的方程为（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在,且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值(Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，此时的方程为要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于,所以在平行于且与距离等于的直线上.设直线则由解得或22．椭圆的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B,两点，|AF|+|BF|=4，的最小值为0.5.(I）求椭圆E的方程；（II）若直线与椭圆E交于M，N两点（其中），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线过定点.【答案】(1）由椭圆的对称性，设A（x1，y1），B（－x1，－y1)，F(c，0)，因为|AF｜+|BF｜=，即a=2,在三角形AFB中, 由正弦定理得因为0≤≤a2，所以≥，∴b=1.所求椭圆方程为；(Ⅱ)由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2－4=0.由题意得△〉0，即m2－1－4