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文档简介
《信息论与编码》•曹雪虹•课后习题答案
第二章
2.11个马尔可夫信源有3个符号{"L"2,"3},转移概率为:p(wilwi)=l/2,
P(W2lWl)=l/2,P(U3I«1)=O,p(wilw2)=l/3,P(W2IW2)=0,p(〃3lW2)=2/3,
p(〃lI〃3)=1/3,p(〃2l〃3)=2/3,p(〃3l〃3)=0,画出状态图并求出各符号稳态概率0
解:状态图如下
状态转移矩阵为:
‘1/21/20、
p=1/302/3
J/32/3°,
设状态U).U2,U3稳定后的概率分别为W”W2、W3
-W\+-W2+-W?.=W110
233Wi一
295
WP^W-Wi+2卬3=卬2
由<得423计算可得,W2
W\+W1+W3=125
-Wz=W36
3W3
25
卬|+卬2+卬3=1
2.2由符号集{0,1}组成的二阶马尔可夫链,其转移概率为:p(0l00)=0.8,p(0l11)=02
p(l100)=0.2,0(1111)=08p(OIOl)-O.5,p(0U0)=0.5,p(ll01)=0.5,p(H10)=0.5o
画出状态图,并计算各状态的稳态概率。
解:“(0100)=”(00100)=0.8p(OIOl)=p(lOIOl)=O.5
p(0lll)=P(10IU)=0.2p(0110)="(00110)=0.5
“(1100)=”(01100)=0.2p(l101)=p(UI01)=0.5
〃⑴11)=〃(lllll)=0.8〃(1110)="(01110)=0.5
‘0.80.200、
000.50.5
于是可以列出转移概率矩阵:p=
0.50.500
、000.20.8,
状态图为:
设各状态00,01,10,11的稳态分布概率为WbW2.W3,W4有
5
lVi=—
0.8WI+0.5W3=WI14
WP=W0.2W1+0.5^3=IV2W2=~
47
得《0.5卬2+0.2卬4=卬3计算得到・1
0.5卬2+0.8卬4=卬4卬3=—
J=17
卬1+卬2+川3+卬4=1
5
卬4=——
14
同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为求:
2a.3X1/6,
/)和同时出现”这事件的自信息;
\“35
(27“两个1同时出现”这事件的自信息;
(3\
7)两个点数的各种组合(无序)对的嫡和平均信息量;
(4\
/)
(5解两个点数之和(即,构成的子集)的嫡;
\2,3,…12
⑴7两个点数中至少有一个是1的自信息量。
•
p(/x:、)--1x—1+1—x1—-1—
1666618
/(x,)=—log〃(为)=—log1=4.170抗f
1o
(2)
j-
“6636
/(x)=-logp(xj=—log—=5.170bit
(36
⑶
两个点数的排列如下:
111213141516
212223242526
313233343536
414243444546
515253545556
616263646566
共有21种组合:
其中11,22,33,44,55,66的概率是'x』='-
6636
其他15个组合的概率是2X』XL=-L
6618
W(X)=-^p(x,.)logp(x)=-|6x-Llog^+15x-^log-^
,=4.337bitIsymbol
/13。361o1o
(4)
参考上面的两个点数的排列,可以得出两个点数求和的概率分布如下:
X
p(x)
13618129366369121836J
"(X)=p(x,)log。(七)
-fix—log—+2x—log—+2x—log—+2xilog-+2x—log—+-log-
l36361818121299363666
=3.274bit/symbol
(5)
/、11,,11
p(x.)=—X—xl1=•一
,6636
/(x,.)=—logp(七)=一log工=1.710b"
36
(3)Log(今=2
2.5居住某地区的女孩子有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高160厘米
以上的,而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高
160厘米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量?
解:
设随机变量X代表女孩子学历
XX,(是大学生)M(不是大学生)
P(X)0.250.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Yy,(身高>160cm)y2(身高<160cm)
P(Y)0.50.5
已知:在女大学生中有75%是身高160厘米以上的
即:/X])=0.75b"
求:身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
,,/,、,pMp(y./x.),0.25x0.75,...,.
即Hn:/rz(Xj/)x=-logp(xI/y,)=-log''_L=-log-------=1.415bit
〃(必)0.5
2.6掷两颗骰子,当其向上的面的小圆点之和是3时,该消息包含的信息量是多少?当小圆
点之和是7时,该消息所包含的信息量又是多少?
解:
1)因圆点之和为3的概率p(x)=p(l,2)+p(2,l)=-5-
l8
该消息自信息量/(x)=-logp(x)=log18=4.170^7
2)因圆点之和为7的概率
p(x)=p(l,6+/(6,1)+P(2,5)+M5,2+力(3,4+力(4,3)=,
该消息自信息量/(x)=-logp(x)=log6=2.5S5bit
(X、(xi=0X2=1%3=2X4=3)
2.7设有一离散无记忆信源,其概率空间为=.°,,°
(P)(3/81/41/41/8)
(1)求每个符号的自信息量
(2)信源发出一消息符号序列为{202120130213001203210110321
010021032011223210},求该序列的自信息量和平均每个符号携带的信息量
[8
解:/(xi)=log2-----=log2—=\A\5bit
P3)3
同理可以求得/(X2)=2/?Z7,/(X3)=2/?Z7,/(X3)=3bit
因为信源无记忆,所以此消息序列的信息量就等于该序列中各个符号的信息量之和
就有:1=14Z(xi)+137(x2)+12/(%3)+67(x4)=87.81Z?ti
X7X1
平均每个符号携带的信息量为竺之=1.95bit/符号
45
2.8试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍?
解:
四进制脉冲可以表示4个不同的消息,例如:{0,1,2,3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息,例如:{0,1,2,3,4,5,6,7}
二进制脉冲可以表示2个不同的消息,例如:{0,1}
假设每个消息的发出都是等概率的,则:
四进制脉冲的平均信息量H(X1)=logn=log4=2bit/symbol
八进制脉冲的平均信息量H(X2)=log〃=log8=3bit/symbol
二进制脉冲的平均信息量H(X。)=logzi=log2=lbit!symbol
所以:
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2-9“一”用三个脉冲“■”用一个脉冲
(1)I(・)=Log(4)=21(—)=Log[:)=0.415
(2)H=:Log(4)+1Log(g)=0.811
2-10(1)gLog(3)+|Log(|)=0.918
4in
(2)P(黑/黑)=-P(白/黑)=-
1414
1(14、10(⑷…
H(»黑)=MTL0SW+MTL0gUr
59
(3)P(黑/白)=-P(白/白)二-
1414
,、门、
H(Y/白)=-5Log^1y4J+-9Log^-4J=0.94
5
(4)P(黑)=-P(白)=-
12
H(Y)=-Log(3)+-Logl-I=0.918
2.11有一个可以旋转的圆盘,盘面上被均匀的分成38份,用1,…,38的数字标示,其中
有两份涂绿色,18份涂红色,18份涂黑色,圆盘停转后,盘面上的指针指向某一数字和颜
色。
(1)如果仅对颜色感兴趣,则计算平均不确定度
(2)如果仅对颜色和数字感兴趣,则计算平均不确定度
(3)如果颜色已知时,则计算条件燧
解:令X表示指针指向某一数字,则X={1,2,......,38}
Y表示指针指向某一种颜色,则Y={1绿色,红色,黑色}
Y是X的函数,由题意可知pOM=p(Xi)
3|?381838
⑴〃(y)=Zp(v)log--=—log—+2x—log—=1.24bit/符号
狗p(yj)3823818
(2)H(X,y)="(X)=log238=5.25bit/符号
(3)”(X|y)="(X,y)—“(Y)=〃(X)—〃(y)=5.25-1.24=4.01bit/符号
2.12两个实验X和Y,X={xix2X3},Y={yiy2y3},l联合概率「(方也)=%为
r”%生、'7/241/240
%r22r23—1/241/41/24
r3\r32%)、01/247/24
(1)如果有人告诉你X和Y的实验结果,你得到的平均信息量是多少?
(2)如果有人告诉你Y的实验结果,你得到的平均信息量是多少?
(3)在已知Y实验结果的情况下,告诉你X的实验结果,你得到的平均信息量是多少?
解:联合概率pO,8)为
y!Y2Y3
”(x,y)=£p3,M)log2———-
XP(Xi,M)
Xl7/241/240
72411
=2x—log2—+4x—log224+—log24
X21/241/41/24
01/247/24
X3=2.3bit/符号
X概率分布
XX|X2X3〃(V)=3Xglog23=1.58bit/符号
P8/248/248/24
H(Xiy)=W(X,y)-H(y)=2.3-1.58
Y概率分布是=0.72bit/符号
Yyiy2y3
P8/248/248/24
2.13有两个二元随机变量才和匕它们的联合概率为
XFOX2=1
yFO1/83/8
y2-13/81/8
并定义另一随机变量Z=(一般乘积),试计算:
(1)H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)^H(XYZ)-,
(2)H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ)
和H(Z/XY)^
(3)/(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),/(X;Y/Z),/化W和l(X;Z/Y)。
解:
(1)
131
p(Xi)=p(XiX)+p(X|y2)=[+6=7
ooZ
311
P(》2)=P(>2X)+P(X2为)=G+三=彳
ooZ
H(X)=p(X)log/?(x.)=1bitIsymbol
i
131
P(%)=。区%)+P(%2)'1)=-+7=-
ooZ
311
。(》2)=。(西>2)+2。2〉2)=7+7=彳
oo2
H(Y)=P(匕)1ogP(力)=1bit/symbol
J
z=xy的概率分布如下:
zZ[=0Z2=1
-71
p(z)
.88.
2(771|
“(Z)=_ZPZ)=-?log?+QloS«=0.544bitIsymbol
kOOO
P(X|)=P(X|Z|)+P(X|Z2)
P(X|Z2)=0
P(XR)=P(X|)=0.5
p(z,)=p(xlz1)+p(x2zl)
73
"(Ki)=〃(Z|)-p(xZ|)=Q—0.5=z
}oo
p(z2)=/?(%!z2)+/?(x2z2)
P(X2“)=P(Z2)=;
o
(113311、
"(XZ)=-ZZP(x,z*)logp(x&)--log—+-log-+-log-=1.406bitIsymbol
ikk228888)
p(yl)=p(ylzl)+p(ylz2)
〃(邛2)=。
P(MZ|)=P(M)=0.5
P(Z|)=p(y,)+p(),2Z1)
73
P(%Zi)=P(Z|)-p(y,Z|)=石一().5=-
oo
P(Z2)=P(ytz2)+P(y2z2)
。(*2)=P(?2)=:
o
"(yz)=—ZZp(ya)iogp(x&)=一[;iog;+]iog|+:iog;
1.406bitIsymbol
ikkZZoooo
P(X|MZ2)=0
〃(占为%2)=0
,。2邛2)=0
P(XJ|Z|)+P(X]>亿2)=P(X|必)
。(尤1?亿])=。(再月)=1/8
P(X]y2zl)+P(X|%Z|)=P(X|Zj)
113
P*i%ZI)=P(七%)一,(为必Z|)=不一三=£
Zoo
pU2y1z1)+p(x2y1z2)=p(x2y1)
3
,“2邛1)=2区口)=弓
o
P(x2y2zt)=0
P(x2y2zt)+p(x2y2z2)=p(x2y2)
,。2型2)=〃(%2%)=:
o
“(xyz)=-ZZZPQ,力Q)iog2P(苞)3)
iJk
(11333311、
=——log—I—log—l—log—l—log-=1.811bit/symbol
188888888)
(2)
i]3333iiA
-log-+^-log-+^log^+-log-=1.811bitIsymbol
[ooooooooJ
H(x/y)=/7(xy)-//(y)=1.811-1=0.811bit/symbol
H(y/x)="(xy)-"(x)=1.811-1=0.811bit/symbol
”(X/Z)="(XZ)—〃(Z)=1.406-0.544=0.862bitIsymbol
”(Z/X)="(XZ)—”(X)=1.406-1=0.406bit!symbol
H(Y/Z)=H(YZ)-H(Z)=1.406-0.544=0.862bitIsymbol
H(Z/Y)=H(7Z)-//(y)=1.406-1=0.406bit/symbol
“(X/YZ)=H(XYZ)-H(KZ)=1.811-1.406=0.405bit/symbol
H(Y/XZ)=H(XKZ)-H(XZ)=1.811-1.406=0.405bit/symbol
//(z/xy)=77(xyz)-//(xy)=1.811-1.811=0bit/symbol
(3)
/(X;y)=H(X)-H(X/y)=1-0.811=0.189bit!symbol
/(X;Z)=〃(X)—〃(X/Z)=1—0.862=0.138bitIsymbol
/(y;Z)=H(y)-/7(y/Z)=1-0.862=0.138bit/symbol
r(X;Y/Z)=H(X/Z)-H(X/YZ)=0.862—0.405=0.457bitIsymbol
/(y;Z/X)="(y/X)—“(y/XZ)=0.862-0.405=0.457bit/symbol
1(X-Z/Y)=H(X/Y)-H(X/YZ)=0.811-0.405=0.406bit!symbol
2-14
32
--
Vn=49
PO7
-
9
317129
勤
=-+T-曲=1+T-
8p(8
16161616
⑵方法1:
方法2:0.311
2-15
1-8
P(j/i)=P(bl)=P(b2)=-
81
-(1-e)
p⑻何尸幽&2「=一
p(albl)1-8
I(a1;b1)=Log=Logf2(l-
P(al)
P(al)"al)
P(b2)
I(a1;b2)=Log(幽型(eAf、
=log—=Log12可
IP(al)
2.16黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种,即*={黑,白},一般气象图上,黑色的出
现概率p(黑)=0.3,白色出现的概率p(白)=0.7。
(1)假设黑白消息视为前后无关,求信源嫡H(X),并画出该信源的香农线图
(2)实际上各个元素之间是有关联的,其转移概率为:P(白旧)=0.9143,P(黑I白)=0.0857,
P(白I黑)=0.2,P(黑I黑)=0.8,求这个一阶马尔可夫信源的信源嫡,并画出该信源的香农线
图。
(3)比较两种信源嫡的大小,并说明原因。
解(1)”(X)=0.31og2g+0.710g22=0.8813吊1/符号
P(黑I白)=P(黑)
"白).7
P(白I白)=P(白)一一/0.3
P(黑I黑)=P(黑)
P(白I黑)=P(白)
(2)根据题意,此一阶马尔可夫链是平稳的(P(白)=0.7不随时间变化,P(黑)=0.3不随时
间变化)
1
"式X)="(X2lXi)=ZPl,,v)log2-----
ijP(xi,yj)
=0.9143x0.7log2—i—+0.0857x0.7log2——+0.2x0.31og2—
0.91430.08570.2
+0.8x0.3log2-^-
0.8
=0.512bit/符号
2.17每帧电视图像可以认为是由3X10,个像素组成的,所有像素均是独立变化,且每像素
又取128个不同的亮度电平,并设亮度电平是等概出现,问每帧图像含有多少信息量?若有
一个广播员,在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像,试问广播员描述此
图像所广播的信息量是多少(假设汉字字汇是等概率分布,并彼此无依赖)?若要恰当的描
述此图像,广播员在口述中至少需要多少汉字?
解:
1)
H(X')=log2n=log2128=7bit/symbol
W(X,V)=^H(X)=3X105X7=2.1X106bit/symbol
2)
H(X)=log,n-log,10000=13.288bit/symbol
"(X*')=NH(X)=1000x13.288=13288bit/symbol
3)
H(XN)_2.1X106
=158037
H(X)-13288
2.20给定语音信号样值X的概率密度为p(x)=g/le-羽,—00<x<+oo,求HC(X),并证明它
小于同样方差的正态变量的连续燃。
解:
+a0
Hc(X)=-jp.v(X)10g}.r(X)Ja-'dx
-00—oo
+00]+co
二一Jp.v(x)log-^Adx-j/7A(X)(-A|X|)logedx
—QO-o0
-log—+loge?j—/le-zlv(2|x|)rfx
-00
।o1.+?1,
-log—A+logej—・>l(-x)dx+logj—ZA(/lx)Jx
2…2()2
-log^2+21ogxe~Axdx
二一log;4_loge[(1+九1)/"];
[1cii
=-log—%+loge=log—
24
E(X)=0,Z)(X)W
”、1,21,4〃e,2^Tie,2je・e一八,、
W(X)=-log2^-e—=-log—=log--->log---=H(X)
2A2AAA
1
x2+y2<r2
2.24连续随机变量彳和V的联合概率密度为:p(x,y)=7tr2
0其他
求〃㈤,H(Y),⑵和//以
_pn-4
2
(提示:1log2sinxdx=--log22)
解:
正士(-r<x<r)
P(x)P(xy)dy=
5—k兀r
"<(x)=-[p(x)10gp(x)dx
=-£p(x)log2^r~Xdx
Ir71T
=-rp(x)log--dx-fp(x)logVr2-x2dx
JrTITXr
"2______
=1°§———jp(x)logvr2-x2dx
,7TT2i,1,
=log--logr+l--log2^
=log2加"一glog2ebit!symbol
其中:
/p(x)logvr2-x2dx
=f2“一;x]ogj,一x2dx
—7tr
--^yj,2_/2logJ/_.2
令x=rcos^-^-trsin^logrsinft/(rcos0)
r2sin26logrsin田夕
4r7
—rsin-0\ogrsin3cl0
71J)
士fsin2OXogrdOfsin26logsin即6
4(f1-cos2<94-cos26.
一logrI2--------d6+—I2--------logsin田。
兀*27i2
21
-logrpc/6>--logr1cos2013+-flogsin即8-2fcos2。logsinOdO
I£Q..?E
22
=logr----logr[dsin2。+—(——log22)-----[cos20logsinOdO
4J)7t271J)
2兀
=logr-1----Reos261ogsin田。
।।1।
=logr-l+-log2^
其中:
—,cos20logsinGdO
二一Flogsin3dsin23
i(三£、
=—sin20logsin零一fsin20dlogsin0
1九•nzjCos^logje
I22sin/9cos---------d。
71Rsin。
--loge^
2cos2Odd
71山
2.后1+cos20_.
——log,el2------------ad
71山2
17C_।K
----log2ed0-----log,ecosIQdO
11£
--log2e--log2esin2^|2
1,
--^g2e
P⑴=⑶)心=市=(-r<y<r)
p(y)=pM
HC(Y)=Hc(X)=log,加•-glog?ebit/symbol
H『(Xy)=-JJp(孙)logp(xy)dxdy
R
=_g〃(xy)log5dxdy
=log+^p{xy)dxdy
R
2
=log2TITbit/symbol
4(X;D=乩(X)+HC(Y)-Hc(XY)
1
=2Iog2rcr-log2e-logrcr
-log27i-log2ebit/symbol
2.25某一无记忆信源的符号集为{0,1},已知户@=1/4,P(1)=3/4o
n\
1
7求符号的平均燃;
X
)
(2/有100个符号构成的序列,求某一特定序列(例如有勿个“0”和(1OO-/77)
个
“1”)的自信息量的表达式;
(3
解计算⑵中序列的熠。
•
⑴•
fl.1313
"(X)=-Zp(x,)logp(x,)=-T10g-+-10g-=0.811bit/symbol
14444
⑵
31oo-wt
4⑼
3100-,"
/(%,.)=-logp(x,.)=-log甲j-=41.5+1.585/??bit
⑶
//(Xl00)=100/7(%)=100x0.811=81.1bit/symbol
2-26
X
11IX1
1!!--一
420
4440888
31
p^1
311-(z-
\3p(ij)=
105511011O171510
-1
J1!6J_J_
-36
.6—
<636771123636;
H(IJ)=41-Log(8)
+2----LogflO)+2-----Log(15)+3—Log(36)+—Log(12)=3.415
o
2.29有一个一阶平稳马尔可夫链Xl.X2,…,Xr,…,各Xr取值于集合A={a1.a2.a3},已知起
始概率P(X「)为?=1/2,02=03=1/4,转移概率如下图所示
123
11/21/41/4
22/301/3
32/31/30
(1)求(Xl,X2,X3)的联合嫡和平均符号嫡
(2)求这个链的极限平均符号嫡
(3)求”2和它们说对应的冗余度
解:⑴
”(Xl,X2,X3)="(Xl)+"(X2lXl)+“(X3lX2.Xl)
=〃(Xl)+”(X2lXl)+〃(X3lX2)
H(X1)——log------log--------log-=1.5bit/符号
224444
XPX2的联合概率分布为
123
P(Xl/2,)P(X2j)=Zp(X*2j)
i
11/41/81/8
X2的概率分布为
21/601/12
123
31/61/12014/245/245/24
那么
//(X2lXi)=jlog4+^log4+|log4+^-log|+-^-log3+ylog|+-^-log3
48802120212
=I.209bit/符号
X2X3的联合概率分布为
123
P(X2iX3j)
17/247/487/48
25/3605/12
35/365/120
那么
771535535
”(X3lXi)=—log2+—log4+-log4+—log—4--log3+—log—+—log3
244883627236272
=1.26bit/符号
H(Xi,X2,X3)=1.5+1.209+1.26=3.969M/符号
3969
所以平均符号嫡〃3(XI,X2,X3)=-^―=1.323/7"/符号
J]_J
244
22
(2)设ai,a2,a3稳定后的概率分布分别为W1,W2,W3,转移概率距阵为P=0
33
22
0
537
122
-W\+-W2+-Wi=l
2337
WP^W
由,「得到-Wi+-Wi=W2计算得到,^2=—
工卬,=14314
卬1+皿2+卬3=1
W3=~
[14
又满足不可约性和非周期性
一3Aill321
"式X)=、W,"(X1%)=]"(5,11)+2乂『?(5,§,0)=1.25帅/符号
⑶“0=log3=1.58m/符号小=1.5m/符号“2=L5+;209=I355次〃符号
125125125
o=l-no=l---=0.21%=1—0=1—--=0.61772=1-〃2=1—-:—=0.078
Z1.581.51.355
/2
ai
2-30
(I)求平稳概率
解方程组
r2
1(WA西、
3
cW-w
J0In2/12n/
<3
W1+W2=1
4
得到
<W2>1
(2)H(S/s1)=|Log(|)+|tog(3)=0.918
H(S/s2)=0
信源嫡为:
31
H(S)=W1H(S/s1)+W2H(S/S2)=-0.918+-0=0.688
2-31
11\_
n1J332
「Wl、
333J
W2W2
£J33231
P(j/i)=解方程组得到Wl=W2=,W3=[
3331J<W3>8
0
11
033
122
W1+W2+W3=1
H(X2/a)=Log(3)=1.585
H(X2/b)=Log(3)=1.585
H(X3/c)=Log(2)=1
331
Hco(X)=WdH(X2/a)+W2H(X2/b)+W3H(X3/c)=-Log(3)+-Log(3)+-Log(2)=1.439
884
2.32一阶马尔可夫信源的状态图如图2—13所示,信源X的符号集为(0,1,2)。
(1)求信源平稳后的概率分布P(0),P(l),P(2)
(2)求此信源的尴
(3)近似认为此信源为无记忆时,符号的概率分布为平稳分布。求近似信源的嫡H(X)并与
〃,进行比较
令状态0,1,2平稳后的概率分布分别为W1,W2,W3
(1-P)WI+“W2+KW3=WI
W二
WP=W223
3KWi+(l-p)W2+“W3=W2_1
得到计算得到,W二
22-3
」=
1川|+卬2+卬3=1
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