人教A版必修五余弦定理

通过对任意三角形边长与角度关系的探究，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．余弦定理：设a、b、c为三角形三边，它们所对的角分别为A、B、C，则：a2＝

；b2＝

；c2＝

.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2．利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形问题：①已知三边，求三个内角；②已知两边和夹角，求第三边和其它两角．3．余弦定理的证明教材利用向量的数量积非常简捷的证明了余弦定理，要很好的体会这种方法．请思考还有其它方法可以证明吗？(1)用坐标法证明：以C为原点，CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(2)用三角方法证明余弦定理．当△ABC为锐角三角形时，如图AD＝bsinC.BD＝BC－CD＝a－bcosC.在Rt△ABD中，由勾股定理AB2＝AD2＋BD2＝b2sin2C＋(a－bcosC)2∴c2＝a2＋b2－2abcosC.当△ABC为钝角三角形时，如图AD＝bsinC，BD＝CD－BC.

＝bcosC－a.在Rt△ABD中，依据勾股定理AB2＝AD2＋BD2，代入整理可得：c2＝a2＋b2－2abcosC，另外两个等式类似可证．重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理，并应用它们解三角形．难点：在解三角形中两个定理的选择．1．余弦定理是勾股定理的推广．特别地，当有一个角为直角(如角A)时，有a2＝b2＋c2.在应用中，如果出现a2＋b2＝c2，则为Rt△；若a2＋b2<c2则为钝角三角形；但若出现a2＋b2>c2，不能因此断定为锐角三角形，只能说明角C为锐角．即：C为锐角⇔a2＋b2>c2；C为直角⇔a2＋b2＝c2；C为钝角⇔a2＋b2<c2.2．可以用方程的思想来看余弦定理，例如b2＝a2＋c2－2accosB，我们可以将其看作以a为未知数的一元二次方程a2－2accosB＋c2－b2＝0.这样一元二次方程的有关知识均可使用，使余弦定理的应用更广泛，更灵活．3．余弦定理是三角形边角关系的重要定理，应用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：1°已知三边，求三个角．2°已知两边和夹角，求其余的边角．4．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也可以使用余弦定理．如：已知a、b、A，可先由余弦定理求出c，即a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边c的解的个数对应三角形解的个数．5．运用余弦定理判断三角形形状时往往化角为边进行化简．化简过程中不可随便约分，以免漏解．[例1]△ABC中，若a∶b∶c＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为(

)A．60°

B．90°

C．120°

D．150°[答案]

C[分析]

已知三边之比可设出三边长，由三边长依据余弦定理可求任一角．[例2]

(2010～2011·福建福州高二期中)在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，b＝3，c＝5，A＝120°，则a＝(

)[答案]

A[解析]

a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120°＝49，∴a＝7.[答案]

A[点评]

用方程的思想理解余弦定理，方便了题目求解．[答案]

D

[点评]

已知两边和其中一边对角，用正弦定理必须讨论，用余弦定理有时可避免讨论．[例4]

在△ABC中，已知c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝c，求角C.[点评]

表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生其中一角的余弦．[答案]

正三角形A．30° B．60° C．120° D．150°[答案]

A一、选择题1．三角形的三边长分别为4、6、8，则此三角形为(

)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不存在[答案]

C[解析]

∵4＋6>8,42＋62<82，∴为钝角三角形．2．在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且sinC＝2sinAcosB，则△ABC是(

)A．等边三角形B．等腰三角形，但不是等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形，但不是等腰三角形[答案]

A又sinC＝2sinAcosB，∴sin(A＋B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)，即sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴A＝B＝C＝60°.∴△ABC为等边三角形．[答案]

D

[答案]

75．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为__________．[答案]

正三角形[解析]

∵b2＝ac，∴a2＋c2－2accos60°＝ac，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．又∵B＝60°，∴△ABC为正三角形．三、解答题*6.(2009·全国Ⅱ)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝