数学多选题知识归纳总结含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.一般地，若函数“X)的定义域为可，值域为［她烟，则称为的"左倍跟随区间";

若函数的定义域为［。,可，值域也为［a,句，则称［a,可为/(X)的"跟随区间".下列结论正

确的是()

A.若［1,“为"％)=加—2%+2的跟随区间,则6=2

B.函数/(x)=l+」存在跟随区间

X

C.若函数〃x)=w—GTT存在跟随区间，则〃ze(一；,0

D.二次函数J.(x)=—存在"3倍跟随区间"

【答案】ABCD

【分析】

根据"k倍跟随区间"的定义，分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.

【详解】

对A,若［1,可为/(x)=d-2%+2的跟随区间，因为/(x)=1?一2x+2在区间［1,b］为增

函数，故其值域为—%+2］,根据题意有"—》+2=R解得6=1或力=2,因为力＞1

故/?=2.故A正确；

对B,因为函数/(尤)=1+：在区间(T&0)与(0,+8)上均为减函数，故若/(x)=l+j存

,11-V5

a=1+—a=-----

b2

在跟随区间目则有＜解得：.

/i+5

b=\+-

a2

故存在,B正确.

对c,若函数“力=〃2-而1存在跟随区间，因为/(尤)=6-J7TT为减函数，故由

b=m-y]a+l

跟随区间的定义可知=a-b=J>+17b+l,a<b

a=in—J、+l

即(a-+l)=(a+l)-伍+1)=。一人,因为〃<b,所以Jq+1++1=1.

易得0<Ja+1<db+1<1-

所以a=J/?+l=加一(1一Ja+1)令/=Ja+1代入化简可得/一/一小=o,同理

1=5币也满足『—，—m=0,即m=。在区间［0,1］上有两根不相等的实数根.

1+4/77>0(1

故《八，解得加W—二,0,故C正确.

-m>0I4_

对D,若/(x)=-+x存在"3倍跟随区间"，则可设定义域为可,值域为［3a,3句.当

a<。K1时，易得/(x)=—+x在区间上单调递增，此时易得a,〃为方程

-^X2+X=3X的两根，求解得x=0或x=-4.故存在定义域H，0］，使得值域为［-12,0］.

故D正确.

故选：ABCD.

【点睛】

本题主要考查了函数新定义的问题，需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最

大值时的自变量值，并根据函数的解析式列式求解.属于难题.

2.1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet,1805-1859)第一个引入了现代函数概念：

“如果对于％的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么>是x的函数”.由此引

发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数"：

l,x&Q

。(%)=《八:八(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是()

A.。(幻是偶函数

B.Vxe/?,P(D(x))=l

C.对于任意的有理数都有。(x+/)=£>(%)

D.存在三个点44。(光|)),3(々,。(工2)),。(毛，。(七))，使AABC为正三角形

【答案】ABCD

【分析】

利用定义判断函数奇偶性，可确定A的正误，根据"狄利克雷函数"及有理数、无理数的性

质，判断其它三个选项的正误.

【详解】

A：由。(X)定义知：定义域关于原点对称，当XG。则一xeQ,当则一

即有。(一幻=。(幻，故。(x)是偶函数，正确；

B：由解析式知:VXGR,D(X)=1或D(x)=0,即。(。(幻)=1,正确；

C：任意的有理数f,当xe。时，1+/€。即。(％+。=。(此，当XGGRQ时，

x+fG6RQ即£>(x+f)=O(x),正确；

D：若存在△ABC为正三角形，则其高为1,边长为2叵，所以当

3

4岑。)向。』)。字。)时成立，正确；

故选：ABCD

【点睛】

关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选

项的正误.

3.已知函数f(x)=2，+x-2的零点为。，函数g(x)=log2X+x-2的零点为力，贝ij

()

M22

A.a+b=2B.2+log2&=2C.a+b>3D.0<ah<\

【答案】ABD

【分析】

在同一坐标系中分别作出函数y=2',=log2%,y=2-x的图象，图像的交点即为函

数的零点，反函数的性质知A,5关于点(1,1)对称，进而可判断A,B,。正确.由函数

,f(x)在R上单调递增，且/(1)>0,可得零点”的范围，可得C不正确.

【详解】

由〃x)=0,g(x)=O得2'=2-x，log2x=2-x,

函数)，=2-'与y=log?x互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数y=2*,y=\og2x,y=2-x的图象，如图所示，

则A（a,2"）,B（b,log2b）.

由反函数的性质知A,3关于点（1,1）对称，

则a+b=2,2"+log28=2.因为a>0,b>0,且a1b,

/»\2

所以0<a〃<竺=1,故A,B,。正确.

2

^)=V2-1<0,/(1)=1>0,

因为/(x)=2、x-2在R上单调递增，且/

所以L<a<i.

2

因为/+〃=/+(2一。)2=23-1)2+2(；<4<1),所以4+从小2,£|,故C不正

确.

故选:ABD

【点睛】

方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力

和逻辑推理能力，属于难题.

4.函数/(X)的定义域为Q,若存在区间[〃筋仁。使/(X)在区间上上的值域也是

[m,n],则称区间网同为函数“X)的"和谐区间"，则下列函数存在"和谐区间"的是

()

A./(x)=>/xB./(x)=x2—2x+2c.f(x)=x+—

D.7(x)=1

【答案】ABD

【分析】

根据题意，可知若/(X)在区间上的值域也是[加,可，则/(X)存在"和谐区

r,ff(m]=mff(m]=n

间"机,〃，且加<〃，则]:/或:〉/,再对各个选项进行运算求解

L」j[n)=n[/(〃)=根

…,即可判断该函数是否存在"和谐区间

【详解】

解：由题得，若“力在区间[孙川上的值域也是[n〃],则〃x)存在"和谐区

间,

可知，m<n,则《或

/(〃)=机’

f(m)=4m=mm=0

A：/(%)=Vx(x>0),若<解得:

/(n)=\fn=nn=1

所以〃力=«存在"和谐区间"[0,1]；

/(m)=m2-2m+2=m

B：/(x)=x2-2x+2(xe7?),若＜，解得:

/(n)=n2-2〃+2=〃n=2

所以=f-2x+2存在〃和谐区间〃[1,2]；

/(7??)=m-\—=m

C：/(x)=x+—(x^O),若＜m得:，故无解;

X/(〃)=〃+J=〃

-=O

、n

1

m-\——=n

m

/("?)-m-\——=n

mm_1m2+机+1

化简得:

nr4-1nm(/7i2+1)

/(7?)=n+—=m

1

〃十一二m

n

即〃z2+m+l=0，由于△=f—4x1x1=—3v0，故无解;

若不成立

所以y(x)=x+L不存在"和谐区间"：

X

f(m]=—=n

〃町=!("0),函数在(O,+K)),(-8,O)单调递减，则，m

D：不妨令

/(〃)=_=机

1

m=—

2,

n=2

所以〃x)=_L存在"和谐区间"1,2

X_乙

综上得：存在"和谐区间"的是ABD.

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解

题的关键是理解"和谐区间"的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.

5.下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的定义域为[1,3],则函数y=/(2x+l)的定义域为[0,1]

B.函数/(x)的值域为[L2],则函数的值域为[2,3]

C.若函数了=-/+公+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1,则。的取值范围是

(0,3)

D.已知函数/(x)=,+3x],xeR,若方程/(同一小一1|=0恰有4个互异的实数

根，则实数。的取值范围为(0,l)u(9,+s)

【答案】ACD

【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A,利用函数图象的平移可判

断函数值域的变换情况，判断B,利用数形结合及零点的分布求解判断C,作出函数

/(%)=,2+3乂与尸小一1|的图象，数形结合即可判断D.

【详解】

对于A,y=/(x)的定义域为[1,3],则由lW2x+l＜3可得＞=/(2x+l)定义域为

[0,1],故正确；

对于B,将函数/(x)的图象向左平移一个单位可得函数的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C,函数丁=8(©=-/+以+4有两个零点，一个大于2,另一个小于-1只需

fg(2)＞0

\,八，解得0＜。＜3,故正确；

[g(-l)＞0

对于D,作出函数/(X)=卜2+3.与y=。以一1|的图象，如图，

由图可以看出，时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置a=1或

a=9,观察图象可知，当0＜。＜1有4个交点，当9＜a时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程/(%)—4k一[=0恰有4个互异的实数根时，a«0,l)U(9,+»)正确.

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，/(%)=|X2+3X|

图象确定，而丫=。上一1|是过（1,0）关于龙=1对称的两条射线，参数。确定两射线张角的

大小，首先结合图形找到关键位置，即。=1时左边射线与抛物线部分相切，。=9时右边

射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

6.设函数/（X）是定义在区间/上的函数，若对区间/中的任意两个实数%,当，都有

/（土上殳）w则称/⑴为区间/上的下凸函数.下列函数中是区间（1,3）上

22

的下凸函数的是（）

A.f（x）=-2x+\B./（x）=-|x-2|

c.f（x）=x3+5D.=

x-l

【答案】ACD

【分析】

根据函数的解析式，求得/（土产可判定A正确；根据特殊值法，

可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.

【详解】

对于A中，任取内,々€（1,3）且不，则/（'；/）=-（%+々）+1，

，（"，；，区，=g（-2%+1-2X2+1）=-（%,+x2）+l,

可得/（七强）=/（"/土2）,满足＜-"小），所以A正确；

对于B中，取玉=』,々=*，则%乜=2,

2-22

可得/（g）=/（?）=—；，所以/（*）；/（/）=_g,/（^±^）=/（2）=0,

此时/（A±A）＞/（%）+）（々）,不符合题意，所以B不正确；

22

对于C中，函数/（幻=犬+5,

由幕函数y=x3的图象向上移动5个单位，得到函数/。）=丁+5的图象，

如图所示，

取演6（1,3）且用7々，由图象可得/（土产）=打，/叫/凶=力，

因为为）＞先，所以1（］）；/在/,符合题意，所以是正确的；

32x+1

由函数y=3的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到/（x）=--------的图

Xx-1

象，

如图所示，取%,工2€（1,3）且不。/，由图象可得/（七土0=汽，

/（X,）+/（X2）_

2=%'

因为为,>%，所以/（土产）<小。乂以，符合题意，所以是正确的；

本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函

数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试

题.

7.已知函数/（x）=X+Lg（x）=V+，•则下列结论中正确的是（

)

XX

A.7(x)+g(x)是奇函数B./(x)・g(x)是偶函数

C./(x)+g(x)的最小值为4D./(x>g(x)的最小值为2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定义可得A错B对；利用均值不等式可得C对；利用换元求导可得D错.

【详解】

,-，f(X)+g(x)-X-\----Fx2H■--

XX

C19]1+X2+4

f(_%)+g(T)=----+(-x)~+Xd---

一XXX

•••/(x)+g(x)=f(-x)+g(_x)

・•.f(x)+g(x)是偶函数,A错;

/(x)-g(x)=X+J(尤2+5

•••f(-x)-g(-x)=-x+--(-x)2+—

-X【(-。J出KT

•••g(-X)=/(%)-g(x)

是偶函数,B对;

vf(x)+g(x)^X+-+X2+^->2+2^4,当且仅当x=，和/=《时，等号成立,

XXXX

即当且仅当V=1时等号成立，C对；

/(X>g(x)=X+J(丁+!)

令”无+：(Z>2),贝1]/(尤)超(幻=八(『一2)=/一2，

，[/(x>g(x)]=3尸一2,令3r-2>0,得f>手或-当

.•.d2时,/(x>g(x)单调递增

，当，=2有最小值，最小值为4,D错

故选：BC.

【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较

高，难度较大.

i(x为有理数)

8.函数/(幻=<则下列结论正确的是()

0(x为无理数)

A.f(x)是偶函数B.f(x)的值域是{0,1}

C.方程/(/(x))=x的解为X=1D.方程/(/(x))=/(x)的解为X=1

【答案】ABC

【分析】

逐项分析判断即可.

【详解】

•••当-X为有理数时，X也为有理数

，f(T)=l

•••当-X为无理数时，X也为无理数

/(-x)=0

,〃一)=P(x为有理数)

.”-x)=[0(x为无理数)

，x)=/(x)

.../*)是偶函数，A对；

易知B对：

•••%=1时，/(/(D)=/(1)=1

，c对

/(/(x))=/(%)的解为全体有理数

D错

故选：ABC.

【点睛】

本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，

难度较大.

9.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相

对统一的和谐美.定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的

一个"太极函数".则下列有关说法中，正确的是()

A.对于圆O：x2+y21的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数

B.函数/(x)=sinx+l是圆。：x2+(y—1)2=1的一个太极函数

Z,'-1

c.存在圆0,使得/(无)=三^是圆。的一个太极函数

D.直线(/〃+1)%-(2〃?+1)〉-1=0所对应的函数一定是圆。：

(x—2y+(y—1)2=R2(R>O)的太极函数

【答案】BCD

【分析】

利用"太极函数"的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.

【详解】

对于A,如下图所示，若太极函数为偶函数，且SJCE=S“PC。=S/OD=S.DFB，所以该函

数平分圆。的周长和面积，故A错误；

对于B,/(x)=sinx+l也关于圆心((),1)对称，平分圆。的周长和面积，所以函数

/(x)=sinx+l是圆=1的一个太极函数；故B正确；

对于c,〃力=3=(d+1)-2=]_2,.

八)e*+le'+lex+l

xJL_i1A

e-_1x|_-

•,-/(-%)=---=———=——T=该函数为奇函数，图象关于原点对称.

'e+11+11+e

所以存在圆。：f+,2=1使得/(力;]胃是圆。的一个太极函数，如下图所示，故

C正确；

对于D,对于直线(〃2+1)%—(2m+l)y—1=0的方程，变形为

m(x-2y)+(x-y-l)=0,

x—2y—0x=2

令jx)；；—o'得直线(〃?+1)%-(2〃?+1)>一1=0经过圆0的圆心，可以平

分圆。周长和面积，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推

理能力，属于较难题.

10.已知定义在R上的函数/(X)满足：/(x)+/(-x)=0,且当为20时，

/(X)=/+%—/?.若+sinx))+/(-sinx)W。.在xeR上恒成立，则k的可能取

值为()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】CD

【分析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到5MxM(2+sinx),再根据题意，利用检验法判断即可.

【详解】

因为定义在/?上的函数“X)满足：/(x)+/(-x)=o,

所以/(x)为奇函数，

尤20时，/(x)=e"+x—匕，

显然/(X)在[0,+8)上单调递增，

所以在R上单调递增，

由f(k(2b+sinx))+，(-sinx)40恒成立，

可得/(sinx)../(-2+sinx))在R上恒成立，

即sinx./(2+sinx),

整理得：(1一攵)sinx..2Z

当左=1时，022,不恒成立，故A错误；

当k=0时，sinx>0,不恒成立，故B错误；

当斤=一1时，sinx2-1,恒成立，故C正确；

4

当人=一2时，sinx>一一，恒成立，故D正确.

3

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.

二、导数及其应用多选题

11.己知函数/(x)=sinox-asinx,xe[0,2»],其中a—lna>l,则下列说法中正

确的是()

A.若/(力只有一个零点，则

B.若“X)只有一个零点,则〃尤)*0恒成立

C.若/(x)只有两个零点，则

D.若/(X)有且只有一个极值点X。，则/(X。)〈竺1二网二U.乃恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用"0)=0以及零点存在定理推导出当”>1时，函数“X)在［0,2句上至少有两个零

点，结合图象可知当0<。<1时，函数/(x)在(0,2")上有且只有一个极值点，利用导数

分析函数“X)在(0,2")上的单调性，可判断A选项的正误；利用A选项中的结论可判断

B选项的正误；取。=3,解方程/(x)=0可判断C选项的正误；分析出当/(x)在

(0,2乃)上只有一个极值点时，0<。<1,分4=:、0<«<|,三种情况讨

论，结合sinxvx可判断D选项的正误.

【详解】

构造函数g(x)=x-lnx-l,其中x>0,则，(x)=l—'=^~

XX

当0<x<l时,g'(x)<0，函数g(x)单调递减;

当x>l时，g'(x)>0,此时,函数g(x)单调递增.

所以，8⑴疝产8⑴二①

・.・a—Ina>1,二a>0且aw1.

/(x)=sina¥-asinx,则〃0)=0.

“」乃、•Q》.兀.a兀八

当a>l时，f\—-sin-----«sin—=sin------a<0,

—\2)222

3。4+。〉

Fo,

(兀34।

由零点存在定理可知，函数/(X)在2,手J内至少有一个零点,

所以，当口>1时，函数“X)在区间［0,2句上至少有两个零点,

所以，当函数/(x)在区间［0,2句上只有一个零点时，

对于A选项，当O<Q<1时，/'（X）=QCOS以一QCOSX=4（COS四一COSX）.

(1兀71

・「0<Q<1,则0<—<一,0<2a冗<2万，

22

[Jl\CiTC

/I—l=6rcos—>0,/'(27)=a(cos2。万一cos2")=。(cos2。万-l)<0,

由零点存在定理可知，函数/(x)在区间(9,24[上至少有一个极值点，

令r(x)=0,可得cosax=cosx,

当X€（0,2〃）时，0<CVC<X<27T,由cos«v=cosx=cos（2%-x）,可得

.24

ax=27r—x,解得znx=----,

。+1

24

所以，函数/（力在区间（0,2万）上有且只有一个极值点x=——.

。+1

作出函数X=cosar与函数%=cosx在区间［0,2句上的图象如下图所示：

由图象可知，函数弘=cosax与函数必=cosx在区间（0,2%）上的图象有且只有一个交

点，

记该交点的横坐标为%,当0<%</时，cosax>cos%,此时/'（x）>0；

当玉）<x<2万时,cosarccosx,此时/'（x）<0.

所以，函数在区间（0,%）上单调递增，在区间（不，2句上单调递减.

所以，/（x）max=/a）>/（°）=°，又"2万）=sin2wr.

若函数/（力在区间［0,2句上有且只有一个零点，则/（2万）=sin2加>0.

"/0<a<1>则0<2a万<2万，所以，0<2。万<乃，解得A选项正确；

对于B选项，若函数/（x）在区间［0,2句上有且只有一个零点时，

由A选项可知，函数/（X）在区间（0,%）上单调递增，在区间（七,2万）上单调递减.

Q/（0）=0,/（2^-）=sin2azr>0,所以，对任意的xw［0,2乃］,/（A）>0,B选项正

确；

对于c选项，取。=,，则

2

.X.XX.X

/lx)=sin----sinx=sin——sin—cos—=sm—1一吟,

v7222222

•/0<x<2^r,则0<土<〃，令/(x)=0,可得sin'=0或cos2=l,可得t=0或

2222

X

一=兀,

2

解得x=0或x=24.

所以，当"=；时，函数/（X）有两个零点，C选项错误；

对于D选项，当。>1时，若0<%<2乃，则0vaxv2a»,且加万>2%，

当％£（0,2万）时,令/'（x）=0,可得出cosox=cosx=cos（2左乃±x）（Z：£Z）,至少可

得出ax=27i-x^ax=X+2TI,

即函数/（x）在区间（0,2万）上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，0<4<1.

TT

下面证明：当0Vx时，sinx<x,

2

构造函数/z（x）=x-sinx,其中0vx<],则"（x）=1-cosx>。，

所以，函数/2（x）=x-sinx在区间（0卷]上为增函数，所以，/z（x）>/?（0）=0,即

sinx<x.

分以下三种情况来证明/（x0）<。+1-量T[.兀恒成立.

,."'（%）=Q（COSC%-cos/）=0,可得cosax（）=cosx0,

27r

•/O<axo<xo<27r,由cosar。=cosx()可得出a%=2%一%，所以，x=----

a+\

则sin叫)=sin(2万一%))=-sin/.

①当时，x0,则/(x)=sin1■—;sinx,

34.)1.3万424

sinsin——=—<——,

23233

。+1一伙―1|

L

即4X°)<：-----------•7T成“；

[27r,2

②当0<a〈一时，x0=----GT4

3a+1

x24

则f(o)=sino¥o-asinx0=-sin/-asin/=-(«+l)sinx0=-(6/+l)sin

=(Q+l)sin(--=(Q+l)sin(2万-27])=(a+1)sin2"；<(a+1)•>"；=la/c

a+1-13a—1|

——万；

z~\1,2)(34、

③当一<。<1时，X()=-----E肛-T-♦

3Q+lI2)

/(/)=sin叽-asinx。=-sin%-asin%=-(a+l)sin/=(a+1)sin(一%)

=(a+l)sin(xo-4)=(a+l)sin[2一乃]=(6f+l)sin——(6f+l)—~~

/、a+]—|3Q—11

=(1-a)"二-----------L兀・

综上所述，当函数/(x)只有一个极值点/时，+1].7万恒成立.

故选:ABD.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

[n1*

12.设函数/(x)=——，g(x)=xlnx,下列命题，正确的是()

X

A.函数“X)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)单调递减

B.不等关系Tce<£<e"<3"成立

C.若0<玉<々时，总有。(考一百2)>2g(/)-2g(xJ恒成立，则aNl

D.若函数/z(x)=g(x)-如2有两个极值点，则实数加w(O,l)

【答案】AC

【分析】

利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数/(x)在区间(刍母)上的单

调性比较73、"的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数s(£)=2g(x)—依2

在(O,+8)上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出。的取值范围，可判断C选项

的正误；分析出方程2根=上詈在(0,+。)上有两个根，数形结合求出机的取值范围，

可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，函数/'(X)=W的定义域为(0,+8),则/(月=匕詈.

由/'(x)>0,可得0<x<e,由/'(x)>0,可得X>e.

所以，函数/(力在(0,e)上单调递增，在(e,+8)单调递减，A选项正确；

InV

对于B选项，由于函数/(x)=:-在区间(e,+8)上单调递减，且4>;r>e,

”，\「/八ar,InnIn4ln41In2131n2-2八

所以，/(%)>/(4),即——>—,乂-t---=----=--->0,

71443236

所以，—>1,整理可得)3>二,B选项错误；

万43

对于C选项，若0<%时，总有a(石一片9>2g(x2)-2g(%)恒成立，

可得2g(xj-ar；>2g(w)-遍，构造函数s(x)=2g(x)-ax2=2xlnx-ar2,

则S(X1)>S(X2)，即函数s(x)为(0,+8)上的减函数,

s'(x)=2(1+Inx)-2ax<0对任意的xw(0,+oo)恒成立，

即a21+lnX对任意的xe(0,+oo)恒成立，

人(、1+lnx“一八，/、Inx

令才(x)=-----,其中1>0,t(x)=-----.

当0<x<l时，f'(x)>0,此时函数"力单调递增；

当x>l时，r'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.

所以，f(x)gx=(l)=L,aNl，C选项正确；

对于D选项，=g(x)—mx2=xXnx—twc,则"(x)=l+lnx—2mx,

由于函数网x)有两个极值点，令/?'(x)=0,可得2加=1+"'-,

则函数y=2m与函数f(x)在区间(0,+8)上的图象有两个交点，

当尢/时，r(x)>0,如下图所示：

当0＜2机＜1时，即当0＜加＜；时，函数y=2加与函数在区间(0,+oo)上的图象有

两个交点.

所以，实数小的取值范围是D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，

体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y

与函数y=g(x)的图象的交点问题.

13.下列说法正确的是()

3

X€

A.函数/(x)=sin2VScosx--呜的最大值是1

.cosxf(乃»

函数/(九)sinxtanxd-----XG0,—的值域为

B.tanx(I2)J

C.函数〃x)=；sin2x+a-cosx在(0,乃)上单调递增，则。的取值范围是

D.函数，/、2k+"smN+j+x的最大值为叫最小值为"，若a+〃=2,

/(x)=---------------------

2x+cosx

则f=l

【答案】ACD

【分析】

\2

化简函数解析式为/(X)COSX----+--1,利用二次函数的基本性质可判断A选项的

27

正误；令ysinx+cosx,可得/(x)=g(r)="L,利用导数法可判断B选项的正

t—1

误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误：计算出〃x)+/(-力=27,利

用函数的对称性可判断D选项的正误.

【详解】

A选项，

f(x]=1-cos2x+COSX--=-cos2x+V3cosx+—cosX----+--1,

\)442J

又,.•*€0,y可得：cosxe[0,1],则当cosx=@时函数/(x)取得最大值1

A对:

-2」2

「3f\sin~Xcos~xsinx+cos3x

B选项，：.fix)=-------+———=-----------------

cosxsinxsinx-cosx

(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinx-cosx)

sinx-cosx

(sinx+cosx)[(sinx+cosx)2-3sinx•cosx

sinx-cosx

设/=sinx+cosx=V^sin(x+?J,则/=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,则

,产一1

sinx-cosx=------，

2

•.,xe(0,9，x+fe(卞弓)，*'-sinx+^e

・•・g(f)在区间(1,0]上单调递减，g(r)m,n=g(V2)='--=V2,

所以，函数/(X)的值域为[3,+8),B错；

C选项，•・,/(X)=；sin2x+a・cosx在区间(0,万)上是增函数，

/./r(x)=cos2x-tz-sinx>0,BPl-2sin2x-tzsinx>0，

令1=sinx,?e(O,l],即一2/一"+120,

ci<—2z+—,令g(r)=—2/+—,则g'(r)=—2—<0,g(。在re(0,1]递减,

(2x2+cos%)+(r-sinx+x)，・sinx+x

tH-------------

2x2+cosx2r+cosx

£(、rsin(-x)-x/sinx+x,、,、

所以,X)=t+一标乙1=t---------,+/(—)=2t,

2-(-x)+cos(-x)2x+cosx

所以,函数/(X)的图象关于点(0")对称，所以，a+b=2t=2,可得f=l,D对.

故选:ACD.

【点睛】

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行:

(1)函数/(x)在区间D上单调递增of\x)20在区间。上恒成立；

(2)函数/(x)在区间O上单调递减O/”(x)W0在区间O上恒成立；

(3)函数)(x)在区间。上不单调o/'(x)在区间。上存在异号零点；

(4)函数/(x)在区间Z)上存在单调递增区间。玉e。，使得_f(x)>0成立;

(5)函数/(x)在区间O上存在单调递减区间。玉e。，使得了'(x)<0成立.

14.阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过

系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线

围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=/上两个不同点A,8横坐标

分别为X，x2,以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形RS的说法正确的

有()

A.若A8过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上

B.若阿基米德三角形Q45为正三角形，则其面积为班

4

c.若阿基米德三角形RM为直角三角形，则其面积有最小值L

4

D.一般情况下，阿基米德三角形f钻的面积s=lAz土X

4

【答案】ABC

【分析】

设出直线43的斜截式方程、点A,5的坐标，根据导数的几何意义求出切线PAPB的方

程，进而求出点P的坐标，将直线A3的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及

该方程两根的和、积的关系.

A：把抛物线焦点的坐标代入直线A3的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即

可；

B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；

C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；

D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..

【详解】

由题意可知：直线A8一定存在斜率，

所以设直线A3的方程为：y=kx+m,

由题意可知:点A。1,x；）,B（X2,x；）,不妨设%<0<*2，

由y=V?y2x,所以直线切线PAP3的方程分别为：

y-X；=2%（x-％y-x；=2x3（x-x2）,

两方程联立得：，—?=2%。一%）,

y-x2=2X2（X-X2）

_X+尢2

解得：/=2,所以P点坐标为：（文|生■，内9），

）=玉々

直线AB的方程与抛物线方程联立得：

y=kx-\-m2

\2=>%一"一加=0=>玉+/=4，为方=一42.

y=x

A：抛物线C：丁=/的焦点坐标为（0,二），准线方程为y=-一，

44

因为AB过抛物线的焦点，所以m=；,而不乙=一机=一；，

显然P点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；

B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有|B4|=|P8|,

即j（\2_九）+（中2\二_々）2+（中2-X；）-'

因为内7刀2,所以化简得：玉=-X2,

此时A（X1,x；）,5（-X],%：）,尸点坐标为:（0,-X：）,

因为阿基米德三角形R4B为正三角形，所以有|PA|=|A8|,

所以J（0-X）。+（-x；-1——2王=>X=一,

因此正三角形~钻的边长为百，

所以正三角形的面积为LxGxG.sin60"=LxGx&x走=止,

2224

故本选项说法正确；

C：阿基米德三角形Q转为直角三角形，当尸时，

%1+々X,+X,

1

所以即屋kpB=T=>二----二

门…=-1=¥2=-1

x）x2一玉

直线AB的方程为：y^kx+-